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相关试卷

1、双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右顶点到其渐近线的距离为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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2、已知集合 $A = \{n |n = 4 k + 1, k \in Z\}$ ，集合 $B = \{1, 3, 5, 7\}$ ，则（）

A、 $B \subseteq A$ B、 $B \subseteq ∁_{Z} A$ C、 $A \cap B = B$ D、 $A \cup B \neq A$

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3、双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一个顶点在直线 $l ： y = x + 1$ 上，且其离心率为 $\sqrt{5}$ ．
（附：双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ 以点 $(m, n)$ 为切点的切线方程为 $\frac{m}{a^{2}} x - \frac{n}{b^{2}} y = 1$ ）

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程；

(2)、若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点 $T$ 在直线 $l$ 上，且过点 $T$ 恰好可作双曲线 $E$ 的两条切线，设这两条切线的切点分别为 $P$ 和 $M$ ．
（i）设点 $T$ 的横坐标为 $t$ ，求 $t$ 的取值范围；
（ii）设直线 $T P$ 和直线 $T M$ 分别与直线 $x = - 1$ 交于点 $Q$ 和点 $N$ ，证明：直线 $P N$ 和直线 $M Q$ 交点在定直线上．

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4、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是公比为2的等比数列，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{3} = 6$ ， $b_{2} = 4$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 中的所有项分别构成集合 $A$ ， $B$ ，将集合 $\{x |x \in A 且 x \notin B\}$ 中的所有元素从小到大依次排列构成新数列 $\{C_{n}\}$ ，求数列 $\{C_{n}\}$ 的前20项和 $T_{20}$

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5、数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{n}$ 表示自然数 $n$ 的所有因数中最大的那个奇数，例如：20的因数有1，2，4，5，10，20， $a_{20} = 5$ ， 21的因数有1，3，7，21， $a_{21} = 21$ ，那么数列 $\{a_{n}\}$ 前 $2^{2023} - 1$ 项的和 $S_{2^{2023} - 1} =$

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6、某公司在某地区进行商品 $A$ 的调查，随机调查了100位购买商品 $A$ 的顾客的性别，其中男性顾客18位，已知该地区商品 $A$ 的购买率为10%，该地区女性人口占该地区总人口的 $46 %$ ，从该地区中任选一人，若此人是男性，求此人购买商品 $A$ 的概率

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7、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为边AB的中点，沿DE将△ADE折起，点A折至A₁处（A₁∉平面ABCD），若M为线段A₁C的中点，平面A₁DE与平面DEBC所成锐二面角α，直线A₁E与平面DEBC所成角为β，则在△ADE折起过程中，下列说法正确的是（　　）

A、存在某个位置，使得BM⊥A₁D B、△A₁EC面积的最大值为 $2 \sqrt{2}$ C、sinα $= \sqrt{2}$ sinβ D、三棱锥A₁﹣EDC体积最大时，三棱锥A₁﹣EDC的外接球的表面积16π

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8、一组样本数据 $(x_{i}, y_{i}), i \in {1, 2, 3, \dots, 100}$ ．其中 $x_{i} > 1895 ， \sum_{i = 1}^{100} x_{i} = 2 \times 10^{5} ， \sum_{i = 1}^{100} y_{i} = 970$ ，求得其经验回归方程为： $\hat{y} = - 0.02 x + {\hat{a}}_{1}$ ，残差为 ${\hat{e}}_{i}$ ．对样本数据进行处理： $x_{i}^{'} = ln (x_{i} - 1895)$ ，得到新的数据 $(x_{i}^{'}, y_{i})$ ，求得其经验回归方程为： $\hat{y} = - 0.42 x + {\hat{a}}_{2}$ ，其残差为 $\hat{u_{i}}$ ， $\hat{e_{i}}, \hat{u_{i}}$ 分布如图所示，且 $\hat{e} \sim N (0, σ_{1}^{2}), \hat{u} \sim N (0, σ_{2}^{2})$ ，则（）

A、样本 $(x_{i}, y_{i})$ 负相关 B、 ${\hat{a}}_{1} = 49.7$ C、 $σ_{1}^{2} < σ_{2}^{2}$ D、处理后的决定系数变大

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9、已知函数 $f (x) = a x + \ln x + 1 - x e^{2 x}$ 对任意的 $x > 0$ ， $f (x) \leq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $(- \infty, 1]$ D、 $(- \infty, 3]$

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10、已知双曲线 $M$ ： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，记 $|F_{1} F_{2}| = 2 c$ ，以坐标原点 $O$ 为圆心， $c$ 为半径的圆与双曲线 $M$ 在第一象限的交点为 $P$ .若 $|P F_{1}| = c + 4$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} + 2}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3} + 3}{2}$

