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相关试卷

1、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ ， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = 60^{\circ}$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{7}$

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2、若 $i^{2025} z = 1 + i$ ，则复数 $z$ 对应的点位于第（）象限

A、一 B、二 C、三 D、四

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3、已知集合 $A = {x \in N ∣ - 1 \leq x < 4}$ ， $B = \{x| y = \sqrt{x}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2, 3\}$ B、 $\{- 1, 1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2, 3\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2, 3\}$

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4、已知 $S_{n}$ 是各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{n + 1}^{2} - 2 a_{n + 1} a_{n} - 3 a_{n}^{2} = 0$ ， $S_{3} = 13$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为.

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5、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且 $f (x + 1)$ 为奇函数，若 $f (0) + f (3) = 3$ ，则（）

A、 $f (x - 1) = f (x + 1)$ B、 $f (2025) = 3$ C、函数 $f (x)$ 的周期为2 D、 $f (2024) = 3$

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6、若 $\vec{a} = (- 1, 2, - 1)$ ， $\vec{b} = (1, 3, - 2)$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、 $- 8$ B、 $- 10$ C、8 D、10

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7、已知直线 $l : y = k x + 1$ 与抛物线 $Γ : x^{2} = 4 y$ 相交于 $A, B$ 两点.

(1)、求 $|A B|$ （用 $k$ 表示）；

(2)、过点 $A, B$ 分别作直线 $l$ 的垂线交抛物线 $Γ$ 于 $D, C$ 两点.
（i）求四边形 $A B C D$ 面积的最小值；
（ii）试判断直线 $l$ 与直线 $C D$ 的交点 $Q$ 是否在定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，请说明理由.

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8、平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = \frac{1}{2} A B = 2, ∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $P D E$ 位置时， $P C = 4$ .

(1)、求证： $C E ⊥ P D$ ；

(2)、求平面 $P D E$ 与平面 $P D C$ 的夹角的余弦值.

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9、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2, E, F$ 是线段 $A_{1} C_{1}$ 上的两个动点，且 $E F = 1$ ， $G$ 是 $B C$ 的中点，则下列结论中正确的是（）

A、三棱锥 $B_{1} - E F G$ 的体积为定值 B、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $E F G$ C、在线段 $A D$ 上存在一点 $Q$ ，使得 $D_{1} Q / /$ 平面 $E F G$ D、平面 $E F G$ 截正方体的外接球的截面面积为 $\frac{13}{9} π$

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10、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0, c^{2} = a^{2} - b^{2})$ 的右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 作圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 2 c x = 0$ 的切线与椭圆 $C_{1}$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $\vec{F B} = 2 \vec{A F}$ ，则椭圆 $C_{1}$ 的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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11、已知正数 $a, b$ 满足 $a + b = a b$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ B、 $a b \geq 8$ C、 $a + b \geq 4$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq 8$

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12、下列说法正确的是（）

A、直线 $x \sin α + y + 2 = 0$ 的倾斜角 $θ$ 的取值范围是 $[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$ B、若 $A (- 2, 12), B (1, 3), C (4, m)$ 三点在一条直线上，则 $m = 2$ C、过点 $(1, 2)$ ，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线 $l$ 的方程为 $x - y + 1 = 0$ D、直线 $l$ 的方向向量为 $(- 1, \sqrt{3})$ ，则该直线的斜率为 $- \sqrt{3}$

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13、已知直线 $l_{1} : 2 x + y + n = 0$ ， $l_{2} : 4 x + m y - 4 = 0$ 互相平行，且 $l_{1}, l_{2}$ 之间的距离为 $\frac{3}{5} \sqrt{5}$ ，则 $m + n =$ （）

A、 $- 3$ 或3 B、 $- 2$ 或4 C、 $- 1$ 或5 D、 $- 2$ 或2

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14、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}}$ （ $n \geq 2$ ， $n \in N_{+}$ ），则 $a_{2023} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $- 1$ D、2

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15、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 3 x - 10 < 0\}$ ， $B = \{x |(x - m) [x - (2 m - 1)] \leq 0\}$ ， $C = \{x |\frac{1}{2^{x}} > 2\}$ ．

(1)、求 $A \cap C$ ， $A \cup (∁_{R} C)$ ；

(2)、若“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”的充分不必要条件，求 $m$ 的取值范围．

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16、已知“不小于 $x$ 的最小的整数”所确定的函数通常记为 $f (x) = [x]$ ，例如： $[1.2] = 2$ ，则方程 $[x] = \frac{3}{4} x + \frac{1}{2}$ 的正实数根的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、无数个

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17、某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：
土地使用面积 $x /$ 亩
1
2
3
4
5
管理时间 $y /$ 月
8
10
13
25
24
并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：
单位：人
愿意参与管理
不愿意参与管理
合计
男性村民
150
50
女性村民
50
合计

(1)、求出样本相关系数 $r$ 的大小，并判断管理时间 $y$ 与土地使用面积 $x$ 是否线性相关（当 $|r| \geq 0.75$ 时，即可认为线性相关）；

(2)、依据 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关；

(3)、以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望.
参考公式： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}, χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
临界值表：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考数据： $\sqrt{635} \approx 25.2$ .

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18、已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} + a_{n} = 4 n (n \in N^{*})$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、是否存在正实数a，使得不等式 $\frac{a_{1}}{a_{1} + 1} \cdot \frac{a_{2}}{a_{2} + 1} \dots \dots \frac{a_{n}}{a_{n} + 1} \cdot \sqrt{a_{n + 1}} < \frac{a}{2} - \frac{3}{a}$ 对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.

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19、已知向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} \sin ω x, \sin ω x)$ ， $\vec{n} = (\cos ω x, \sin ω x)$ ， $ω > 0$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ，且 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ .

(1)、若 $x \in [0, \frac{5 π}{12}]$ ，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、将 $f (x)$ 的图象先向下平移 $\frac{1}{2}$ 个单位长度，再向左平移m（ $m > 0$ ）个单位长度，最后将横坐标变为原来的两倍，所得函数图象与函数 $y = \cos x$ 的图象重合，求实数m的最小值.

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20、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的菱形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $E, F$ 分别是 $B C, P C$ 的中点.

(1)、证明： $A E ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $P A = 2$ ，求二面角 $F - A E - C$ 的余弦值.

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土地使用面积 $x /$ 亩	1	2	3	4	5
管理时间 $y /$ 月	8	10	13	25	24

	愿意参与管理	不愿意参与管理	合计
男性村民	150	50
女性村民	50
合计

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828