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相关试卷

1、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{4} = 16, 2 S_{3} = 8 a_{1} + 3 a_{2}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 1, 3 (b_{1} + b_{2}) + 8 (b_{2} + b_{3}) + \dots + (n^{2} + 2 n) (b_{n} + b_{n + 1}) = 2 \log_{2} a_{n}, n \in N^{*}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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2、已知函数 $f (x) = a e^{x} + (a - 1) x + e^{- x}$ （ $a \in R, e = 2.71828 \dots$ 为自然对数的底数）．

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增，求a的取值范围．

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3、已知实数 $a > 0, b \in R$ ，且函数 $f (a, b) = \sqrt{{(a - 2 b)}^{2} + 4 {(\ln a - b^{2})}^{2}} + 2 b^{2}$ ，则函数 $f (a, b)$ 的最小值为．

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4、将1，2，3，4，5，6这6个数填入图所示的格子中，要求每个数字都要填入，且每个格子只能填一个数，其中1与2相邻（有公共边的两格子称为相邻）的不同的填法有种（结果用数字作答）．

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5、已知随机变量X服从正态分布 $N (4, σ^{2})$ ，且 $P (4 < X < 6) = 0.4$ ，则 $P (X > 2) =$ ．

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6、有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5，转动圆盘等其静止时，指针均指向扇形的内部，记录下对应的数字．持续这个过程，记前 $n$ 次所得的数字之和是偶数的概率为 $P_{n}$ ，则（）

A、 $P_{2} = \frac{13}{25}$ B、 $P_{7} > P_{8}$ C、 $\{P_{n} - \frac{1}{3}\}$ 是等比数列 D、 $\{P_{2 n}\}$ 是递减数列

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7、“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）

A、2024行中从左往右第1012个数与第1014个数相等 B、 $C_{4}^{3} + C_{5}^{3} + C_{6}^{3} + \dots + C_{10}^{3} = 330$ C、记第10行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{11} (i - 1) a_{i} = 5120$ D、记第 $n$ 行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} 4^{i - 1} a_{i} = 5^{n}$

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8、已知随机变量 $X, Y$ 满足 $X \sim B (4, p)$ ，且 $P (X = 0) = \frac{16}{81}$ ，且 $X + 2 Y = 1$ ，则（）

A、 $E (X) = \frac{2}{3}$ B、 $E (Y) = - \frac{1}{6}$ C、 $D (X) = \frac{8}{9}$ D、 $D (Y) = \frac{2}{9}$

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n} - \frac{S_{n}}{n^{2}} = a_{n - 1} - \frac{S_{n - 1}}{n^{2}} (n \geq 2, n \in N^{*})$ ，且关于n的不等式 $λ 2^{n} a_{n} < n (3 n - 1)$ 有3个解，则 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{21}{8}, \frac{55}{16})$ B、 $(\frac{119}{64}, \frac{21}{8}]$ C、 $[\frac{55}{16}, \frac{15}{4})$ D、 $(2, \frac{21}{8}]$

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10、2024年伊始，随着“广西砂糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”．某班级六位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这六位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂、冰雪大世界、中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，六位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是（）

A、132 B、144 C、150 D、168

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11、已知函数 $f (x) = | \ln x |, x_{1} 、 x_{2}$ 为不相等的两个实数，则“ $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ”是“ $f^{'} (x_{1}) f^{'} (x_{2}) = - 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x} + 3 \ln x$ 在 $(a, 2 - 3 a)$ 内有最小值，则实数a的取值范围是（）

A、 $0 < a < \frac{1}{3}$ B、 $0 \leq a < \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3} < a < 1$ D、 $0 \leq a < \frac{1}{2}$

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13、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{1} + a_{2} + a_{3} = 6, a_{4} + a_{5} + a_{6} = 12$ ，则 $S_{12} =$ （）

A、18 B、36 C、54 D、60

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14、已知可导函数 $f (x)$ 满足 $f (2 x) = \sqrt{x}$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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15、已知事件 $A, B$ ，且 $P (A) = \frac{5}{6}$ ， $P (B) = \frac{2}{3}$ ， $P (A | B) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{5}$

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16、在 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项是（）

A、1120 B、160 C、 $- 120$ D、 $- 160$

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17、已知函数 $f (x) = (4 x + a) ln (x + 1)$ ， $g (x) = x^{2} + b x$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在原点处的切线重合，且函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 有且仅有三个极值点，求实数 $a$ 的取值范围.

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18、已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (a - 1) x + 5, x \in (- \infty, 2) \\ a^{x}, x \in [2, + \infty) \end{array}$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上具有单调性，则实数 $a$ 的取值范围是．

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19、在 ${(3 x^{2} - \frac{1}{x})}^{n}$ 的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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20、已知圆的圆心为 $(1, - 2)$ ，且直线 $3 x - 4 y + 14 = 0$ 与圆相切，则圆的标准方程为（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$ B、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 5$ C、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ D、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$

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