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相关试卷

1、已知平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n} = (1, - 1, 2)$ ， $A (0, 1, 2)$ 是平面 $α$ 内一点， $P (2, 1, 4)$ 是平面 $α$ 外一点，则点 $P$ 到平面 $α$ 的距离是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6}$ D、3

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2、我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥 $P - A B C D$ 为阳马， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $A B = A D = A P = 3$ ， $\vec{E C} = 2 \vec{P E}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{D E} =$ （）

A、 $- 3$ B、3 C、2 D、5

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3、已知正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的棱长为1，且 $B P = \frac{1}{3} B D^{'}$ ，建立如图所示的空间直角坐标系，则点P的坐标为（）

A、 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ B、 $(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ C、 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

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4、如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A D} = \vec{c}$ ，则 $\vec{B E}$ 等于（）

A、 $- \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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5、已知 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ 是空间的一个基底，那么下列选项中不可作为基底的是（）

A、 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} + \vec{c}}$ B、 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} + 2 \vec{b}}$ C、 ${\vec{a} + 2 \vec{c}, \vec{b}, \vec{c}}$ D、 ${\vec{a}, \vec{a} + \vec{b}, \vec{a} + \vec{c}}$

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6、设集合 $A = \{1, a^{2}, - 2\}$ ， $B = {2, 4}$ ，则“ $A \cap B = {4}$ ”是“ $a = 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域是 $[- 8, 1]$ ，则函数 $g (x) = \frac{f (2 x + 1)}{x + 2}$ 的定义域是（）

A、 $(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3]$ B、 $[- 8, - 2) \cup (- 2, 1]$ C、 $[- \frac{9}{2}, - 2) \cup (- 2, 0]$ D、 $[- \frac{9}{2}, - 2]$

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8、折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧 $D E, A C$ 所在圆台的底面半径分别是 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ ，且 $r_{2} = 2 r_{1}, A D = 10$ ，圆台的侧面积为 $150 π$ ，则该圆台的体积为（）

A、 $\frac{35 \sqrt{3} π}{3}$ B、 $\frac{175 \sqrt{3} π}{3}$ C、 $\frac{875 \sqrt{3} π}{3}$ D、 $875 \sqrt{3} π$

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9、已知空间向量 $\overset{⃑}{a} = (1, 2, - 1), \overset{⃑}{b} = (3, - 2, - 1)$ ，则（）

A、 $| \overset{⃑}{a} | = \sqrt{6}$ B、 $\overset{⃑}{a} ∥ \overset{⃑}{b}$ C、 $\overset{⃑}{a} ⊥ \overset{⃑}{b}$ D、 $(\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}) \cdot \overset{⃑}{b} = 10$

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10、已知点 $M (3, 1)$ ，直线 $l_{1} : 2 a x - (a + 1) y + 4 = 0$ ， $(a \in R)$ ， $l_{2} : x + 2 y + 1 = 0$ ， $l_{3} : x - y - 2 = 0$ .

(1)、若这三条直线不能围成三角形，求实数 $a$ 的值；

(2)、点 $M$ 关于直线 $l_{1}$ 的对称点为 $N$ ，求 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 的取值范围.

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11、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1, 3), \vec{b} = (- 4, 2, t)$ 的夹角为钝角，则实数 $t$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, \frac{10}{3})$ B、 $(- \infty, - 6) \cup (- 6, \frac{10}{3})$ C、 $(\frac{10}{3}, + \infty)$ D、 $(\frac{10}{3}, 6) \cup (6, + \infty)$

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12、已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ .现已画出函数 $f (x)$ 在 $y$ 轴及其左侧的图象，如图所示.

(1)、请补出完整函数 $y = f (x)$ 的图象；

(2)、根据图象写出函数 $y = f (x)$ 的递增区间；

(3)、根据图象写出使 $f (x) < 0$ 的 $x$ 的取值集合.

