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相关试卷

1、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 经过 $A (1, 0)$ 和点 $B (- 1, 2)$ ，且圆心在直线 $2 x - y + 2 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $x = a y + 4$ 被圆 $C$ 截得弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，求实数 $a$ 的值

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2、如图，在空间直角坐标系中有长方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $A A^{'} = 3$ ．求：

(1)、向量 $\vec{A C^{'}}$ ， $\vec{B D^{'}}$ ， $\vec{A D^{'}}$ 的坐标；

(2)、 $\vec{A C^{'}} + 2 \vec{B D^{'}}$ ， $\vec{A C^{'}} + \vec{B D^{'}} - 2 \vec{A D^{'}}$ 的坐标．

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3、如图，边长为 $a$ 的正 $△ A B C$ 的中线 $A F$ 与中位线 $D E$ 相交于 $G$ ，已知 $△ A^{'} E D$ 是 $△ A E D$ 绕 $D E$ 旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有（只需填上正确命题的序号）．
①动点 $A^{'}$ 在平面 $A B C$ 上的射影在线段 $A F$ 上；
②三棱锥 $A^{'} - F E D$ 的体积有最大值；
③恒有平面 $A^{'} G F ⊥$ 平面 $B C E D$ ；
④异面直线 $A^{'} E$ 与 $B D$ 不可能互相垂直；
⑤异面直线 $F E$ 与 $A^{'} D$ 所成角的取值范围是 $(0, \frac{π}{2}]$ ．

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4、唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为 $B (- 2, 0)$ ，若将军从山脚下的点 $A (3, 0)$ 处出发，河岸线所在直线方程为 $x + y = 5$ ，则“将军饮马”的最短总路程为.

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5、已知向量 $\vec{a} = (1, 1, x)$ ， $\vec{b} = (1, 2, 1)$ ， $\vec{c} = (1, 2, 3)$ 满足 $(\vec{c} - \vec{a}) \cdot \vec{b} = - 1$ ，则 $x =$ ．

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6、已知直线 $l$ 的方向向量 $\vec{n} = (1 ， 0 ， - 1)$ ， $A = (2, 1, - 3)$ 为直线 $l$ 上一点，若点P( $-$ 1，0， $-$ 2)为直线外一点，则P到直线 $l$ 上任意一点Q的距离可能为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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7、柜子里有 $3$ 双不同的鞋子，从中随机地取出 $2$ 只，下列计算结果正确的是（）

A、“取出的鞋成双”的概率等于 $\frac{2}{5}$ B、“取出的鞋都是左鞋”的概率等于 $\frac{1}{5}$ C、“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于 $\frac{2}{5}$ D、“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成双”的概率等于 $\frac{1}{2}$

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8、点 $P$ 在圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ 上，点 $Q$ 在 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y + 24 = 0$ 上，则（）

A、两个圆的公切线有2条 B、两个圆上任意一点关于直线 $4 x + 3 y = 0$ 的对称点仍在该圆上 C、 $|P Q|$ 的取值范围为 $[3, 7]$ D、两个圆的公共弦所在直线的方程为 $6 x - 8 y - 25 = 0$

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9、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（）

A、 $\vec{a}, 2 \vec{b}, 3 \vec{c}$ B、 $\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}$ C、 $\vec{a} + 2 \vec{b}, 2 \vec{b} + 3 \vec{c}, 3 \vec{a} - 9 \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c}$

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10、已知圆 $C_{1} : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 81$ 和 $C_{2} : {(x + 4)}^{2} + y^{2} = 1$ ，若动圆 $P$ 与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为 $M$ ，则 $M$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

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11、已知 $M$ 为直线 $l : 2 x + 3 y + 1 = 0$ 上的动点，点 $P$ 满足 $\vec{M P} = (2, - 4)$ ，则点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 $3 x - 2 y + 9 = 0$ B、 $2 x + 3 y + 9 = 0$ C、 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{49}{13}$ D、 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{49}{13}$

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12、设 $m$ 、 $n$ 为两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 为两个不同的平面，给出下列命题：
① 若 $m //$ $α$ ， $m //$ $β$ ，则 $α //$ $β$ ；
② 若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α //$ $β$ ；
③ 若 $m //$ $α$ ， $n //$ $α$ ，则 $m //$ $n$ ；
④ 若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m //$ $n$ ；
上述命题中，所有真命题的序号是（）

A、①② B、③④ C、①③ D、②④

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13、今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛，胜者可获得48000元奖金.比赛规定下满五局，五局中获胜局数多者赢得比赛，比赛无平局，若比赛已进行三局，甲两胜一负，由于突发因素无法进行后面比赛，如何分配奖金最合理？（）

A、甲24000元，乙24000元 B、甲32000元，乙16000元 C、甲40000元，乙8000元 D、甲36000元，乙12000元

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14、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $E$ 是上底面 $A_{1} C_{1}$ 的中心，若 $\vec{A E} = \vec{A A_{1}} + x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，则 $x - 2 y$ 等于（）

A、2 B、 $- 1$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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15、若方程 $\frac{x^{2}}{k - 1} + \frac{y^{2}}{k - 4} = 1$ 表示双曲线，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k < 1$ B、 $k > 4$ C、 $1 < k < 4$ D、 $k < 1$ 或 $k > 4$

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16、若平面 $α / / β$ ，且平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (- 2, 1, \frac{1}{2})$ ，则平面 $β$ 的法向量可以是（　　）

A、 $(1, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$ B、 $(2, - 1, 0)$ C、 $(1, 2, 0)$ D、 $(\frac{1}{2}, 1, 2)$

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17、一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为 $n (n \geq 4, n \in N)$ 等份，种植红､黄､蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花.

(1)、如图1，圆环分成的4等份为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ ，有多少种不同的种植方法？

(2)、如图2，圆环分成的 $n$ 等份为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}$ ，有多少种不同的种植方法？

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18、（1）解不等式： $3 A_{x + 1}^{3} \leq 2 A_{x + 2}^{2} + 6 A_{x + 1}^{2}$ ；
（2）已知 $\frac{1}{C_{5}^{m}} - \frac{1}{C_{6}^{m}} = \frac{7}{10 C_{7}^{m}}$ ，求 $C_{7}^{m + 1}$ ．

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19、我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表（第 $n (n \geq 2)$ 行从左至右每个数分别为 $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, C_{n}^{2}, \dots, C_{n}^{n}$ ），数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（）

A、 $1 + C_{6}^{1} + C_{7}^{2} + C_{8}^{3} = C_{9}^{3}$ B、第2024行的第1014个数最大 C、第6行､第7行､第8行的第7个数之和为第9行的第7个数 D、第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为 $2 : 3$

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20、如图所示，将四棱锥 $S - A B C D$ 的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为（）

A、120 B、96 C、72 D、48

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