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1、下列四个命题中正确命题的个数是（）
①如果 $a$ ， $b$ 是两条直线， $a // b$ ，那么 $a$ 平行于经过 $b$ 的任何一个平面；
②如果直线 $a$ 和平面 $α$ 满足 $a // α$ ，那么 $a$ 与平面 $α$ 内的任何一条直线平行；
③如果直线 $a$ ， $b$ 和平面 $α$ 满足 $a // b$ ， $a // α$ ， $b ⊄ α$ ，那么 $b // α$ ；
④如果 $a$ 与平面 $α$ 上的无数条直线平行，那么直线 $a$ 必平行于平面 $α$ ．

A、0 B、1 C、2 D、3

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2、设 $x, y \in R$ ，向量 $\overset{⇀}{a} = (x, 2), \overset{⇀}{b} = (3, y),$ $\overset{⇀}{c} = (1, - 1)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{c}, \overset{⇀}{b} / / \overset{⇀}{c},$ 则 $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} |$ 等于

A、 $5$ B、 $4$ C、 $\sqrt{26}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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3、已知复数 $z$ 满足 $z (1 - 2 i) = 3 + 4 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $| z |$ 为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、5

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4、在平面直角坐标系xOy中，利用公式 $\{\begin{array}{l} x^{'} = a x + b y \\ y^{'} = c x + d y \end{array}$ ①（其中a，b，c，d为常数），将点 $P (x, y)$ 变换为点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a，b，c，d组成的正方形数表 $(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ 唯一确定，我们将 $(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A，B，…表示．若在平面直角坐标系xOy中，双曲线 $x y = 3$ 通过二阶矩阵 $(\begin{matrix} \frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{6} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \end{matrix})$ 进行线性变换后得到双曲线C．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、根据圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下列问题：若直线 $l_{2}$ 是过C的右支上点P的切线，且 $l_{2}$ 不与x轴垂直， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线C的左、右焦点，过 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别作直线 $l_{2}$ 的垂线，垂足为 $T_{1}$ ， $T_{2}$ ．
①求证：点 $T_{1}$ ， $T_{2}$ 均在以O为圆心的定圆上，且 $O T_{1} ∥ P F_{2}$ ， $O T_{2} ∥ P F_{1}$ ；
②求证： $| F_{1} T_{1} | \cdot | F_{2} T_{2} |$ 是定值．

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5、如图，已知圆E： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，点 $F (1, 0)$ ， P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q，设动点Q的轨迹为C．

(1)、求动点Q的轨迹C的方程；

(2)、设动点Q的轨迹C分别与x轴交于点A，B，过点F作一条直线与 $C$ 交于M，N两点，求四边形AMBN面积的取值范围．

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6、已知圆C过点 $A (- \sqrt{15}, 1)$ 和 $B (2 \sqrt{3}, 4)$ ，且圆心C在y轴上.

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、若直线l过点 $P (2, 0)$ ，且被圆C截得的弦长为 $4 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程.

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7、已知点 $P (- 2, 3, 1)$ 关于坐标平面 $O x y$ 的对称点为 $P_{1}$ ，点 $P_{1}$ 关于坐标平面 $O y z$ 的对称点为 $P_{2}$ ，则 $|P P_{2}| =$ .

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8、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ， M，N分别是AB， $B_{1} C_{1}$ 的中点，P是 $B C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 的交点，Q为线段 $A_{1} N$ 上的动点（包含线段的端点），K为平面 $A_{1} B C$ 上的动点，则以下说法正确的是（）

A、三棱锥A-QBC的体积为定值 B、Q为线段 $A_{1} N$ 的中点时，异面直线PQ与 $A_{1} B$ 所成角为30° C、若 $P Q ∥ 平面 A_{1} C M$ ，则 $\frac{N Q}{A_{1} Q} = \frac{2}{3}$ D、若K是平面 $A_{1} B C$ 上一动点，则 $| P K | + | K Q |$ 的最小值为 $\frac{5}{3}$

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9、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{2} = 1 (a > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{b^{2}} - \frac{y^{2}}{2} = 1 (b > 0)$ 的公共焦点，点 $P$ 是两曲线的一个交点， $e_{1}$ ， $e_{2}$ 分别为 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的离心率，则（）

