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相关试卷

1、（1）若角 $α$ 满足 $0 < α < π$ ，且 $sin α + cos α = \frac{1}{5}$ ，求 $\sin α \cos α$ ， $sin α - cos α$ 的值；
（2）若集合 $A = \{x |a + 1 < x < 3 a - 2\}, B = \{x |x^{2} - 3 x < 0\}$ ，且 $A \subseteq B$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} {log}_{2} x, x > 0 \\ 2^{x}, x \leq 0 \end{cases}$ ，

(1)、在下图平面直角坐标系中画出函数 $f (x)$ 的图象；

(2)、解关于 $x$ 的方程 $|f (x)| - \frac{1}{2} = 0$ ．

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3、已知函数 $f (x) = 4^{x} - 2^{x + a} + 1$ ，对任意的 $x_{1}, x_{2} \in [1, + \infty)$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，恒有 $x_{1} = x_{2}$ ，则实数 $a$ 的取值范围为．

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4、若第二象限角 $α$ 的终边与单位圆交点的横坐标为 $- \frac{1}{2}$ ，则 $tan α =$ ．

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5、函数 $f (x) = \frac{\lg (x + 1)}{x - 2}$ 的定义域为.

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6、已知函数 $f (x) = {log}_{a} (x + a) (a > 0, a \neq 1)$ ，若 $\exists x_{1}, x_{2} \in [1, 3]$ ，使 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| = 1$ 成立，则实数 $a$ 的值可以是（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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7、已知函数 $f (x) = \frac{2}{|x| - 1}$ ，则关于函数 $f (x)$ 的说法正确的是（）

A、定义域为 ${x | x \neq 1$ 且 $x \neq - 1}$ B、关于点 $(0, 0)$ 对称 C、在区间 $(1, + \infty)$ 上为增函数 D、值域为 $(- \infty, - 2] \cup (0, + \infty)$

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8、已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，集合 $A = \{1, 3\}$ ，集合 $B = \{1, 2, 4\}$ ，则（）

A、 $∁_{U} B \subseteq ∁_{U} A$ B、 $∁_{U} A$ 的子集个数为8 C、 $∁_{U} (A \cup B) = \{5\}$ D、 $(∁_{U} A) \cup (∁_{U} B) = \{2, 3, 5\}$

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9、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 1, x \leq a, \\ x^{2} - 3 x + 2, x > a \end{array}$ 恰有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 1] \cup (2, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup [1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup [1, 2)$ D、 $(- 1, 1] \cup (2, + \infty)$

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10、若正实数 $a, b$ 满足 $a \neq b$ ，则函数 $f (x) = {(\frac{b}{a})}^{x}$ 与函数 $g (x) = a x^{2} + b x$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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11、已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作 $x$ 个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为 $0.25 x$ 天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（）

A、20个 B、30个 C、40个 D、50个

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12、若实数 $a, b$ 满足 $a > b > 1$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $e^{b - a} < 0$ B、 $lg (a - b) > 0$ C、 $a^{b} > b^{a}$ D、 ${log}_{a} b < {log}_{b} a$

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13、已知函数 $f (x) = {log}_{3} x$ ，若 $f (a) + f (b) = 1$ ，则 $f (a^{2}) + f (b^{2}) =$ （）

A、9 B、6 C、4 D、2

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14、下列函数中，既是偶函数，又在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减的函数是（）

A、 $y = x^{- 2}$ B、 $y = x^{- 1}$ C、 $y = x^{2}$ D、 $y = x^{\frac{1}{2}}$

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15、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若角 $α$ 的始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边落在直线 $y = x$ 上，则终边与角 $α$ 相同的角的集合为（）

A、 $\{β |β = \frac{π}{4}$ 或 $β = \frac{3 π}{4}\}$ B、 $\{β |β = \frac{π}{4} + k π\} (k \in Z)$ C、 $\{β |β = \frac{π}{4} + 2 k π\} (k \in Z)$ D、 $\{β |β = \frac{3 π}{4} + 2 k π\} (k \in Z)$

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16、若集合 $A = \{x | x > 2\}$ ，集合 $B = \{x |x \geq 3\}$ ，则“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知函数 $f (x) = x - x \ln x - a$ ，若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = b x + 2$ .

(1)、求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间.

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18、在必修一第210页研究正切函数的图象时，借助图形的面积，我们得到了以下不等式：当 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 时， $\sin x < x < \tan x$ ，此过程相当有乐趣.在今年的某地的模拟试题中出现了这样的一个题目：当 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 时， $\sin (\cos x) \leq \cos (\sin x)$ ，此题目引发了很多思考.请你完成下列问题：

(1)、判断函数 $f (x) = \sin (\cos x)$ 的奇偶性，并讨论其是否为周期函数，若是，请写出其一个周期，若不是，请说明理由；

(2)、证明：当 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 时， $\sin (\cos x) < \cos x < \cos (\sin x)$ ；

(3)、已知函数 $f (x) = (x + a) \ln x - b x + \cos (x - 1) + b - 1$ ，其中 $a, b \in R$ 且 $b \geq 2$ ，当 $x \geq 1$ 时，有 $f (x) \geq 0$ 恒成立. 证明： $\sqrt{a} \geq \frac{b}{2}$

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19、某学校高二年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）

(1)、已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为 $\frac{2}{3}$ ，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率；

(2)、已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为 $\frac{3}{4}$ ，对手答对每道试题的概率为 $\frac{2}{3}$ ，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分 $Y$ 的分布列与期望；

(3)、进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为 $(p \in (0, 1))$ ，若甲4道试题全对的概率为 $\frac{1}{16}$ ，求甲能胜出的概率的最小值.

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20、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是边长为2的正三角形，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是菱形，平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $E, F$ 分别是棱 $A_{1} C_{1}$ ， $B C$ 的中点， $G$ 是棱 $C C_{1}$ 上一点，且 $\vec{C_{1} G} = λ \vec{C_{1} C} (0 < λ < 1)$

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、在菱形 $A C C_{1} A_{1}$ 中，若 $A C_{1} = 2$ ，
（ⅰ）求三棱锥 $C_{1} - A B C$ 的体积；
（ⅱ）若二面角 $A - E G - F$ 的余弦值为 $\frac{4 \sqrt{53}}{53}$ ，求 $λ$ 的值

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