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相关试卷

1、下列表达式中，正确的是（）

A、 $cos \frac{π}{12} cos \frac{π}{6} - sin \frac{π}{12} sin \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{3} sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{6})$ C、 $\frac{1 - tan 15^{\circ}}{1 + tan 15^{\circ}} = \sqrt{3}$ D、 ${cos}^{4} \frac{π}{8} - {sin}^{4} \frac{π}{8} = \frac{1}{2}$

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2、下列说法错误的是（）

A、 $|\vec{A B}| = |\vec{B A}|$ B、单位向量的方向相同或相反 C、零向量没有大小，没有方向 D、平面内的单位向量是唯一存在的

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3、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ ，若 $a = tan 171^{\circ}, b = sin 188^{\circ}, c = sin 365^{\circ}$ ，则（）

A、 $f (c) < f (b) < f (a)$ B、 $f (b) < f (a) < f (c)$ C、 $f (b) < f (c) < f (a)$ D、 $f (a) < f (b) < f (c)$

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4、已知向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，且 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ ，则 $|\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}|$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、1 C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5、对于任意三个向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{b}, \vec{b} / / \vec{c}$ 则 $\vec{a} / / \vec{c}$ B、 $|\vec{a} - \vec{b}| \leq |\vec{a}| - |\vec{b}|$ C、 $|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$ D、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| < |\vec{b}|$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 反向，则 $\vec{a} > \vec{b}$

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6、一个扇形的弧长和面积的数值都是6，则这个扇形圆心角的弧度数为（）

A、 $4 rad$ B、 $3 rad$ C、 $2 rad$ D、 $1 rad$

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7、如图， $A D$ 为 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上的中线，且 $\vec{A D} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，那么 $\vec{A B}$ 为（）

A、 $2 \vec{a} - \vec{b}$ B、 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ C、 $2 \vec{a} + \vec{b}$ D、 $\vec{a} + 2 \vec{b}$

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8、下列各角中，与 $996^{\circ}$ 终边相同的角为（）

A、 $245^{\circ}$ B、 $84^{\circ}$ C、 $- 84^{\circ}$ D、 $- 276^{\circ}$

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9、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2), \vec{b} = (3, - 5)$ ，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 等于（）

A、 $(3, - 3)$ B、 $(2, - 3)$ C、 $(4, - 7)$ D、 $(0, 7)$

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10、杭州第19届亚运会，是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举办．某款亚运会周边产品深受大家喜爱，供不应求，某工厂日夜加班生产该款产品．生产该款产品的固定成本为4万元，每生产 $x$ 万件，需另投入成本 $p (x)$ 万元．当产量不足6万件时， $p (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x$ ；当产量不小于6万件时， $p (x) = 7 x + \frac{81}{x} - \frac{63}{2}$ ．若该款产品的售价为6元/件，通过市场分析，该工厂生产的该款产品可以全部销售完．

(1)、求该款产品销售利润 $y$ （万元）关于产量 $x$ （万件）的函数关系式；

(2)、当产量为多少万件时，该工厂在生产中所获得利润最大？

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形，侧棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，点 $E$ 是 $P D$ 的中点， $A B = 1$ ， $A D = P A = 2$ ．

(1)、求 $P C$ 与 $A E$ 所成角的大小；

(2)、求 $P C$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值．

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12、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + \frac{π}{3}) (A > 0, ω > 0)$ 最小值为 $- 2$ ，周期为 $π$ .

(1)、求实数 $A, ω$ 的值；

(2)、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域.

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13、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点， $P, Q$ 为 $C$ 上关于坐标原点对称的两点，且 $| P Q | = | F_{1} F_{2} |$ ，则三角形 $P F_{1} Q$ 的面积为．

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14、已知直线 $l : k x - y + 4 - 4 k = 0$ 与曲线 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 x}$ 有一个公共点，则实数 $k$ 的取值范围为．

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15、下列说法正确的是（）

A、若 $a c^{2} \geq b c^{2}$ ，则 $a \geq b$ B、若a>b>c，则 $\frac{1}{b - c} > \frac{1}{a - c}$ C、“ $a + 2023$ ”是无理数是“a是无理数”的充要条件 D、在 $△ A B C$ 中，“ $△ A B C$ 为直角三角形”的充要条件是“ $A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$ ”

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16、已知 $\overset{⃑}{a} = (1, - 1, 1)$ 是直线 $l_{1}$ 的一个方向向量， $\overset{⃑}{b} = (2, 2, - 2)$ 是直线 $l_{2}$ 的一个方向向量，则下列说法不正确的是（）

A、 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = (2, - 2, - 2)$ B、 $l_{1} // l_{2}$ C、 $l_{1} ⊥ l_{2}$ D、直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$

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17、已知点 $P$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆的左、右焦点，若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = - 2$ ，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为1，则 $a^{2}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 $\sqrt{3}$ D、4

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18、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ 满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $|\vec{a}| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、1

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19、直线 $(a + 1) x + 3 y + 3 = 0$ 与直线 $x + (a - 1) y + 1 = 0$ 平行，则实数 $a$ 的值为（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、2或 $- 2$

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20、用 $0, 1, 2, 3, 4$ 五个数字，问：

(1)、可以组成多少个无重复数字的四位密码？

(2)、可以组成多少个无重复数字的四位数？

(3)、可以组成多少个十位数字比个位数字大的无重复数字的四位偶数？

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