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相关试卷

1、数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径 $M N$ 折成了直二面角（其中 $M$ 对应钟上数字 $3, N$ 对应钟上数字9）.设 $M N$ 的中点为 $O, |M N| = 4 \sqrt{3}$ ，若长度为2的时针 $O A$ 指向了钟上数字8，长度为3的分针 $O B$ 指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3的秒针 $O C$ （安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是（）

A、若秒针 $O C$ 指向了钟上数字5，如图2，则 $O A ⊥ B C$ B、若秒针 $O C$ 指向了钟上数字5，如图2，则 $N A$ $//$ 平面 $O B C$ C、若秒针 $O C$ 指向了钟上数字4，如图3，则 $B C$ 与 $A M$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{14}}{7}$ D、若秒针 $O C$ 指向了钟上数字4，如图3，则四面体 $O A B C$ 的外接球的表面积为 $\frac{103}{3} π$

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2、已知事件 $A, B, C$ 两两互斥，若 $P (A) = \frac{1}{5}, P (A \cup B) = \frac{8}{15}, P (A \cup C) = \frac{9}{20}$ ，则（）

A、 $P (B) = \frac{1}{3}$ B、 $P (C) = \frac{1}{3}$ C、 $P (B \cup C) = \frac{7}{12}$ D、 $P (B \cap C) = 0$

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3、为了解各种APP的使用情况，将使用人数排名前5的数据整理得到如下的柱状图，则（）

A、APP使用人数最多的是微信 B、微信APP的使用人数超过今日头条APP的使用人数的2倍 C、微信APP的使用人数超过今日头条APP与快手APP的使用人数之和 D、抖音APP的使用人数大于快手APP的使用人数的125%

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4、已知向量 $\vec{a} = (1, 1, \sqrt{2})$ ， $\vec{b} = (- 3, 2, 0)$ ，则 $\vec{a} - \vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{3}{4}, \frac{3}{4}, \frac{3 \sqrt{2}}{4})$ B、 $(\frac{5}{4}, \frac{5}{4}, \frac{5 \sqrt{2}}{4})$ C、 $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, \frac{3 \sqrt{2}}{2})$ D、 $(- \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{\sqrt{2}}{5})$

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5、在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为：29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第75百分位数为（）

A、37.5 B、38 C、39 D、40

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6、如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（）

A、众数<中位数<平均数 B、众数<平均数<中位数 C、中位数<平均数<众数 D、中位数<众数<平均数

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7、在空间直角坐标系中，点 $(- 2, 1, 4)$ 关于 $x$ 轴的对称点的坐标为（）

A、 $(- 2, 1, - 4)$ B、 $(- 2, - 1, - 4)$ C、 $(2, 1, - 4)$ D、 $(2, - 1, 4)$

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8、已知函数 $y = (m + 1) x^{2} - (m - 1) x + m - 1$ ．

(1)、若不等式 $(m + 1) x^{2} - (m - 1) x + m - 1 < 1$ 的解集为 $R$ ，求 $m$ 的取值范围；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $(m + 1) x^{2} - 2 m x + m - 1 \geq 0$ ；

(3)、若不等式 $(m + 1) x^{2} - (m - 1) x + m - 1 \geq 0$ 对一切 $x \in \{x |- \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}\}$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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9、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- 4, - 2)$ ，则函数 $g (x) = f (x - 1) + \sqrt{x + 2}$ 的定义域为.

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10、下列说法正确的是（）

A、“ $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ”是“ $a > b$ ”的充分不必要条件 B、“ $A = \emptyset$ ”是“ $A \cap B = \emptyset$ ”的充分不必要条件 C、若 $a, b, c \in R$ ，则“ $a b^{2} > c b^{2}$ ”的充要条件是“ $a > c$ ” D、若 $a, b \in R$ ，则“ $a^{2} + b^{2} \neq 0$ ”是“ $|a| + |b| \neq 0$ ”的充要条件

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11、已知实数集 $A$ 满足条件：若 $a \in A$ ，则 $\frac{1 + a}{1 - a} \in A$ ，则集合 $A$ 中所有元素的乘积为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\pm 1$ D、与 $a$ 的取值有关

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12、下列各组函数相等的是（）

A、 $f (x) = x^{2}$ ， $g (x) = {(\sqrt{x})}^{4}$ B、 $f (x) = x - 1$ ， $g (x) = \frac{x^{2}}{x} - 1$ C、 $f (x) = 1$ ， $g (x) = x^{0}$ D、 $f (x) = |x|$ ， $g (x) = \{\begin{matrix} x, x \geq 0 \\ - x, x < 0 \end{matrix}$

