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相关试卷

1、已知过原点的平面 $α$ 的一个法向量是 $\overset{⃑}{m} = (- 2, - 1, 2)$ ，点 $P (2, 2, 0)$ 是平面 $α$ 外的一点，则点 $P$ 到平面 $α$ 的距离是（）

A、1 B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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2、双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{3}{4} x$ B、 $y = \pm \frac{4}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{4}{5} x$ D、 $y = \pm \frac{5}{4} x$

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3、设全集 $U = \{x | x < 4, x \in N\}, A = \{0,1, 2\}, B = \{2,3\}$ ，则 $B \cup (∁_{U} A)$ 等于（）

A、 $\{3\}$ B、 $\{2 ， 3\}$ C、 $\emptyset$ D、 $\{0 ， 1 ， 2 ， 3\}$

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4、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，任何一个平面的方程都能表示成 $A x + B y + C z + D = 0$ ，其中 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D \in R$ ， $A^{2} + B^{2} + C^{2} \neq 0$ ，且 $\vec{n} = (A, B, C)$ 为该平面的法向量.已知集合 $P = \{(x, y, z) || x |\leq 1,| y |\leq 1,| z ∣ \leq 1\}$ ， $Q = \{(x, y, z) || x |+| y |+| z ∣ \leq 2\}$ ， $T = \{(x, y, z) || x |+| y |\leq 2,| y |+| z |\leq 2,| z |+| x ∣ \leq 2\}$ .

(1)、设集合 $M = \{(x, y, z) ∣ z = 0\}$ ，记 $P \cap M$ 中所有点构成的图形的面积为 $S_{1}$ ， $Q \cap M$ 中所有点构成的图形的面积为 $S_{2}$ ，求 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的值；

(2)、记集合 $Q$ 中所有点构成的几何体的体积为 $V_{1}$ ， $P \cap Q$ 中所有点构成的几何体的体积为 $V_{2}$ ，求 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 的值：

(3)、记集合 $T$ 中所有点构成的几何体为 $W$ .
①求 $W$ 的体积 $V_{3}$ 的值；
②求 $W$ 的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出 $W$ 的面数和棱数.

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5、矩形 $A B C D$ 的长为4，宽为2，其四边的中点恰为椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的顶点．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、若 $P$ ， $Q$ ， $R$ 三点在以 $A C$ 为直径的圆上，且直线 $P Q$ ， $P R$ 均与 $E$ 有且只有一个公共点，证明： $△ P Q R$ 是直角三角形．

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6、已知函数 $f (x) = e^{x} - ln (x + m)$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $m \leq 2$ 时，求证： $f (x) > 0$ .

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7、设 $f (α) = \sin^{x} α + \cos^{x} α, x \in \{n| n = 2 k, k \in N_{+}\}$ ，当 $x = 4$ 时， $f (α)$ 的取值范围是；当x取一般值时 $f (α)$ 的取值范围是．

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8、如图，已知定点 $B (1, - \sqrt{3})$ ， $B C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ， $M$ 是线段 $O B$ 上任意一点， $M D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ， $M E ⊥ B C$ 于点 $E$ ． $O E$ 与 $M D$ 相交于点 $P$ ，则 $P$ 的轨迹方程为．

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9、如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在 $t s$ 时相对于平衡位置的高度 $h ($ 单位： $cm)$ 由关系式 $h = 2 sin (t + \frac{π}{4})$ 确定以 $t$ 为横坐标， $h$ 为纵坐标，下列说法正确的是（）

A、小球在开始振动 $($ 即 $t = 0)$ 时的位置在 $(0, \sqrt{2})$ B、小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为 $2$ $cm$ C、小球往复运动一次所需时间为 $2 πs$ D、每秒钟小球能往复振动 $\frac{1}{π}$ 次

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10、小吴，小温，小蔡，小龙四位同学各掷骰子5次，约定若6点不出现，则该同学在毕业典礼上就不用代表班级上台表演，班主任何老师分别记录每次骰子出现的点数.根据以下四名同学的统计结果，一定可以确定（）同学不用上台表演.

A、小吴：平均数为 $3$ ，中位数为 $2$ B、小温：中位数为 $3$ ，众数为 $2$ C、小蔡：平均数为 $2$ ，方差为 $2.4$ D、小龙：中位数为 $3$ ，方差为 $2.8$

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11、今天是星期四，再过 $10^{100}$ 天是星期几（）

A、星期天 B、星期一 C、星期二 D、星期三

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12、已知 $A (- 2, - 2), B (- 2, 6), C (4, - 2)$ 三点，点P在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上运动，则 $| P A |^{2} + | P B |^{2} + | P C |^{2}$ 的最大值是（）

A、144 B、88 C、72 D、32

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13、已知数列A： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{8}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{8} = 12$ ，设 $m = a_{k + 1} - a_{k} (1 \leq k \leq 7, k \in N^{*})$ ，若 $m = 1$ 或2，则满足条件的不同数列的个数为（）

A、7 B、21 C、35 D、70

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2^{x}, & x \leq 0 \\ \frac{x}{1 + i}, & x > 0 \end{matrix}$ （ $i$ 是虚数单位），则 $f (f (- 1)) =$ （）

A、 $\frac{1}{4} - \frac{1}{4} i$ B、 $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 3 n + 4$ ，则数列 $\{2^{a_{n}}\}$ 的公比是（）

A、2 B、6 C、8 D、16

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16、已知 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，对任意的 $x \in R$ ，恒有 $f (2 - x) + f (x) = {(x - 1)}^{2}$ 成立，且 $y = f (x)$ 在 $(- \infty, 1]$ 上单调递增.

(1)、求 $f (- 1) + f (0) + f (1) + f (2) + f (3)$ 的值；

(2)、若 $f (2 - a) \geq f (a)$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $x \in [1, + \infty)$ 时，若 $g (x) = 2 f (x) - x^{2} + 2 x$ ，求 $g (x)$ 的最小值.

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17、已知函数 $f (x) = \frac{x^{a + 3} + 4}{x^{2 a}} (a > 0, b \in R)$ 是定义在 $[- 4 a, 0) \cup (0, b]$ 上的偶函数， $f (2) = 5$ .

(1)、求 $a, b$ 的值及 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(0, b)$ 上的单调性（要求写出单调区间），用定义证明单调性；

(3)、若 $t^{2} - 2 t + 1 < f (x)$ 在定义域内恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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18、某工厂对甲产品进行促销活动，甲产品的年销售量（该厂的年产量为年销售量） $x$ 万件与促销费用 $t (t \geq 0)$ 万元满足 $x = \{\begin{cases} 10 - \frac{24}{25 (t + 2)}, t \geq 10 \\ - \frac{2}{5} t^{2} + \frac{101}{25} t - \frac{4}{5}, 0 \leq t < 10 \end{cases}$ .已知生产甲产品的固定投入为9万元，每生产1万件甲产品需要再投入25万元，工厂将甲产品的销售价格定为甲产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，甲产品年平均成本 $= \frac{固定投入资金 + 再投入资金}{产品年产量}$ ）．

(1)、写出甲产品的年利润 $y = f (t)$ 关于年促销费用 $t$ 的函数；

(2)、该工厂投入年促销费用多少万元时，该工厂的利润最大？

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19、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 t x + t - 1, t \in R$ .

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 解集为 ${x ∣ b < x < 3}$ ，求 $t, b$ 的值；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) + t > 0$ .

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20、设集合 $A = \{x ∣ x^{2} + 2 x - 8 \leq 0\}, B = {x ∣ 1 - a \leq x \leq 3 a + 2}$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $A, A \cap B$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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