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相关试卷

1、函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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2、下列函数中与函数 $y = x$ 是同一函数的是（）

A、 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $m = \frac{n^{2}}{n}$ C、 $y = \sqrt{x^{2}}$ D、 $u = \sqrt[3]{v^{3}}$

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3、在 ${(x - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中，若第三项的系数为15，则 $n =$ .

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4、已知复平面上的点 $Z$ 对应的复数 $z$ 满足 $|z^{2}| - |z^{2} - 9| = 7$ ，设点 $Z$ 的运动轨迹为 $W$ ．点 $O$ 对应的数是0．

(1)、证明 $W$ 是一个双曲线并求其离心率 $e$ ；

(2)、设 $W$ 的右焦点为 $F_{1}$ ，其长半轴长为 $L$ ，点 $Z$ 到直线 $x = \frac{L}{e}$ 的距离为 $d$ （点 $Z$ 在 $W$ 的右支上），证明： $|Z F_{1}| = e d$ ；

(3)、设 $W$ 的两条渐近线分别为 $l_{1} ， l_{2}$ ，过 $Z$ 分别作 $l_{1} ， l_{2}$ 的平行线 $l_{3} ， l_{4}$ 分别交 $l_{2} ， l_{1}$ 于点 $P ， Q$ ，则平行四边形 $O P Z Q$ 的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由．

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5、已知函数 $f (x) = 2 (m x - \ln x) + e - 2$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $m > 0$ 时，若关于x的不等式 $f (x) > \frac{e^{m x}}{x}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上有解，求m的取值范围；

(3)、证明： $\sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{\ln k} > \frac{n - 1}{n} (n \geq 2, n \in N^{*})$ .
参考数据： $\ln 2 = 0.693$ .

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6、公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B. Pascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C. Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名运动员约定谁先赢 $k (k > 1, k \in N^{*})$ 局，谁便赢得全部奖金 $a$ 元.每局甲赢的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，乙赢的概率为 $1 - p$ ，且每场比赛相互独立.在甲赢了 $m (m < k)$ 局，乙赢了 $n (n < k)$ 局时，比赛意外终止.奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢 $k$ 局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比 $P_{甲} : P_{乙}$ 分配奖金.
（1）规定如果出现无人先赢 $k$ 局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比 $P_{甲} : P_{乙}$ 分配奖金.若 $k = 4$ ， $m = 2$ ， $n = 1$ ， $p = \frac{3}{4}$ ，求 $P_{甲} : P_{乙}$ .
（2）记事件 $A$ 为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当 $k = 4$ ， $m = 2$ ， $n = 1$ 时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率 $f (p)$ ，并判断当 $p \geq \frac{4}{5}$ 时，事件 $A$ 是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件.

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7、在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C = 6$ ， D为边 $A B$ 上一点， $A D = 2$ ， E为 $A C$ 上一点， $D E // B C$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折，使A到 $A^{'}$ 处， $∠ D A^{'} B = 90 °$ .

(1)、证明： $A^{'} B ⊥$ 平面 $A^{'} D E$ ；

(2)、若射线 $D E$ 上存在点M，使 $\vec{D M} = λ \vec{D E}$ ，且 $M C$ 与平面 $A^{'} E C$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{5}$ ，求λ.

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8、在 $△ A B C$ 中，点D在 $B C$ 上， $A C = 2 A B = 6$ ， $∠ B A C = 120 °$ .

(1)、求 $\sin C$ 的值；

(2)、若 $B D = 2 D C$ ，求 $A D$ 的长.

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9、已知点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，定义 $d_{A B} = \sqrt{{(x_{1} - y_{2})}^{2} + {(x_{2} - y_{1})}^{2}}$ 为 $A, B$ 的“镜像距离”.若点 $A, B$ 在曲线 $y = ln (x - a) + 2$ 上，且 $d_{A B}$ 的最小值为2，则实数 $a$ 的值为.

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10、甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 $5 : 4 : 6$ .这三个盒子中黑球占总数的比例分别为 $40 %, 25 %, 50 %$ .现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是白球的概率为；将三个盒子混合后任取一个球，是黑球的概率为.

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11、《孙子算经》中提到“物不知数”问题．如：被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，即3，8，13，18，……，构成数列 $\{a_{n}\}$ ，记数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{2 S_{n} + 20}{n}$ 的最小值为．

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12、化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式 $S F_{6}$ ）的分子结构、金刚石等.如图，将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体 $E - A B C D - F$ ，已知该正八面体的棱长为2，则（）

A、 $E F ⊥ A D$ B、该正八面体的体积为 $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$ C、该正八面体外接球的表面积为 $\frac{2}{3} π$ D、若P为棱 $E B$ 上的动点，则 $A P + C P$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$

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13、已知函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0, φ \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}))$ 的部分图象如图所示，将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{1}{4}$ 个单位长度后得到 $y = g (x)$ 的图象，则（）

A、 $ω = π$ B、 $φ = - \frac{π}{4}$ C、 $g (x)$ 为奇函数 D、 $g (x)$ 在区间 $(k + \frac{1}{4}, k + 1) (k \in Z)$ 上单调递增

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14、某校为了解学生对党史知识的掌握情况，从全校随机抽取了100名学生，将他们的成绩（单位：分）分成5组： $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中未知的数据a，b，c成等差数列，成绩落在 $[60, 70)$ 内的人数为40.从分数在 $[70, 80)$ 和 $[80, 90)$ 的两组学生中采用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取3人，设事件 $A =$ “至少1人成绩在 $[80, 90)$ 内”，事件 $B =$ “3人成绩均在 $[70, 80)$ 内”.则（）

A、 $b = 0.03$ B、 $c = 0.02$ C、A与B是互斥事件，但不是对立事件 D、估计该校学生党史知识成绩的第80百分位数为82.5分

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15、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\cos (2 α - 2 β) = \frac{7}{25}$ ， $\sin α \sin β = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin (2 α + 2 β) =$ （）

A、 $- \frac{4 \sqrt{21}}{25}$ B、 $\frac{4 \sqrt{21}}{25}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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16、在 $△ A B C$ 中， $E$ 为 $A B$ 的中点， $D$ 在边 $B C$ 上， $A D$ 与 $C E$ 相交于点 $F$ ，且 $\vec{C F} = \frac{3}{4} \vec{C E}$ ， $\vec{C B} = λ \vec{C D}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、2 D、 $\frac{7}{3}$

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17、从集合 $\{1, 2, 3, 4, \dots, 15\}$ 中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（）个

A、98 B、56 C、84 D、49

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18、设抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过抛物线上点P作其准线的垂线，垂足为Q，若 $∠ P Q F = 30 °$ ，则 $|P Q| =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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19、如图1，一个圆柱形笔筒的底面直径为 $9 cm$ ，（笔筒壁的厚度忽略不计），母线长为 $16 cm$ ，该圆柱形笔筒的直观图如图2所示， $A B$ ， $C D$ 分别为该圆柱形笔筒的上底面和下底面直径，且 $A B ⊥ C D$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 的体积为（）

A、 $230 {cm}^{3}$ B、 $224 {cm}^{3}$ C、 $216 {cm}^{3}$ D、 $208 {cm}^{3}$

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20、已知 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{2} a_{3} a_{7} = a_{4} a_{6}$ ， $a_{9} a_{10} = - 27$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、3 B、2 C、 $- 2$ D、 $- 3$

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