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相关试卷

1、随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温．某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示：
时间 $x$
1
2
3
4
5
交易量 $y$ （万套）
$0.5$
0.8
1.0
1.2
1.5
若 $y$ 与 $x$ 满足一元线性回归模型，且经验回归方程为 $\hat{y} = 0.24 x + \hat{a}$ ，则下列说法错误的是（）

A、根据表中数据可知，变量 $y$ 与 $x$ 正相关 B、经验回归方程 $\hat{y} = 0.24 x + \hat{a}$ 中 $\hat{a} = 0.28$ C、可以预测 $x = 6$ 时房屋交易量约为 $1.72$ （万套） D、 $x = 5$ 时，残差为 $- 0.02$

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2、已知集合 $A = \{x |x^{2} + 2 x < 3\}, B = \{x |2^{x} + x < 3\}$ ，则“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如， $[- 0.5] = - 1$ ， $[1.1] = 1$ ，已知函数 $f (x) = [x]$ ，下列结论正确的有（）

A、若 $x \in (0, 1)$ ，则 $f (- x) + \frac{1}{4} < - [f (x) + \frac{1}{4}]$ B、 $f (x + y) < f (x) + f (y)$ C、设 $g (x) = f (2 \sqrt{5} x) + f (\frac{x^{2}}{20})$ ，则 $\sum_{k = 1}^{20} g (k) = 401$ D、所有满足 $f (m) = f (n) (m, n \in [0, \frac{14}{3}])$ 的点 $(m, n)$ 组成的区域的面积和为 $\frac{40}{9}$

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4、对于 $z_{0}, z_{1}, z_{2} \in C$ ，记 $k = |\frac{z_{1} - z_{0}}{z_{2} - z_{0}}|$ 为 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $z_{0}$ 的“差比模”.若取遍 $|z_{0}| = r (r > 0)$ ，记 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $|z_{0}| = r$ 的“差比模”的最大值为 $k_{max}$ ，最小值为 $k_{min}$ ，若 $k_{max} + k_{min} = 2$ ，则称 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $r$ 的“差比模”是协调的.

(1)、若 $z_{0} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, z_{1} = 1, z_{2} = - 1$ ，求 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $z_{0}$ 的“差比模”；

(2)、若 $z_{1} = 1 + \sqrt{3} i, z_{2} = 1 - \sqrt{3} i$ ，是否存在 $r < 2$ ，使得 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $r$ 的“差比模”是协调的？若存在，求出 $r$ 的值；若不存在，说明理由；

(3)、若 $z_{1} = a, z_{2} = b i, a, b \in R$ 且 $a, b > r$ ，若 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $r$ 的“差比模”是协调的，求 $\frac{b^{2} - a^{2}}{r^{2}}$ 的值.

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5、设椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率等于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点 $F$ 是椭圆 $E$ 的一个顶点， $A, B$ 分别是椭圆的左右顶点.

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、动点 $P$ 、 $Q$ 为椭圆上异于 $A, B$ 的两点，设直线 $A P$ ， $B Q$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{2} = 3 k_{1}$ ，求证：直线 $P Q$ 经过定点.

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6、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B / / C D$ ， $A D = C D = 1$ ， $∠ B A D = 120^{°}$ ， $P A = \sqrt{3}$ ， $∠ A C B = 90^{°}$ ， $M$ 是线段 $P D$ 上的一点（不包括端点）.

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求 $A$ 点到平面 $P C D$ 的距离；

(3)、试确定点 $M$ 的位置，使直线 $M A$ 与平面 $P C D$ 所成角 $θ$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ .

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7、（1）求与向量 $\vec{a} = (2, - 1, 2)$ 共线且满足方程 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 18$ 的向量 $\vec{b}$ 的坐标；
（2）已知 $A (2, - 1, 2)$ ， $B (4, 5, - 1)$ ， $C (- 2, 2, 3)$ ，求点 $P$ 的坐标使得 $\vec{A P} = \frac{1}{2} (\vec{A B} - \vec{A C})$ ；
（3）已知 $\vec{a} = (3, 5, - 4)$ ， $\vec{b} = (2, 1, 8)$ ，求：① $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；② $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值；③确定 $λ$ 、 $μ$ 的值使得 $λ \vec{a} + μ \vec{b}$ 与 $z$ 轴垂直，且 $(λ \vec{a} + μ \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 53$ .

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8、过点 $P (2 ， 3)$ ，并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）

A、 $x + y - 5 = 0$ B、 $2 x + y - 4 = 0$ C、 $3 x - 2 y = 0$ D、 $4 x - 2 y + 5 = 0$

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9、二次函数 $f (x)$ 最小值为 $2$ ，且关于 $x = 1$ 对称，又 $f (0) = 3$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在区间 $[- 2, 2]$ 上， $y = f (x)$ 的图象恒在 $y = - x + 2 m + 1$ 图象的下方，试确定实数 $m$ 的取值范围；

(3)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[t - 1, t]$ 上的最小值 $g (t)$ .