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13、下列关系中正确的个数为（）
① $2 \in R$ ， ② $\sqrt{2} \notin Q$ ， ③ $| - 3 | \in N$ ④ $| - \sqrt{3} | \in Q$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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14、已知命题 $p : \exists x > 0$ ， $x^{3} = x^{2}$ ， $q : \forall x \in R$ ， $x^{4} > 0$ ，则（）

A、p和q都是真命题 B、p和 $\neg q$ 都是真命题 C、 $\neg p$ 和q都是真命题 D、 $\neg p$ 和 $\neg q$ 都是真命题

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15、设任意一个无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项之积为 $T_{n}$ ，若 $\forall n \in N^{*}$ ， $T_{n} \in \{a_{n}\}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 是 $T$ 数列．

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 是首项为 $- 2$ ，公差为 $1$ 的等差数列，请判断 $\{a_{n}\}$ 是否为 $T$ 数列？并说明理由；

(2)、证明：若 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n \cdot 2^{n}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 不是 $T$ 数列；

(3)、设 $\{a_{n}\}$ 是无穷等比数列，其首项 $a_{1} = 5$ ，公比为 $q (q > 0)$ ，若 $\{a_{n}\}$ 是 $T$ 数列，求 $q$ 的值．

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16、已知函数 $f (x) = x^{3} + \frac{2^{x + 1}}{2^{x} + 1}$ ，若实数 $a, b$ 满足 $f (a^{2}) + f (2 b^{2} - 3) = 2$ ，则 $a \sqrt{1 + b^{2}}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{4}$

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17、如图， $M$ 为四面体 $O A B C$ 的棱 $B C$ 的中点， $N$ 为 $O M$ 的中点，点 $P$ 在线段 $A N$ 上，且 $A P = 2 P N$ ，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{O P} =$ （）

A、 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$ B、 $\vec{O P} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{12} \vec{b} + \frac{1}{12} \vec{c}$ C、 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$ D、 $\vec{O P} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{12} \vec{b} - \frac{1}{6} \vec{c}$

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18、已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“ $α / / β$ ”是“ $m / / β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、若向量 $\vec{a} = (- 1, 2), \vec{b} = (m + 1, 2)$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 8$ B、8 C、 $- 2$ D、2

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20、已知：①定积分的定义：
设 $y = f (x)$ 为定义在 $[a, b]$ 上的连续非负函数，为求 $y = f (x) ､ x = a ､ x = b ､ x$ 轴围成的曲边梯形的面积，可采取如下方法：
将区间 $[a, b]$ 分为 $n$ 个小区间，每个小区间长度为 $\frac{b - a}{n}$ ，每个区间即可表示为 $[a + \frac{b - a}{n} (i - 1), a + \frac{b - a}{n} i] (i = 1, 2, 3, \dots n)$ ，再分别过每个区间的左右端点作 $x$ 轴的垂线与 $y = f (x)$ 图象相交，即可得到一个小的曲边梯形.如图，
当 $n \to + \infty$ 时，每个小曲边梯形可近似看作矩形，矩形的宽即为每个小区间的长度，长可由每个小区间内的任一点的函数值近似代替（一般用区间端点的函数值），将这样无穷多个小矩形的面积相加，所得之和即为所求的由 $y = f (x) ､ x = a ､ x = b ､ x$ 轴围成的曲边梯形的面积，即 $S = \lim_{n \to \infty} [\sum_{i = 1}^{n} f (a + \frac{b - a}{n} i) \cdot \frac{b - a}{n}]$ ，上式也记为 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ ，即对 $y = f (x)$ 在 $[a, b]$ 上求定积分.
②定积分的计算： $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ 其中 $F^{'} (x) = f (x)$ .
根据以上信息，回答以下问题：

(1)、已知 $0 < α < \frac{π}{2}$ ，求证： $\int_{0}^{α} \cos x d x < α$ .

(2)、将 $x = 1 、 x = 2 、 y = \frac{1}{x} 、 x$ 轴围成的图形面积分别表示为定积分的形式与面积和的极限形式，并求其值；

(3)、试证明： $\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{200} < ln 2 < \frac{1}{100} + \frac{1}{101} + \dots + \frac{1}{199}$ .

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