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相关试卷

1、2025年9月3日在天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，这不仅是一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼．某中学为了增强学生的爱国主义情怀，减轻学习压力，决定组织一次军事知识竞赛．为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了100名学生进行调查，已知女生中有15名喜欢军事，男生中有 $\frac{3}{5}$ 的人喜欢军事，喜欢军事的学生中有 $\frac{2}{3}$ 是男生．参加竞赛的学生从喜欢军事的学生中选取，测试题型分为选择题与填空题两种，每次由电脑随机选出一道，选择题与填空题出现的频率之比为 $2 : 1$ ，已知学生答对选择题的概率为 $\frac{3}{4}$ ，答对填空题的概率为 $\frac{1}{2}$ ，每次答题互不影响．

喜欢军事
不喜欢军事
合计
男生

女生
15

合计

(1)、根据已知条件补充完整上表，并根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析该校学生喜欢军事是否与性别有关；

(2)、若每位学生答3题，求该学生答对题数X的分布列和数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$x_{α}$
$6.635$
$7.879$
$10.828$

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2、设数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{n} + b_{n + 1} = 2 n$ ， $a_{n + 1} - b_{n} = n - 1$ ，设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n} - b_{n}\}$ 的前n项和，则 $S_{30} =$ ．

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3、将标号为1，1，2，2，3，4的6张不同卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张标号不同的卡片，则不同的放法共有种．

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4、已知函数 $f (x) = ln x + a x + \frac{1}{2} x^{2}$ 是增函数，则实数a的取值范围是．

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5、已知在直角 $△ A B C$ 中， $∠ A = 3 ∠ B = 90 °$ ， $A C = 1$ ， AD为边BC上的中线，将 $△ A B D$ 沿边AD翻折至 $△ A B^{'} D$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $sin ∠ B^{'} A D = \frac{1}{2}$ B、三棱锥 $B^{'} - A C D$ 的体积的最大值为 $\frac{1}{8}$ C、存在某个位置使得平面 $A B^{'} D ⊥$ 平面 $A B^{'} C$ D、三棱锥 $B^{'} - A C D$ 的外接球的体积最小值为 $\frac{13 \sqrt{39}}{54} π$

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - 2 a_{n} = - 3^{n}$ ，设 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a_{2} = - 1$ B、数列 $(a_{n} + 3^{n})$ 是等比数列 C、 $S_{n} = \frac{2^{n + 3} - 3^{n + 1} - 5}{2}$ D、数列 $\{a_{n}\}$ 中存在最小项

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7、已知曲线 $C : \frac{x^{2}}{2 m - 1} + \frac{y^{2}}{7 - 2 m} = 1$ ，则下列说法正确的（）

A、若 $m = 1$ ，则曲线 $C$ 的焦距为4 B、若 $m = 0$ ，则曲线 $C$ 表示双曲线，且其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{7} x$ C、若曲线 $C$ 表示椭圆，则 $\frac{1}{2} < m < \frac{7}{2}$ D、 $m > 4$ 是曲线 $C$ 表示焦点在 $x$ 轴上的双曲线的充分不必要条件

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8、已知集合 $M = {(x, y) | x^{4} + a x + a - 2025 = 0$ 且 $x y + y = 2024}$ ，若M中任意元素均在曲线 $y = x^{3}$ 的下方，则符合条件的整数a的最大值是（）

A、0 B、1 C、2 D、2025

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9、已知把函数 $f (x) = 2 sin (ω x + \frac{π}{3}) - 1$ （ $ω > 0$ ）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有三个零点，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{5}{2}, \frac{23}{6}]$ B、 $[\frac{5}{2}, \frac{23}{6})$ C、 $[\frac{11}{6}, \frac{5}{2})$ D、 $(\frac{11}{6}, \frac{5}{2}]$

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10、记 ${(2 x + 1)}^{2025} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2025} x^{2025}$ ，若 $f (x) = a_{2025} + a_{2024} x + \dots + a_{0} x^{2025}$ ，则 $f (2) =$ （）

A、1 B、 $2^{2025}$ C、 $4^{2025}$ D、 $5^{2025}$

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11、已知直线 $x + y = 2$ 与坐标轴分别交于A，B两点，在圆 ${(x - a)}^{2} + {(y - a)}^{2} = 2$ $(a > 0)$ 上仅存在一点P，使 $P A ⊥ P B$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12、已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（）

A、 $y = \frac{sin x}{x^{2} + 1}$ B、 $y = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2 (e^{x} + e^{- x})}$ C、 $y = \frac{cos x}{x^{2} + 1}$ D、 $y = \frac{x}{x^{2} + 1}$

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13、已知向量 $\vec{a} = (3, 6)$ ， $\vec{b} = (0, 2)$ ，若 $\vec{b}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{4}{5}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 5$ C、 $- 1$ 或 $- 5$ D、无法确定

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14、若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2$

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15、已知集合 $M = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ， $N = \{x| y = \sqrt{x - 1}\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $(1, 2]$ C、 $[1, 2]$ D、 $\{1, 2\}$

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16、已知函数 $f (x) = \frac{2 sin x}{x} + 1$ ．

(1)、判断函数 $f (x) = \frac{2 sin x}{x} + 1$ 在区间 $(0, 3 π)$ 上极值点的个数，并说明理由；

(2)、将函数 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的极值点从小到大排列，形成数列 $\{x_{n}\}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{n} = f (x_{n})$ ．
证明：（ⅰ） $a_{1} + a_{2} < 2$ ；
（ⅱ） $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} < n, n \in N^{*}$ ．

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17、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为矩形， $△ P A B$ 为锐角三角形， $P A = A B = 2$ ， $P B + B C = 4$ ， $∠ P B C = 90 °$ ， $E$ 为棱 $P C$ 的中点，平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ，直线 $B E$ 与 $l$ 相交于点 $Q$ ．

(1)、求线段 $B Q$ 长度的最小值；

(2)、若异面直线 $P B$ 与 $Q D$ 所成角为 $60 °$ ．
（ⅰ）求平面 $P C D$ 与平面 $Q C D$ 夹角的余弦值；
（ⅱ）求三棱锥 $P - A D E$ 的外接球的表面积．

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18、某大学进行强基计划测试，已知有6名学生进入最后面试环节，且这6名学生全都来自A、B、C三所学校，其中A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为 $3 : 1 : 2$ ．该大学要求所有面试考生面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码 $k (k = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 6)$ ，按面试号码k由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟（假定相邻两名考生之间面试时无缝衔接），面试完成后自行离场．

(1)、求面试号码为3的学生来自A校的概率；

(2)、记随机变量X表示从1号学生开始面试到A校最后一名学生完成面试所用的时间，求X的分布列与数学期望；

(3)、求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试，B、C两校都还有学生未完成面试）的概率．

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ ，点M在C上， $M F_{2} ⊥ x$ 轴，且 $|M F_{2}| = \frac{3}{2}$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、过点 $P (4, 0)$ 的直线交C于不同的两点A、B， $A H ⊥ M F_{2}$ 于点H，证明：直线HB过定点．

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20、已知 $△ A B C$ 的内角A、B、C的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，满足 $a sin B + \sqrt{3} b cos A = 0$ ．

(1)、求A；

(2)、设点D为 $B C$ 上一点， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，且 $b = 3$ 、 $c = 6$ ，求 $A D$ 的长度．

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	喜欢军事	不喜欢军事	合计
男生
女生	15
合计

$α$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$x_{α}$	$6.635$	$7.879$	$10.828$