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相关试卷

1、已知平面内一动圆过点 $P (2, 0)$ ，且该圆被 $y$ 轴截得的弦长为4，设其圆心的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、梯形 $A B C D$ 的四个顶点均在曲线 $E$ 上， $A B / / C D$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $T (2, 1)$ .
（i）求直线 $A B$ 的斜率；
（ii）证明：直线 $A D$ 与 $B C$ 交于定点.

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2、已知函数 $f (x) = e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - a x$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调区间.

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3、如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $O ， D$ 分别是 $A B ， C C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $O D / /$ 平面 $A C_{1} B_{1}$ ；

(2)、若 $A C ⊥ O A_{1} ， ∠ B A A_{1} = 60^{\circ}$ ，且 $A B = A A_{1} = 2, A C = B C = \sqrt{2}$ ，求直线 $B_{1} C_{1}$ 与平面 $A A_{1} C_{1}$ 所成角 $θ$ 的正弦值.

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4、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d (d \neq 0)$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{5} = 2 a_{4} + 19$ ， $a_{1}, a_{2},$ $a_{7}$ 成等比数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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5、已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a^{x - a}, x \leq a \\ \log_{a} (x + a) + 1, x > a \end{array}$ 的值域为 $R$ ，则 $a$ 的取值范围是

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6、某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为.

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7、函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $I$ ，区间 $D \subseteq I$ ，对于任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in D (x_{1} \neq x_{2})$ ，恒满足 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称函数 $f (x)$ 在区间 $D$ 上为“凸函数”.下列函数在定义域上为凸函数的是（）

A、 $f (x) = \ln x$ B、 $f (x) = e^{x}$ C、 $f (x) = x^{2}$ D、 $f (x) = \sqrt{x}$

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8、已知函数 $f (x)$ 的图象关于原点对称，且满足 $f (x + 1) + f (3 - x) = 0$ ，且当 $x \in (2, 4)$ 时， $f (x) = - \log_{\frac{1}{2}} (x - 1) + m$ ，若 $\frac{f (2025) - 1}{2} = f (- 1)$ ，则 $m$ 等于（）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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9、若 $a = 2^{\frac{1}{3}}$ ， $b = \log_{2} \frac{1}{3}$ ， $c = \sin \frac{1}{3}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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10、设集合 $A = {1, 2, 3}$ ， $B = {4, 5}$ ， $C = {x + y | x \in A, y \in B}$ ，则 $C$ 中元素的个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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11、已知复数 $z = i^{3} (1 + i)$ ，则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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12、 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中只有第六项的系数最大，则 $n =$ .

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13、已知锐角 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ ，所对的边为 $a, b, c$ ， $(cos A + cos B) (cos A - cos B) = sin C (sin C - \sqrt{2} sin A)$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、求 $\frac{a^{2} + c^{2}}{b^{2}}$ 的取值范围.

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14、已知坐标平面内两点 $M (m + 3, 3 m + 5), N (2 m - 1, 1)$ ．

(1)、当直线 $M N$ 的倾斜角为锐角时，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若直线 $M N$ 的方向向量为 $\vec{a} = (1, - 2023)$ ，求 $m$ 的值．

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15、已知某样本的容量为50，平均数为36，方差为48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将24记录为34，另一个错将48记录为38.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ ，则（）

A、 $\bar{x} = 36, s^{2} < 48$ B、 $\bar{x} = 36, s^{2} > 48$ C、 $\bar{x} > 36, s^{2} < 48$ D、 $\bar{x} < 36, s^{2} > 48$

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16、设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（）

A、若 $l / / α$ ， $l / / β$ ，则 $α / / β$ B、若 $l / / α$ ， $l ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $l ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $l / / α$ D、若 $l / / α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $l ⊥ β$

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17、已知点P和非零实数 $λ$ ，若两条不同的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 均过点P，且斜率之积为 $λ$ ，则称直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是一组“ $P_{λ}$ 共轭线对”，如直线 $l_{1}$ ： $y =2 x$ ， $l_{2}$ ： $y =− \frac{1}{2} x$ 是一组“ $O_{−1}$ 共轭线对”，其中O是坐标原点.

(1)、已知 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是一组“ $O_{−3}$ 共轭线对”，求 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的夹角的最小值；

(2)、已知点 $A (0,1)$ ､点 $B (−1,0)$ 和点 $C (1,0)$ 分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“ $P_{2}$ 共轭线对”，直线QP，QR是“ $Q_{3}$ 共轭线对”，直线RP，RQ是“ $R_{6}$ 共轭线对”，求点P的坐标；

(3)、已知点 $Q (−2,− \sqrt{2})$ ，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是“ $Q_{− \frac{1}{2}}$ 共轭线对”，当 $l_{1}$ 的斜率变化时，求原点O到直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的距离之积的取值范围.

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18、如图所示，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} C_{1} C$ 是边长为4的正方形， $A A_{1} ⊥ A B$ ， $A B = 3, B C = 5$ .
(l)求证： $A A_{1} ⊥ B C$ ；
(2)求二面角 $A_{1} - B C_{1} - B_{1}$ 的余弦值．

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19、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A C$ 与 $B D$ 相交于 $M$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ 、 $\vec{A D} = \vec{b}$ 、 $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，

(1)、用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 表示 $\vec{B_{1} M}$ ；

(2)、若 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 三向量是两两成 $60 °$ 角的单位向量，求 $|\vec{B_{1} M}|$ ．

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20、已知点 $A (2, - 1, 3)$ ，若 $B (1, 0, 0)$ ， $C (1, 2, 2)$ 两点在直线l上，则点A到直线l的距离为.

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