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1、下列选项中描述正确的是（）

A、 $- π \notin R$ B、 $\frac{3}{7} \in Q$ C、 $\sqrt{2} \in Z$ D、 $- 2 \in N$

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2、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，利用公式 $\{\begin{cases} x^{'} = a x + b y \\ y^{'} = c x + d y \end{cases}$ ①（其中 $a, b, c, d$ 为常数），将点 $P (x, y)$ 变换为点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由 $a, b, c, d$ 组成的正方形数表 $(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ 唯一确定，我们将 $(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母 $A, B,$ …表示．

(1)、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将点 $P (x, y)$ 绕原点 $O$ 按逆时针旋转 $\frac{π}{2}$ 得到点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ （到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵 $A$ ；

(2)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，求双曲线 $x y = 4$ 通过二阶矩阵 $(\begin{matrix} \frac{\sqrt{2}}{4} & - \frac{\sqrt{2}}{4} \\ \frac{\sqrt{2}}{4} & \frac{\sqrt{2}}{4} \end{matrix})$ 进行线性变换后得到的双曲线方程 $C$ ；

(3)、已知由（2）得到的双曲线 $C$ ，上顶点为 $D$ ，直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的两支分别交于 $A, B$ 两点（点 $B$ 在第一象限），与 $x$ 轴交于点 $T (\frac{\sqrt{6}}{3}, 0)$ ，设直线 $D A, D B$ 的倾斜角分别为 $α, β$ ，求证： $α + β$ 为定值．

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3、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, B C = 3, A C = 6$ ， $D, E$ 分别是 $A C, A B$ 上的点，满足 $D E // B C$ 且 $A D = 2 C D$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使 $A_{1} C ⊥ C D$ ， $M$ 是 $A_{1} D$ 的中点，如图所示．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、求 $C M$ 与平面 $A_{1} B E$ 所成角的大小；

(3)、在线段 $A_{1} C$ 上是否存在点 $N$ ，使平面 $N D B$ 与平面 $A_{1} B E$ 成角余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ？若存在，求出 $C N$ 的长度；若不存在，请说明理由．

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4、已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 外有一点 $A (3, 2)$ ，过点 $A$ 作直线 $l$ ．

(1)、当直线 $l$ 与圆 $C$ 相切时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、点 $P$ 为圆上任意一点，已知 $B (5, 0)$ ，求 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2}$ 的最小值．

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5、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0, b_{2} > 0)$ 有相同的焦点 $F_{1} ､ F_{2}$ ，椭圆 $C_{1}$ 的离心率为 $e_{1}$ ，双曲线 $C_{2}$ 的离心率为 $e_{2}$ ，点 $P$ 为椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 的第一象限的交点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则 $\frac{e_{1} e_{2}}{e_{1} + e_{2}}$ 的取值范围是.

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6、设点 $A (- 2, 0), B (0, a)$ ，直线 $A B$ 关于直线 $y = a$ 的对称直线为 $l$ ，已知 $l$ 与圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 有公共点，则 $a$ 的取值范围为．

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7、向量 $\vec{a} = (x, 1, 1), \vec{b} = (1, y, 1), \vec{c} = (2, - 4, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}, \vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $|3 \vec{a} - \vec{b}| =$ ．

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8、清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若 $A B = 2$ ，则给出的说法中正确的是（）

A、该几何体的表面积为 $18 \sqrt{3}$ B、该几何体的体积为4 C、二面角 $B - E F - H$ 的余弦值为 $- \frac{1}{3}$ D、若点P，Q在线段BM，CH上移动，则PQ的最小值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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9、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2}{3}$ ，长轴长为6， $F, F^{'}$ 分别是椭圆的左、右焦点， $A (1, 1)$ 是一个定点， $P$ 是椭圆 $E$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、焦距为4 B、椭圆 $E$ 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ C、 $|A F^{'}| = \sqrt{2}$ D、 $|P A| + |P F|$ 的最大值为 $6 + \sqrt{2}$

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10、数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与 $\sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}}$ 相关的代数问题，可以转化为点 $A (x, y)$ 与点 $B (a, b)$ 之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 6 x + 10} + \sqrt{x^{2} - 6 x + 10}$ ，下列结论正确的是（）

A、方程 $f (x) = 8$ 有两个解 B、方程 $f (x) = 8$ 无解 C、 $f (x)$ 的最小值为 $2 \sqrt{7}$ D、 $f (x)$ 的最大值为 $6 \sqrt{7}$

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11、19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的蒙日圆方程为 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ ．若圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - m)}^{2} = 16$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 的蒙日圆有且仅有一个公共点，则 $m$ 的值为（）

A、 $\pm 3$ B、 $\pm 4$ C、 $\pm 5$ D、 $\pm 3 \sqrt{3}$

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12、下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角是钝角 B、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底，则 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}\}$ 也是空间的一个基底 C、直线 $l$ 经过点 $A (2, 3, 1), B (0, 1, 0)$ ，则 $P (\frac{3}{2}, 3, 2)$ 到 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ D、直线 $l$ 的方向向量 $\vec{a} = (0, 1, - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量 $\vec{n} = (1, - 1, - 1)$ ，则 $l ⊥ α$

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13、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则其渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm \sqrt{5} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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14、如图，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $N$ 在 $\vec{O A}$ 上，且 $O N = N A$ ，点 $M$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{N M} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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15、过点 $(1, 2)$ 且垂直于直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 的直线方程为（）

A、 $2 x + y - 4 = 0$ B、 $2 x - y + 4 = 0$ C、 $2 x + y - 8 = 0$ D、 $x - 2 y + 4 = 0$

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16、已知直线过点 $A (1, 0), B (0, \sqrt{3})$ ，则直线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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17、已知圆 $M : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，点 $P (- 1, t)$ 为直线 $l : x = - 1$ 上一动点，过点 $P$ 引圆 $M$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$

(1)、当 $t = 2$ 时，求 $|A B|$ 的值；

(2)、若两条切线 $P A, P B$ 与 $y$ 轴分别交于 $S, T$ 两点，求 $△ P S T$ 的面积的最小值．

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18、已知圆 $C : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ ，直线 $l : (2 + a) x + (1 + a) y + a = 0$ .

(1)、求证：直线l恒过定点；

(2)、直线l被圆C截得的弦长何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时a的值以及最短弦长．

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19、如果实数x、y满足 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 = 0$ ，那么 $\frac{y}{x + 2}$ 的最大值是．

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20、在平面直角坐标系中， $A (0, 3), B (0, - 1)$ ，点P满足 $| P A | = 2 | P B |$ ，则 $△ P A B$ 面积的最大值是（）

A、2 B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{16}{3}$ D、 $\frac{32}{3}$

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