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相关试卷

1、已知定义在 $(- 1, 1)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：
①对任意 $x, y \in (- 1, 1)$ 都有 $f (x) + f (y) = f (\frac{x + y}{1 + x y})$ ；②当 $x > 0$ ， $f (x) > 0$ .
则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 是减函数 C、若 $f (\frac{1}{5}) = \frac{1}{2}$ ，则 $f (\frac{1}{2}) - f (\frac{1}{7}) = 1$ D、 $f (\frac{1}{11}) + f (\frac{1}{19}) + f (\frac{1}{29}) + f (\frac{1}{41}) < f (\frac{1}{3})$

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2、存在函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x \in \{x |x \neq 0\}$ 都有（）

A、 $f (4^{x}) = x^{2} + 1$ B、 $f (x + \frac{1}{x}) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ C、 $f (x^{2}) = x + 1$ D、 $f (x^{2} + 2 x) = \sqrt{|x + 1|}$

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3、已知实数 $a, b, c$ 满足 $a > b > c$ ，则下列不等关系中不一定成立的是（）

A、 $a c > b c$ B、 $\frac{1}{a - c} < \frac{1}{b - c}$ C、 $a - b > b - c$ D、 $a + b > c$

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4、已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，若 $a \in (0, 1)$ ，记 $f (x) = |x - [x + a]| + |x - [x - a]|$ ，且 $\forall x \in R$ ，有 $f (x) \leq M (a)$ 恒成立，则 $M (a)$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、2

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5、若 $m, n$ 均为大于1的实数，且 $m n = 3 + m + n$ ，则 $m + 2 n$ 的最小值为（）

A、6 B、9 C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $3 + 4 \sqrt{2}$

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2 x ， x \leq 1 \\ x + a ， x > 1 \end{cases}$ ，若 $f (2^{a}) = f (1 - a)$ ，则整数a的值为（）

A、0 B、1 C、-1 D、-1或0

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7、已知 $a = {1.1}^{0.1}$ ， $b = {0.9}^{- 0.1}$ ， $c = \log_{5} 4$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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8、函数 $y = f (x)$ 的图象如图，则 $y = |f (x - 2)|$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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9、命题“ $\forall x \geq 1$ ， $x^{2} + 2 x \geq 3$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \geq 1$ ， $x^{2} + 2 x < 3$ B、 $\exists x \geq 1$ ， $x^{2} + 2 x \geq 3$ C、 $\exists x \geq 1$ ， $x^{2} + 2 x < 3$ D、 $\exists x < 1$ ， $x^{2} + 2 x < 3$

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10、“ $x^{2} = 1$ ”是“ $x = - 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、若整数数列 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{k} (k \in N_{+})$ 满足对任意的 $i \in \{0, 1, \dots, k\}, a_{i}$ 的值恰好为 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{k}$ 中数字 $i$ 出现的次数（数字不拆分统计，如10不计入0，1的出现次数），则我们称该数列是“自洽”的.例如，当 $k = 4$ 时，有如下数列是“自洽”的： $a_{0} = 2, a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{3} = 0, a_{4} = 0$ 这表示，在 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{4}$ 中，0和2出现了2次，1出现了1次，3和4出现了0次.现已知一个 $n + 1$ 项数列 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ 是“自洽”的.

(1)、求证： $a_{0} + a_{1} + \dots + a_{n} = n + 1$ ；

(2)、当 $n = 3$ 时，直接写出所有满足条件的数列（无需证明）；

(3)、当 $n > 5$ 时，求该数列的通项公式.

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12、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的焦距为4，焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{3}, A, B$ 是双曲线 $C$ 上关于原点 $O$ 对称的两点，且点 $A$ 在第一象限，点 $T$ 的坐标为 $(3, 0)$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若 $∠ A T B = 90^{\circ}$ ，求 $△ A T B$ 的面积；

(3)、记直线 $A T, B T$ 与双曲线 $C$ 的另一个交点分别为 $P, Q$ ，直线 $A B, P Q$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，是否存在实数 $λ$ ，使得 $k_{2} = λ k_{1}$ 恒成立？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

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13、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C, P A = A B = 2, C$ 在以 $A B$ 为直径的圆周上运动，作 $A E ⊥ P B$ 于 $E, A F ⊥ P C$ 于 $F$ ，连接 $E F, F B$ .

(1)、求证： $A F ⊥ P B$ ；

(2)、求证：平面 $A E F$ 与平面 $A B C$ 所成夹角的大小与 $∠ A P B$ 相等；

(3)、若 $A C = \sqrt{2}$ ，求直线 $P C$ 与平面 $A F B$ 所成角的大小.

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, \sqrt{2} a sin C - a cos C + b - c = 0$ .

(1)、求 $cos A$ ；

(2)、若 $sin B = \frac{\sqrt{6}}{3}, △ A B C$ 的最长边长度为4，求最短边的长度.

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15、已知函数 $f (x) = \frac{x - 1}{e^{x}}, g (x) = 1 - \frac{1}{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x > 1$ 时，判断并证明 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的大小关系.

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16、已知正 $n$ 边形 $A_{1} A_{2} \dots A_{n} (n \leq 15)$ 内接于单位圆 $O$ ，任取两个不同顶点 $A_{i}, A_{j}$ ，满足 $|{\vec{O A}}_{i} + {\vec{O A}}_{j}| \geq \sqrt{3}$ 的概率为 $\frac{2}{7}$ ，则 $n$ 的值为.

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2 x - k, x \leq \frac{1}{2} \\ |ln x|, x > \frac{1}{2} \end{cases}$ 的最小值为0，则实数 $k$ 的取值范围是.

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18、在 $(2 - \frac{x}{y}) {(x + y)}^{5}$ 的展开式中，含 $x^{3} y^{2}$ 的项的系数是.

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19、已知四棱锥 $P - A B C D$ 满足底面 $A B C D$ 为平行四边形，取 $P C$ 中点 $M$ ，过直线 $A M$ 作平面 $α$ 分别交棱 $P B, P D$ 于点 $S, T$ .设 $x = \frac{P S}{P B}, y = \frac{P T}{P D}$ ，则（）

A、三棱锥 $P - A M B$ 的体积是四棱锥 $P - A B C D$ 的体积的 $\frac{1}{4}$ B、 $x$ 的取值范围为 $(0, 1]$ C、当 $x = \frac{2}{3}$ 时， $y = \frac{2}{3}$ D、四棱锥 $P - A S M T$ 的体积与四棱锥 $P - A B C D$ 的体积之比的最小值为 $\frac{1}{3}$

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20、已知点 $A$ 为直线 $l : 4 x + 3 y + t = 0 (t \in R)$ 上的动点，向量 $\vec{A B} = (2, 1)$ ，过点 $B$ 向圆 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ 作两条切线，切点分别为点 $D, E$ ，则（）

A、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，则 $t = \pm 5$ B、当 $t = 1$ 时，直线 $l$ 截圆 $C$ 所得的弦长为 $\frac{4}{5} \sqrt{6}$ C、点 $B$ 到直线 $l$ 的距离恒为 $\sqrt{5}$ D、若 $t < 0$ ，则当 $|B C| |D E|$ 取到最小值时， $l ⊥ B C$

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