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相关试卷

1、已知点 $P$ 到点 $F (1, 0)$ 的距离比点 $P$ 到 $y$ 轴的距离大1，

(1)、求点 $P$ 的轨迹 $E$ 的方程；

(2)、若点 $A (2, m)$ （ $m > 0$ ）在 $E$ 上，又已知点 $G (- 1, 0)$ ，延长 $A F$ 交 $E$ 于点 $B$ ，证明：以点 $F$ 为圆心且与直线 $G A$ 相切的圆，必与直线 $G B$ 相切.

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2、已知函数 $f (x) = \frac{1}{4} x^{3} - x^{2} + x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 的斜率为1的切线方程；

(2)、当 $x \in [- 2, 4]$ 时，求证： $x - 6 \leq f (x) \leq x$ .

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3、甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 $n$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $X_{n}$ ，恰有2个黑球的概率为 $p_{n}$ ，恰有1个黑球的概率为 $q_{n}$ ，则 $p_{2} =$ ， $X_{n}$ 的数学期望 $E (X_{n}) =$ .（用 $n$ 表示）

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4、在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{7} A C$ ，点 $D$ 在 $B C$ 上，满足 $\vec{C D} = 2 \vec{D B}$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $A C = B D$ .则 $△ A B C$ 的面积为.

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5、已知函数 $y = x f (x + 1)$ 为偶函数，且 $f (1 - x) = f (x + 3)$ ，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = 2 - 2^{x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 C、 $f (x)$ 的最小正周期为2 D、 $f (1) + f (2) + \cdot \cdot \cdot + f (30) = - 1$

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6、杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.根据杨辉三角判断下列说法正确的是（）

A、 ${(x - 1)}^{6} = x^{6} - 6 x^{5} + 15 x^{4} - 20 x^{3} + 15 x^{2} - 6 x + 1$ B、已知 ${(x + 2)}^{5} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + \dots + a_{5} {(x + 1)}^{5}$ ，则 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} - a_{5} = 1$ C、已知 ${(1 - 3 x)}^{n}$ 的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数和为 $2^{12}$ D、 $C_{7}^{2} + 4 C_{7}^{3} + 6 C_{7}^{4} + 4 C_{7}^{5} + C_{7}^{6} = C_{11}^{6}$

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x ln x, x > 0, \\ - 1, x = 0, \\ x ln (- x) - 2, x < 0. \end{matrix}$ 若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a x - 1$ 有5个不同的实数根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(1, e)$ D、 $(2, 2 e)$

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是各项为正数的等比数列，公比为 $q$ ，在 $a_{1}$ ， $a_{2}$ 之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为 $d_{1}$ ，在 $a_{2}$ ， $a_{3}$ 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为 $d_{2}$ ， …，在 $a_{n}$ ， $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数成等差数列，公差为 $d_{n}$ ，则（）

A、当 $0 < q < 1$ 时，数列 $\{d_{n}\}$ 单调递减 B、当 $q > 1$ 时，数列 $\{d_{n}\}$ 单调递增 C、当 $d_{1} > d_{2}$ 时，数列 $\{d_{n}\}$ 单调递减 D、当 $d_{1} < d_{2}$ 时，数列 $\{d_{n}\}$ 单调递增

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9、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的上顶点为 $A$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，连接 $A F_{2}$ 并延长交椭圆 $C$ 于另一点 $B$ ，若 $|F_{1} B| : |F_{2} B| = 7 : 3$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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10、在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C, ∠ A B C = \frac{π}{2}$ ，作 $A E ⊥ P B$ 于 $E, A F ⊥ P C$ 于 $F$ ，下面结论正确的是（       ）
① $B C ⊥$ 平面 $P A B$              ② $A F ⊥$ 平面 $P B C$
③三棱锥 $A - B C E$ 是鳖臑             ④三棱锥 $A - C E F$ 是鳖臑

A、①③ B、①②④ C、②③ D、①③④

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11、已知 $sin (θ + \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ （ $- \frac{2 π}{3} \leq θ \leq \frac{π}{3}$ ），则 $sin (θ + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{3 - \sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{3 + \sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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12、设 $x \in R$ ，向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、10

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13、已知复数 $z = \frac{a}{1 + i}$ 在复平面内对应的点的坐标为 $(2, b)$ ，则实数 $a, b$ 的值分别为（）

A、 $4, 2$ B、 $4, - 2$ C、 $- 4, 2$ D、 $- 4, - 2$

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14、集合 $A = \{(x, y) |y = x, x \in R\}$ ， $B = \{(x, y) |y = x^{2}, x \in R\}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、8

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15、设集合 $A$ 是至少有两个元素的实数集，集合 $F (A) = \{z| z = x y, x, y \in A$ 且 $x \neq y\}$ ，称集合 $F (A)$ 为集合 $A$ 的积集．

(1)、当 $A = \{1, 2, 4, 8, 32\}$ 时，写出集合 $A$ 的积集 $F (A)$ ；

(2)、若 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\}$ 是由4个正实数构成的集合，求其积集 $F (A)$ 中元素个数的最小值；

(3)、若 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\}$ 是由4个有理数构成的集合，积集 $F (A) = \{- 18, - 2, - \frac{3}{2}, - \frac{1}{6}, 1, 3\}$ ，求集合 $A$ 中的所有元素之和．

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16、已知函数 $f (x) = x |2 a - x| + b x, a \in R$ ．

(1)、当 $b = - 2$ 时，若函数 $f (x)$ 恰有两个不同的零点，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $b = 2$ 时，若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $b = 2$ 时，若存在实数 $a \in [0, 2]$ ，使得关于 $x$ 的方程 $f (x) - t f (2 a) = 0$ 有三个不相等的实数根，求实数 $t$ 的取值范围．

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17、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} + a}{e^{x} + 1}$ 为奇函数．（e为自然对数的底数， $e \approx 2.718$ ）

(1)、求 $a$ 的值及函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、用函数单调性的定义证明函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数；

(3)、求不等式 $f (4^{- x}) + f (4 - 5 \times 2^{- x}) \leq 0$ 的解集．

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18、已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $2 a + b - 4 a b = 0$ ．

(1)、证明： $a b \geq \frac{1}{2}$ ；

(2)、求 $a + 2 b$ 的最小值．

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19、计算：

(1)、 ${(1 \frac{7}{9})}^{0.5} + \sqrt{{(- 10)}^{2}} - 2 \sqrt{3} \times \sqrt[6]{27} - π^{0} \times {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{- 2}$ ；

(2)、 ${log}_{5} 125 + lg \frac{1}{1000} + ln \sqrt{e} + 2^{{log}_{2} 3} + \frac{2}{3} {log}_{2} 3 \cdot {log}_{9} 8$ ．

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x, x \geq 0 \\ - ln(x + 1), x < 0 \end{array}$ 关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - 2 a f (x) + a - 1 = 0 (a \in R)$ 有四个相异的实数根，则 $a$ 的取值范围是．

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