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13、已知 $f (\sqrt{x} + 1) = x + 3$ ，则 $f (x) =$ （）

A、 $x^{2} - 2 x + 2 (x \geq 0)$ B、 $x^{2} - 2 x + 4 (x \geq 1)$ C、 $x^{2} - 2 x + 4 (x \geq 0)$ D、 $x^{2} - 2 x + 2 (x \geq 1)$

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14、设函数 $f (x) = x \ln x$ .

(1)、求 $f (x)$ 图象上点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线方程为 $m x - y - 1 = 0$ ，求 $m$ ；

(2)、若 $x_{1}, x_{2} \in (\frac{1}{e}, 1)$ ，证明： $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < |\frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{x_{2}}|$ ；

(3)、若 $f (x) \geq a (x - \sqrt{x})$ 在 $x \in (0, + \infty)$ 时恒成立，求 $a$ 的值.

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15、已知双曲线 $Γ : x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, (b > 0)$ ，左右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，过点 $M (- 2, 0)$ 的直线 $l$ 交双曲线 $Γ$ 于 $P$ ， $Q$ 两点.

(1)、若 $b = 1$ ， $△ M A_{2} P$ 为等腰三角形时，且点 $P$ 在第一象限，求点 $P$ 的横坐标；

(2)、若 $b^{2} = 2$ ，连接 $O Q$ 并延长，交双曲线 $Γ$ 于点 $R$ ，若 $\vec{A_{1} R} \cdot \vec{A_{2} P} = 1$ ，求直线 $l$ 的方程.

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16、已知四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD为梯形， $A B ∥ C D$ ， $A_{1} A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ A B$ ，其中 $A B = A A_{1} = 2$ ， $A D = D C = 1$ . $N$ ， $M$ 分别是线段 $B_{1} C_{1}$ 和线段 $D D_{1}$ 上的动点，且 $\vec{C_{1} N} = λ \vec{C_{1} B_{1}}$ ， $\vec{D M} = λ \vec{D D_{1}} (0 < λ < 1)$ .

(1)、求证： $D_{1} N / /$ 平面 $C B_{1} M$ ；

(2)、若 $N$ 到平面 $C B_{1} M$ 的距离为 $\frac{\sqrt{11}}{11}$ ，求 $D_{1} N$ 的长度.

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17、为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，随机调查了某中学部分高三年级的学生，整理得到如下列联表（单位：人）：
性别
身高
合计
低于170cm
不低于170cm
女
19
5
24
男
6
10
16
合计
25
15
40

(1)、依据 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联?

(2)、从身高不低于170cm的15名学生中随机抽取三名学生，设抽取的三名学生中女生人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及期望 $E (X)$ .
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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18、在平面直角坐标系中，若定义两点 $A_{1} (x_{1}, y_{1})$ 和 $A_{2} (x_{2}, y_{2})$ 之间的“ $t$ 距离”为 ${|A_{1} A_{2}|}_{t} = \max \{\frac{|x_{1} - x_{2}|}{1 + |x_{1} - x_{2}|}, \frac{|y_{1} - y_{2}|}{1 + |y_{1} - y_{2}|}\}$ ，其中 $\max {p, q}$ 表示 $p, q$ 中的较大者，则点 $A_{1} (0, 0)$ 与点 $A_{2} (2, 3)$ 之间的“ $t$ 距离”为若平面内点 $A (x, y)$ 和点 $A_{0} (1, 1)$ 之间的“ $t$ 距离”为 $\frac{1}{2}$ ，则 $A$ 点的轨迹围成的封闭图形的面积为.

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19、已知在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\sqrt{2} (a^{2} + b^{2} - c^{2}) = a b sin C$ ， $c = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为．

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20、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (\sqrt{3}, \sqrt{2})$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ .

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性别	身高		合计
	低于170cm	不低于170cm
女	19	5	24
男	6	10	16
合计	25	15	40

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828