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相关试卷

1、已知直线 $l$ 经过点 $A (2, 3, 1)$ ，且 $\vec{n} = (\sqrt{2}, 0, \sqrt{2})$ 是 $l$ 的方向向量，则点 $P (4, 3, 2)$ 到 $l$ 的距离为．

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2、已知 $\vec{m} = (- 2, t, 5)$ ， $\vec{n} = (3, - 2, t)$ 分别是平面 $α$ ， $β$ 的法向量，且 $α ⊥ β$ ，则t的值为（）

A、1 B、2 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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3、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $S_{2} = 2$ B、数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列 C、 $a_{n} = 2^{n}$ D、若 $b_{n} = \frac{1}{{log}_{2} a_{n + 1} {log}_{2} a_{n + 2}}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前10项和为 $\frac{10}{11}$

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n} (n \in N^{*})$ ， $a_{1} = 1$ ．

(1)、证明：数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 为等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ；

(3)、若 $S_{n} \leq 2 a_{n} - 4 n - λ$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立．求实数 $λ$ 的取值范围．

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5、已知 $x \in$ R ，则“ $|x - 3| < 1$ ”是“ $- x^{2} - x + 6 < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、 $⌈x⌉$ 表示大于或者等于 $x$ 的最小整数， $⌊x⌋$ 表示小于或者等于 $x$ 的最大整数．设 $\{a_{n}\}$ 为 $a_{1} = 1$ 的单调递增数列，且满足 $a_{n + 1}^{2} + 16 a_{n}^{2} + 1 - 2 (a_{n + 1} + 4 a_{n}) - 8 a_{n} a_{n + 1} = 0$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a_{2} = 9$ B、 $a_{2025}$ 至多有 $2^{2022}$ 种取值可能 C、 $\frac{1}{\sqrt[4]{a_{1}}} + \frac{1}{\sqrt[4]{a_{2}}} + \dots + \frac{1}{\sqrt[4]{a_{n}}} \leq \sqrt{2} + 2$ D、 $\sum_{k = 1}^{n} (⌊\frac{\sqrt{a_{k}}}{2^{k - 1}}⌋ + ⌈\frac{\sqrt{a_{k}}}{2^{k - 1}}⌉) = 3 n$

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7、直线 $l : (m + 3) x + (m - 2) y - m - 2 = 0$ ，点 $A (- 2, - 1)$ ， $B (2, - 2)$ ，若 $l$ 与线段AB相交，则 $m$ 的范围为（）

A、 $(- \infty, - 4] \cup [4, + \infty)$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $[- \frac{3}{2}, 8]$ D、 $(4, + \infty)$

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8、已知函数 $f (x) = 2 x^{2} + m x + n$ 的图象过点 $(0, - 1)$ ，且满足 $f (- 1) = f (2)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $f (x)$ 在 $[a, a + 2]$ 上的最小值为 $h (a)$ ，求 $h (a)$ 的值域；

(3)、若 $x_{0}$ 满足 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 的不动点．函数 $g (x) = f (x) - t x + t$ 有两个不相等的不动点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} > 0, x_{2} > 0$ ，求 $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}}$ 的最小值．

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9、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点，若 $\overset{⃑}{A B} = \vec{a}, \overset{⃑}{A D} = \vec{b}, \overset{⃑}{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则下列正确的是（）

A、 $\overset{⃑}{B M} = \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\overset{⃑}{A C_{1}} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ C、 $A C_{1}$ 的长为 $\sqrt{5}$ D、 $\cos ⟨\overset{⃑}{A B}, \overset{⃑}{A C_{1}}⟩ = \frac{\sqrt{6}}{3}$

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10、古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高 $O P = 4$ ，底面圆的半径为8，M为母线PB的中点，平面与底面的交线 $E F ⊥ A B$ ，则双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{6}{7}$

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11、已知点 $P$ 是直线 $l : 3 x + 4 y - 7 = 0$ 上的动点，过点 $P$ 引圆 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的两条切线 $P M, P N,$ $M, N$ 为切点，当 $∠ M P N$ 的最大值为 $90^{\circ}$ ，则 $r$ 的值为（）

A、4 B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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12、设 $a, b \in R$ ，则“ $\{\begin{array}{l} a + b > 2 \\ a b > 1 \end{array}$ ”是“ $a > 1$ 且 $b > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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13、记为 $[m]$ 为不超过m的最大整数，设函数 $f (x) = \frac{a^{x}}{1 + a^{x}}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），求 $y = [f (x) - \frac{1}{2}] + [f (- x) - \frac{1}{2}]$ 的值域.

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14、定义在 $(- 1, 1)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对任意的 $x, y \in (- 1, 1)$ ，都有 $f (y) - f (x) = f (\frac{y - x}{1 - x y})$ ，且当 $x \in (- 1, 0)$ 时， $f (x) < 0$ .

(1)、求证： $f (x)$ 是奇函数；

(2)、判断 $f (\frac{1}{2}) + f (- \frac{1}{3})$ 的正负，并说明理由.

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15、 $10^{1 - lg 2} + ln \frac{1}{\sqrt{e}} + {log}_{4} 7 \cdot {log}_{7} 8 =$ .

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16、下列为真命题的是（）

A、函数 $y = x + \frac{1}{x} (x \neq 0)$ 的最小值为2 B、函数 $y = x + \frac{1}{x - 1} (x > 1)$ 的最小值为3 C、函数 $y = 3 x - \frac{4}{x} (x \leq - 1)$ 的最大值为1 D、函数 $y = \frac{x^{2} + 3}{\sqrt{x^{2} + 2}} (x \in R)$ 的最小值为2

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17、设 $m \in R$ ，若过定点A的动直线 $x + m y - m = 0$ 和过定点B的动直线 $m x - y - m + 3 = 0$ 交于点 $P (x, y)$ ， AB中点为Q，则 $|P Q|$ 的值为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、与m的取值有关

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18、已知圆 $C : {(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ ，直线 $l : x - 2 y - 8 = 0$ ， $M$ 为圆 $C$ 上一动点， $N$ 为直线 $l$ 上一动点，定点 $P (- 7, - 4)$ ，则 $| M N | + | P N |$ 的最小值为.

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19、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}, B = \{x |- 1 < x < 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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20、下列命题不正确的是（）

A、经过定点 $P (x_{0}, y_{0})$ 的直线都可以用方程 $y - y_{0} = k (x - x_{0})$ 表示 B、直线 $l$ 过点 $P (x_{0}, y_{0})$ ，倾斜角为 $90 °$ ，则其方程为 $x = x_{0}$ C、在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程 $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ 来表示 D、直线 $y = x + 2$ 在 $x$ 轴上截距为2

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