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10、“金山银山不如绿水青山．”实行垃圾分类、保护生态环境人人有责．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用 $98$ 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为 $50$ 万元．若该设备使用 $x$ 年，则其所需维修保养费用 $x$ 年来的总和为 $(2 x^{2} + 10 x)$ 万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为 $y$ 万元．

(1)、写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到 $30$ 万元以上；

(2)、该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大?最大值是多少?（ $年平均盈利额＝ \frac{盈利总额}{使用年数}$ ）

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11、设全集为U=R ，集合 $A = \{x |3 \leq x < 9\}$ ， $B = \{x |2 < x < 6\}$ .

(1)、分别求 $A \cap B$ ， $(∁_{U} A) \cup (∁_{U} B)$ ；

(2)、已知 $M = \{x | a < x < a + 1\}$ ，若 $M \cup B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |x| - 1, x \leq 1 \\ 2^{x}, x > 1 \end{array}$ ，则 $f [f (- 3)] =$

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13、如果集合 $A$ 满足 ${0, 2} \subseteq A ⫋ {- 1, 0, 1, 2}$ ，则满足条件的集合 $A$ 的个数为（填数字）.

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14、已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 + x}, - 1 \leq x \leq 1 \\ f (x - 2), x > 1 \end{array}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (12) = 2$ B、 $f (x)$ 的最大值为2 C、 $f (x)$ 的增区间为 $[2 k - 1, 2 k]$ $(k \in N)$ D、 $f (f (2 k - 1)) = 2$ $(k \in N)$

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15、下列哪一组中的函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 表示同一个函数（）

A、 $f (x) = \frac{|x|}{x}$ ， $g (x) = \{\begin{array}{l} 1, x \geq 0, \\ - 1, x < 0 \end{array}$ B、 $f (x) = x^{0}$ ， $g (x) = 1$ C、 $f (x) = x$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x}$ ， $g (x) = \frac{x}{x^{2}}$

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16、已知命题 $p : \forall x \in R$ ， $x + |x| \geq 0$ ，则其否定为（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x + |x| < 0$ B、 $\exists x \in Z$ ， $x + |x| < 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x + |x| < 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x + |x| \leq 0$

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17、已知全集 $U = {x \in N ∣ x < 9}$ ，集合 $A = {1, 2, 3}$ ，集合 $B = {0, 4, 5, 6}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B$ 等于（）

A、 ${3}$ B、 ${7, 8}$ C、 ${4, 5, 6}$ D、 ${4, 5, 6, 0}$

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18、已知函数 $f (x) = a {(\frac{1}{2})}^{|x|} + b$ .

(1)、若 $a = 1, b = 0$ ，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若该函数图象过原点，且无限接近直线 $y = 2$ 但又不与该直线相交，求函数 $f (x)$ 的解析式并写出其单调性（写出即可，不用证明）；

(3)、若 $a = 1, b = 0, g (x) = \frac{1}{f (x)} - f (x)$ ，且 $2^{t} g (2 t) + m g (t) \geq 0$ 对于任意的 $t \in [1, 2]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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19、某大学有甲､乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为 $X$ ，已知 $X$ 的分布列如下：（其中 $a > 0, 0 < p < 1$ ）
$X$
0
1
2
3
$P$
$a {(1 - p)}^{2}$
$\frac{a}{p}$
$a$
$a (1 - p)$

(1)、记事件 $A_{i}$ 表示王同学假期三天内去运动场锻炼 $i$ 次 $(i = 0, 1, 2, 3)$ ，事件 $B$ 表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.当 $p = \frac{1}{2}$ 时，试根据全概率公式求 $P (B)$ 的值；

(2)、是否存在实数 $p$ ，使得 $E (X) = \frac{5}{3}$ ？若存在，求 $p$ 的值：若不存在，请说明理由；

(3)、记 $M$ 表示事件“甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”， $N$ 表示事件“王同学去甲运动场锻炼”， $0 < P (M) < 1$ .已知王同学在甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率大，证明： $P (M ∣ N) > P (M ∣ \bar{N})$ .

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20、已知抛物线 $E : y^{2} = 4 x$ ，点 $A, B, C$ 在抛物线 $E$ 上，且 $A$ 在 $x$ 轴上方， $B$ 和 $C$ 在 $x$ 轴下方（ $B$ 在 $C$ 左侧）， $A, C$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $A B$ 交 $x$ 轴于点 $M$ ，延长线段 $C B$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，连接 $Q A$ .

(1)、证明： $\frac{|O M|}{|O Q|}$ 为定值（ $O$ 为坐标原点）；

(2)、若点 $Q$ 的横坐标为 $- 1$ ，且 $\vec{M B} \cdot \vec{M C} = \frac{8}{9}$ ，求 $△ A Q B$ 的内切圆的方程.

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时间 $x$	1	2	3	4	5
交易量 $y$ （万套）	$0.5$	0.8	1.0	1.2	1.5

$X$	0	1	2	3
$P$	$a {(1 - p)}^{2}$	$\frac{a}{p}$	$a$	$a (1 - p)$