A、 $a > b$ B、 $e_{1} e_{2} < 1$ C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 是直角三角形 D、 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}}$ 是个定值

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10、在 $△ A B C$ 中， $A C = 7 ， B C = 4 ， \vec{A D} = 2 \vec{D B} ， C D = \sqrt{19}$ ，则 $B D =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11、已知 $A (2, - 1, 2)$ ， $B (3, 1, - 1)$ ， $C (2, 2, - 2)$ ，点 $P (- 1, y, 1)$ 在平面 $A B C$ 内，则 $y$ 的值为（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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12、（1）已知： $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $\frac{a + a^{- 1} + 2}{a^{2} + a^{- 2} - 2}$ ；
（2）已知 $\log_{2} 3 = a, \log_{2} 7 = b$ ，试用 $a, b$ 表示 $\log_{42} 56$ .

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13、已知：关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- 1, 2)$ ，则关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - b x + c > 0$ 的解集为.

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14、设函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - x^{2} + x, x \leq 2 \\ f (x - 3), x > 2 \end{matrix}$ ，则 $f (3) =$ .

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15、已知 $x > 0, y > 0, 2 x + y = 1$ ，则（）

A、 $x y$ 的最大值为 $\frac{1}{8}$ B、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{5}$ C、 $\sqrt{2 x} + \sqrt{y}$ 的最大值为 $1$ D、 $\frac{x}{y} + \frac{1}{x}$ 的最小值为 $4$

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16、已知定义在R上函数 $f (x)$ 的图象连续不间断，且满足以下条件：① $\forall x \in R$ ，都有 $f (- x) = f (x)$ ；② $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ ；③ $f (- 3) = 0$ ，则下列成立的是（）

A、 $f (1) > f (- 2)$ B、若 $\frac{f (x)}{x} < 0$ ， $x \in (- 3, 0) \cup (3, + \infty)$ C、若 $f (m - 1) < f (2)$ ，则 $m \in (3, + \infty)$ D、 $\forall x \in R$ ， $\exists M \in R$ ，使得 $f (x) \leq M$

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17、在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值 $y$ [单位： $dB$ （分贝）]定义为 $y = 10 lg \frac{I}{I_{0}}$ ，其中 $I$ 为声场中某点的声强度，其单位为 ${W/m}^{2}$ （瓦/平方米）， $I_{0} = 10^{- 12} W / m^{2}$ 为基准值.则声强级为 $70 dB$ 时的声强度 $I_{70}$ 是声强级为 $50 dB$ 时的声强度 $I_{50}$ 的（）倍

A、10 B、100 C、1.2 D、12

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18、设函数 $f (x) = x^{3} - \frac{1}{x}$ ，则 $f (x)$ （）

A、是奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递增 B、是奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递减 C、是偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递增 D、是偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递减

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19、已知函数 $f (x) = \frac{3^{x} - 1}{a \cdot 3^{x} + 1}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (1) + f (- 1)$ 的值.

(2)、当 $x \in (0, 1]$ 时， $| \frac{1}{f (2 x)} - \frac{1}{f (x)} | \geq 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

(3)、当 $a = 1$ 时，设 $F (x) = \frac{f (2 x)}{f (x)}$ .把区间 $(0, 2)$ 等分成 $2 n$ 份，记等分点的横坐标依次为 $x_{i}, i = 1, 2, 3, \dots, 2 n - 1$ ，设 $g (x) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3^{x - 1} + 1}$ ，记 $H (n) = g (x_{1}) + g (x_{2}) + g (x_{3}) + \dots + g(x_{2 n - 1}) (n \in N^{*})$ ，是否存在正整数 $n$ ，使不等式 $F (x) \geq H (n)$ 有解？若存在，求出所有 $n$ 的值，若不存在，说明理由

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |x + 2|, - 4 \leq x < 0 \\ 2 - e^{x}, x \geq 0 \end{array}$ ，若存在 $x_{1}, x_{2}, x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，使 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，则 $\frac{1}{2} x_{1} + \frac{1}{2} x_{2} + 3 x_{3}$ 的取值范围是.

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