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相关试卷

1、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点M，P分别为线段 $C C_{1}$ ， $A_{1} B$ 上的动点，则下列说法中正确的是（）

A、当M，P分别为线段 $C C_{1}$ ， $A_{1} B$ 中点时， $M P ⊥ C C_{1}$ ， $M P ⊥ A_{1} B$ B、 $P A + P C$ 取得最小值 $2 \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ C、当四面体 $A B D M$ 的四个顶点在同一球面上时，若 $C M = 1$ ，则球体积为 $\frac{9 π}{2}$ D、对任意点M，平面 $B M D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$

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2、射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{3}$ .记事件A为“两人都击中”，事件B为“至少1人击中”，事件C为“无人击中”，事件D为“至多1人击中”则下列说法正确的是（）

A、事件A与C是互斥事件 B、事件B与D是对立事件 C、事件C与D相互独立 D、 $P (A \cup B) = \frac{5}{6}$

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3、已知复数 $z = (1 + i) (2 - 3 i)$ ，则（）

A、 $\bar{z} = 5 + i$ B、 $|z - 4| = 5 \sqrt{2}$ C、 $z + i$ 为实数 D、 $z$ 在复平面内对应的点位于第三象限

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4、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $M$ 是棱 $A B$ 的中点， $N$ 是四边形 $A C C_{1} A_{1}$ 内一点（包含边），则直线 $M N$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{3}, 1]$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$ C、 $[\frac{\sqrt{5}}{10}, 1]$ D、 $[\frac{\sqrt{2}}{6}, 1]$

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5、甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{2}{5}$ ，则下列概率计算正确的是（）

A、该题被攻克的概率为 $\frac{11}{15}$ B、该题未被攻克的概率为 $\frac{4}{15}$ C、该题至少被一人攻克的概率为 $\frac{7}{15}$ D、该题至多被一人攻克的概率为 $\frac{13}{15}$

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6、已知向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (3, 4)$ ，那么向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、1 B、 $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ C、 $(- \frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ D、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$

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7、某学生为测量宁波天封塔的高度，如图，选取了与天封塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得 $A B = 50 \sqrt{7}$ ，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为 $45^{\circ}$ 和 $30^{\circ}$ ，且 $∠ A D B = 150 °$ ，则宁波天封塔的高度 $C D$ 是（）

A、50m B、 $40 \sqrt{3} m$ C、 $30 \sqrt{7} m$ D、 $50 \sqrt{7} m$

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8、已知直线 $l$ ， m，n与平面 $α$ ， $β$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $l ⊥ n$ ， $n ⊥ m$ ，则 $l ⊥ m$ B、若 $l ⊥ α$ ， $l / / β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $l / / α$ ， $l ⊥ m$ ，则 $m ⊥ α$ D、若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = m$ ， $l ⊥ m$ ，则 $l ⊥ β$

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9、若△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a² +b²-c²=ab，则C=

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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10、某高中三个年级共有学生1200人，其中高一500人，高二400人，高三300人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取60人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（）

A、20 B、25 C、30 D、35

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11、设函数 $f (x) = a \sqrt{x + b} (a > 0)$ ， $g (x) = e^{- x}$ ， $h (x) = f (x) g (x)$ ， $h (x)$ 的极大值点为 $x = 0$ .

(1)、求 $b$ ；

(2)、若曲线 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ 上分别存在两点 $A, C, B, D$ ，使得四边形 $A B C D$ 为边平行于坐标轴的矩形，求 $a$ 的取值范围.

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12、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ 且满足 $f (- x) + f (x) = x^{2}$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f' (x) < x$ .
（1）判断 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上的单调性并加以证明；
（2）若方程 $f (x) = x$ 有实数根 $x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的一个不动点，设正数 $x_{0}$ 为函数 $g (x) = x e^{x} + a (1 - e^{x}) + x + 1$ 的一个不动点，且 $f (x_{0}) + \frac{1}{2} \geq f (1 - x_{0}) + x_{0}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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13、给定椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，称圆心在原点 $O$ 、半径为 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 的圆是椭圆 $C$ 的“卫星圆”，若椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $(2, \sqrt{2})$ 在 $C$ 上.
（1）求椭圆 $C$ 的方程和其“卫星圆”方程；
（2）点 $P$ 是椭圆 $C$ 的“卫星圆”上的一个动点，过点 $P$ 作直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 使得 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，与椭圆 $C$ 都只有一个交点，且 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 分别交其“卫星圆”于点 $M$ 、 $N$ ，证明：弦长 $|M N|$ 为定值.

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14、某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）

(1)、应收集多少位女生样本数据？

(2)、根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为： $[0, 2]$ ， $(2, 4]$ ， $(4, 6]$ ， $(6, 8]$ ， $(8, 10]$ ， $(10, 12]$ ．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率．

(3)、视样本数据的频率为概率，现从全校取4名学生，记 $X$ 为这四名学生中运动时间超过4小时的人数，求 $X$ 的分布列以及数学期望．

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15、已知函数 $f (x) = e^{x} (x - a) - x - a$ 有两个不同零点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a < - 2$ B、 $x_{1} + x_{2} = 0$ C、 $(e^{x_{1}} + 1) (e^{x_{2}} + 1) (e^{x_{1}} + e^{x_{2}}) > 8$ D、 $x_{1} + 2 a < x_{2} < x_{1} + 2 a + \frac{4}{3}$

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16、为了迎接2023年五四青年节，厦门一中计划在两个校区各布置一个优秀青年校友的事迹展板，由甲、乙在内的5名学生志愿者协助布置，每人参与且只参与一个展板的布置，每个展板都至少由两人安装，若甲和乙必须安装不同的展板，则不同的分配方案种数为（）

A、8 B、10 C、12 D、14

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17、不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5．

(1)、现从盒子里随机取出2个小球，记事件 $A =$ “有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件 $B =$ “不放回地依次取出时，取出小球编号之和为 $n$ ”，当 $n = 5$ 时，分别求事件 $A, B$ 的概率；

(2)、某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签．
游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜；
游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜；
游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为 $n$ 时获胜．
小明同学决定先玩游戏一，当 $n$ 为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？

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18、某校在2025年高三二轮复习备考中，年级备课组命制了一套与数学新定义有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从全部高三年级学生的成绩中随机抽取了100名学生的成绩，并将成绩按照 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 分成了5组.制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.

(1)、求频率分布直方图中的x的值：

(2)、估计所抽取的100名学生成绩的平均数、中位数；（同一组中的数据用该组所在区间的中点值作代表）

(3)、若按人数比例用分层随机抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求成绩在 $[70, 80)$ 内的至少有2人被抽到的概率.

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19、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 为单位向量，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°.

(1)、求 $|\vec{a} - 2 \vec{b}|$ 的值；

(2)、若向量 $2 \vec{a} - λ \vec{b}$ 与 $λ \vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为锐角，求实数 $λ$ 的取值范围.

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20、如图，在直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ，点 $D$ 是 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $B A_{1} //$ 平面 $C_{1} A D$ ；

(2)、求二面角 $A_{1} - B C - A$ 的正切值．

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