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相关试卷

1、若集合 $M = \{x |3^{x} < 81\}$ ， $N = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ，则 $M \cap N$ 的子集个数是（）

A、 $4$ B、 $8$ C、 $16$ D、 $32$

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为正方形，且 $P A = P C$ ， $P B = P D$ ，

(1)、若 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，证明： $P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、棱 $P D$ 上的点 $E$ 满足 $P E = 2 D E$ ，若 $P A = \sqrt{3}$ ， $A B = 2$ ，求直线 $C E$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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3、意大利著名数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo·Fibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ ，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为 $\{a_{n}\}$ ．记一个新的数列 $\{b_{n}\}$ ，其中 $b_{n}$ 的值为 $a_{n}$ 除以4得到的余数，则 $\sum_{i = 1}^{2024} b_{i} =$ ．

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4、布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）

A、 $\vec{Q C} = \vec{A D} + 2 \vec{A B} - 2 \vec{A A_{1}}$ B、若M为线段CQ上的一个动点，则 $\vec{B M} \cdot \vec{B D}$ 的最小值为1 C、点F到直线CQ的距离是 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ D、异面直线CQ与 $A D_{1}$ 所成角的正切值为 $\sqrt{17}$

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，正项等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，则（）

A、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列 B、数列 $\{3^{a_{n}}\}$ 是等比数列 C、数列 $\{ln T_{n}\}$ 是等差数列 D、数列 $\{\frac{T_{n + 2}}{T_{n}}\}$ 是等比数列

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6、设双曲线 $Γ$ 的中心为O，右焦点为F，点B满足 $2 \vec{F B} = \vec{O F}$ ，若在双曲线 $Γ$ 的右支上存在一点A，使得 $|O A| = |O F|$ ，且 $∠ O A B \geq 3 ∠ O B A$ ，则 $Γ$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{2 \sqrt{15} - 2}{7}, \frac{2 \sqrt{15} + 2}{7}]$ B、 $(1, \frac{2 \sqrt{15} + 2}{7}]$ C、 $(1, \frac{3 \sqrt{15} + 3}{7}]$ D、 $[\frac{3 \sqrt{15} - 3}{7}, \frac{3 \sqrt{15} + 3}{7}]$

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7、设平面 $α$ 内不共线的三点A，B，C以及平面外一点P，若平面 $α$ 内存在一点D满足 $\vec{P D} = x \vec{P A} + (2 - x)$ $\vec{P B} + 3 x \vec{P C}$ ，则x的值为（）

A、0 B、 $- \frac{1}{9}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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8、已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (0, 2)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $(- 3, 2)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $B, C$ 两点，直线 $A B, A C$ 分别与 $x$ 轴交于 $M, N$ 两点，求证： $M N$ 中点为定点．

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9、已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{2} x^{2} + (a + 1) x .$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a < 0$ ，证明： $f (x) \leq - \frac{3}{2 a} - 2$ .

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $B C ∥ A D$ ， $A B ⊥ B C$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A B$ 是边长为2的正三角形， $B C = 1$ ， $A D = 3$ ， $\vec{P E} = λ \vec{P D} (0 < λ < 1)$ .

(1)、若 $C E ∥$ 平面 $P A B$ ，求 $λ$ 的值；

(2)、若 $λ = \frac{1}{4}$ ，求平面 $A B E$ 与平面 $P C D$ 的夹角的余弦值.

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{4 a_{n}}{a_{n} + 2}$ .

(1)、证明：数列 $\{\frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{2}\}$ 是等比数列；

(2)、若 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} < 2024$ ，求正整数 $n$ 的最大值.

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12、已知 $△ A B C$ 的三个顶点 $A (- 3, 2)$ ， $B (2, 1)$ ， $C (- 2, - 3)$ ．

(1)、求 $B C$ 边上中线 $A D$ 所在直线的方程；

(2)、已知点 $P (x, y)$ 满足 $S_{△ P B C} = 4$ ，且点 $P$ 在线段 $A C$ 的中垂线上，求点 $P$ 的坐标．

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13、已知函数 $f (x) = e^{2 x} + (1 - 2 a) e^{x} - a x (a \in R)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

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14、若直线 $l$ 与单位圆和曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 均相切，则直线 $l$ 的方程可以是.（写出符合条件的一个方程即可）

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15、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ ， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $- a_{3}$ 成等差数列，则 $a_{2024} =$ ．

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16、已知 $\vec{a} = (1, 1, 1), \vec{b} = (- 1, 2, 1)$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b} =$ ．

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17、已知 $x^{2} - y^{2} < e^{x} - e^{- y}$ ，则（）

A、 $ln (x + y + 1) < 0$ B、 ${(x + y)}^{2} + 1 < e^{x + y}$ C、 $x + y > - sin x - sin y$ D、 $cos x - cos y > y^{2} - x^{2}$

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18、已知抛物线 $C$ ： $y = - \frac{1}{8} x^{2}$ 的焦点为 $F$ ，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为抛物线 $C$ 上一动点，点 $A (1, - 3)$ ，则（）

A、抛物线 $C$ 的准线方程为 $y = 2$ B、 $|P A| + |P F|$ 的最小值为5 C、当 $x_{0} = 4$ 时，则抛物线 $C$ 在点 $P$ 处的切线方程为 $x + y - 4 = 0$ D、过 $A F$ 的直线交抛物线 $C$ 于 $M, N$ 两点，则弦 $M N$ 的长度为16

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19、下列说法中正确的是（）

A、直线 $x + y + 1 = 0$ 在 $y$ 轴上的截距是 $1$ B、直线 $m x + y + m + 2 = 0 (m \in R)$ 恒过定点 $(- 1, - 2)$ C、点 $(0, 0)$ 关于直线 $x - y - 1 = 0$ 对称的点为 $(1, - 1)$ D、过点 $(1, 2)$ 且在 $x$ 轴､ $y$ 轴上的截距相等的直线方程为 $x + y - 3 = 0$

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20、设椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F (- c, 0)$ ，点 $A (3 c, 0)$ 在椭圆外， $P$ ， $Q$ 在椭圆上，且 $P$ 是线段 $A Q$ 的中点. 若椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则直线 $P Q$ ， $Q F$ 的斜率之积为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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