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相关试卷

1、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点P，Q，M，N分别是 $A B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ ， BC的中点，则下列说法中正确的有（）

A、 $P Q / /$ 平面ABC B、 $M N ⊥ B C$ C、 $P Q ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ D、PQ与MN相交

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2、下列说法正确的是（）

A、随机事件A，B相互独立的充要条件是 $P (\bar{A} B) = [1 - P (A)] \cdot P (B)$ B、设X为随机变量，则 $E (X^{2}) = D (X) + {[E (X)]}^{2}$ C、 $X ~ B (3, \frac{1}{3})$ ，则 $E (X) = 1$ ， $D (X) = 2$ D、若 $X ~ N (1, 2^{2})$ ，记函数 $f (x) = P (X \leq x)$ ， $x \in R$ ，则 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, \frac{1}{2})$ 对称

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3、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，任意给定 $n \in N^{*}$ ，都存在 $x_{0} \in D$ ，使得 $f (n x_{0}) = n f (x_{0})$ ，则 $f (x)$ 不可能为（）

A、 $f (x) = x$ B、 $f (x) = \sqrt{x}$ C、 $f (x) = ln x$ D、 $f (x) = e^{- x^{2}}$

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + \frac{4}{x}, x \geq a \\ \frac{1}{4} x + 4, x < a \end{array}$ 为增函数，则 $a$ 的最小值是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $2$ C、 $4$ D、 $5$

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5、已知复数z是方程 $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ 的根，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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6、“ $x^{2} + x - 2 < 0$ ”是“ $\frac{2 x}{x - 2} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 3 x - 4 \leq 0\}$ ， $B = \{x \in Z ||x - 1| \geq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 2, 3, 4\}$ B、 $\{- 2, - 1, 3\}$ C、 $\{- 1, 3, 4\}$ D、 $\{- 1, 0, 3, 4\}$

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8、已知 $f (x) = (x - a) e^{x} + (a - 1) x$ ，其中 $a \in R$ ， $e$ 是自然对数的底.

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的最小值；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 在定义域内为增函数，求 $a$ 的取值集合；

(3)、求证：
（i）对于 $\forall x > 1, ln x > \frac{2 (x - 1)}{x + 1}$ ；
（ii）对于 $\forall n \in N_{+}$ ，都有 $\sqrt{1 \times 3} + \sqrt{2 \times 4} + \dots + \sqrt{n (n + 2)} > \frac{n^{2} + 3 n}{2} + \frac{1}{4} ln \frac{2}{n^{2} + 3 n + 2}$ .

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9、已知抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 过点 $T (2, 1)$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过 $T$ 作抛物线 $C$ 的切线 $l$ ，连接 $O T$ ，作 $O T$ 的平行线交 $C$ 于 $A, B$ 两点，交 $l$ 于点 $P$ ，若 $| P T |^{2} = λ |P A| \cdot |P B|$ ，判断 $λ$ 是否为定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由.

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10、如图，在多面体 $A B C D - E F C$ 中， $A B C D$ 为矩形， $A E, C F, D G$ 分别与平面 $A B C D$ 垂直， $A E = A D = 2, A B = C F = 3, M, N$ 分别是 $B D, E F$ 的中点.

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $D C F G$ ；

(2)、若 $G, E, B, F$ 共面，求平面 $E G C$ 和平面 $D C F G$ 所成角的余弦值.

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11、2026年7月1日起，由工业和信息化部制定的《电动汽车用动力蓄电池安全要求》将开始实施，这标志着国家对新能源汽车的安全性提出了更高的要求.某新能源车企为提升产品安全性的同时提高生产效率，对旗下一款车型的核心零部件开展质量检测与生产数据分析，该企业统计了近5个月核心零部件的月生产量 $x$ （单位：千件）与月检测成本 $y$ （单位：万元），得到如下数据：
$x$
2
3
4
5
6
$y$
3.2
4.2
5.1
5.8
6.7

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并估计月产量达1万件时的月检测成本；

(2)、该企业对核心零部件的检测采用以下方案：从一批次的该零部件中随机抽取3件进行初检，若初检中不合格零部件数量不超过1件，则判定此批次零部件合格，否则对剩余的产品进行全面复检.若该零部件的不合格率为 $a (0 < a < 1)$ ，且每件零部件的检测结果相互独立，该零部件需要进行复检的概率为 $P (a)$ ，若 $P (a)$ 是关于 $a$ 的函数，求证：函数 $P (a)$ 的图象关于点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 对称.
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

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12、 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $a cos A sin B = (2 c - a) sin A cos B$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $c = 2$ ， $D$ 为 $A C$ 中点， $B D = \frac{\sqrt{7}}{2}$ ，求 $sin ∠ A D B$ .

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13、圆锥 $P O$ 的母线长为2，底面半径为1，过圆锥顶点 $P$ 和底面圆周上任意两点 $A, B$ 作圆锥的截面，当底面圆心 $O$ 到截面 $P A B$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时， $△ P A B$ 重心的轨迹所围成图形的面积是.

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14、函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的偶函数，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，对于 $\forall x > 0$ ，都有 $f^{'} (x) > 0$ ，若 $f (ln a) > f (1)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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15、某超市有两个人工收银区 $A, B$ 和一个自助收银区 $C$ ，通过统计，顾客在 $A, B, C$ 区进行付款的概率分别为 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}$ ，在 $A, B, C$ 区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为 $\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, m$ ，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为 $\frac{4}{9}$ ，则实数 $m =$ .

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16、正方形 $A B C D$ 的顶点坐标分别为 $A (2 \sqrt{2}, 0), B (0, 2 \sqrt{2}), C (- 2 \sqrt{2}, 0), D (0, - 2 \sqrt{2})$ ，曲线 $E : x | x | + y | y | + 4 = 0$ 分别与 $B C, D A$ 交于点 $M, N$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $| C D | + | D N | = | M A |$ B、坐标原点 $O$ 到曲线 $E$ 上任意一点距离的最小值为2 C、曲线 $E$ 与直线 $A B$ 有两个交点 D、曲线 $E$ 上存在点 $P$ ，使 $A P ⊥ B P$

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17、函数 $f (x) = sin x + 3 sin 3 x + \dots + (2 n - 1) sin (2 n - 1) x (n \in N_{+}$ ，且 $n > 1)$ ，则以下结论正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上为增函数 C、当 $n = 2026$ 时， $f (\frac{π}{2}) = - 2026$ D、函数 $y = f (x)$ 为奇函数

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18、数列 ${a_{n}}$ 是各项为正数的等比数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{4} + a_{5} = 6 a_{3}, S_{2} = S_{4} - 12$ ，则（）

A、 $a_{2026} = 2^{2025}$ B、数列 ${a_{n} a_{n + 1}}$ 是公比为2的等比数列 C、 $S_{n} = a_{n + 1} - 1$ D、 ${log}_{2} a_{1}^{2} + {log}_{2} a_{2}^{2} + \dots + {log}_{2} a_{n}^{2} = n (n - 1)$

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19、函数 $f (x) = lg x + \frac{2 x}{x + 1}$ ，若 $f (a) + f (b) = 2, a > 0, b > 0$ ，则 ${(a + b)}^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、4 D、16

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20、正四面体 $A B C D$ 的棱长为2，点 $M, N$ 分别在棱 $A B, C D$ 上，则线段 $M N$ 长度的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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$x$	2	3	4	5	6
$y$	3.2	4.2	5.1	5.8	6.7