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11、已知集合 $M = \{x |y = \ln x\}$ ，集合 $N = \{y |y = \frac{1}{x - 1}\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{x |x > 0$ 且 $x \neq 1\}$ B、 $\{x |x \neq 1\}$ C、 $\{x |x > 0\}$ D、 $\{x |x \neq 0\}$

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12、在直角坐标平面内，设P是圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上的动点， $P Q ⊥ x$ 轴，垂足为点Q，点M在 $Q P$ 的延长线上，且 $\frac{|Q P|}{|Q M|} = \frac{2}{3}$ ，点M的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、设l是过点 $N (4, 0)$ 的动直线．
①当直线l的斜率为 $- 2$ 时，曲线C上是否存在一点D，使得点D到直线l的距离最小？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
②若直线l与曲线C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，直线 $A E$ 与x轴的交点为F，求 $△ A B F$ 面积的最小值．

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13、已知函数 $f (x) = e^{- a x} + \sin x - \cos x$ ．

(1)、若 $a = - 1$ ， $x \geq - \frac{π}{4}$ ，求证： $F (x) = f^{'} (x) - \frac{1}{3} x - 1$ 有且仅有一个零点；

(2)、若对任意 $x \leq 0$ ， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围；

(3)、若 $a$ 满足第（2）问所得的取值范围，且 $g (x) = f (x) + s i n x \cdot f (x)$ ，求 $g (x)$ 在 $x \leq 0$ 时的最小值，并指出取到最小值时 $x$ 的取值．

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14、某区域中的物种 $P$ 拥有两个亚种（分别记为 $A$ 种和 $B$ 种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研究小组计划在该区域中捕捉 $100$ 个物种 $P$ ，统计其中 $A$ 种的数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共 $20$ 次，记第 $i$ 次试验中 $A$ 种的数目为随机变量 $X_{i} (i = 1, 2, \dots, 20)$ .设该区域中 $A$ 种的数目为 $M$ ， $B$ 种的数目为 $N$ ，每一次试验均相互独立.

(1)、求 $X_{1}$ 的分布列；

(2)、记随机变量 $\bar{X} = \frac{1}{20} \sum_{i = 1}^{20} X_{i}$ .已知 $E (X_{i} + X_{j}) = E (X_{i}) + E (X_{j})$ ， $D (X_{i} + X_{j}) = D (X_{i}) + D (X_{j})$ ；
（ⅰ）证明： $E (\bar{X}) = E (X_{1})$ ， $D (\bar{X}) = \frac{1}{20} D (X_{1})$ ；
（ⅱ）该小组完成所有试验后，得到 $X_{i}$ 的实际取值分别为 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, 20)$ .数据 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, 20)$ 的平均值 $\bar{x} = 40$ ，方差 $s^{2} = 1.176$ .采用 $\bar{x}$ 和 $s^{2}$ 分别代替 $E (\bar{X})$ 和 $D (\bar{X})$ ，给出 $M$ ， $N$ 的估计值.

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ， $S_{n + 1} = 3 S_{n} + 2$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 2$ ， $\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{n + 2}{n}$ ，其中 $n \in N^{*}$ ．

(1)、分别求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $c_{n}$ 的等差数列，求数列 $\{b_{n} c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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16、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，侧面 $P A C ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C$ ， $△ P A C$ 是边长为2的正三角形， $B C = 4$ ， E，F分别是 $P C$ ， $P B$ 的中点，记平面 $A E F$ 与平面 $A B C$ 的交线为l．

(1)、证明：直线 $l ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求 $E F$ 与平面 $E C A$ 的正弦值．

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17、已知棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内有一个动点M，满足 $M A = M D_{1}$ ，且 $M B = 1$ ，则四棱锥 $M - A D D_{1} A_{1}$ 体积的取值范围为．

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18、记 $T_{n}$ 为正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项积，已知 $T_{n} = \frac{a_{n}}{a_{n} - 1}$ ，则 $a_{1} =$ ； $T_{2026} =$ ．

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19、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ 的图象与圆 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 有两个交点，则 $r$ 的取值范围为．

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20、棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四面体ABCD中， $\vec{A P} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ ， $\vec{A Q} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ ， $\vec{A R} = \frac{1}{4} \vec{A D}$ ，点K为△BCD的重心，则下列说法正确的是（）

A、 $A K ⊥ B K$ B、若直线AK与平面PQR的交点为M，则 $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A K}$ C、四面体ABCD外接球的表面积是 $\sqrt{3} π$ D、四面体KPQR的体积是 $\frac{1}{36}$

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