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1、若向量 $\vec{a} = (- 4, 3)$ ， $\vec{b} = (1, 3)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量坐标为.

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2、已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 2 i$ ，则下列关于复数 $z$ 的结论正确的是（）

A、 $|z| = \sqrt{2}$ B、 $z$ 的虚部为 $i$ C、复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} = - 1 - i$ D、复数 $z$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的一个根

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3、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到 $A$ 处时测得公路北侧远处一山顶 $D$ 在西偏北30°的方向上，行驶 $600m$ 后到达 $B$ 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为60°，求此山的高度 $C D =$ （）

A、 $300 \sqrt{6}$ B、 $100 \sqrt{6}$ C、100 D、300

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4、在空间中，l，m是不重合的直线， $α$ ， $β$ 是不重合的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $l \subset α$ ， $m \subset β$ ， $α // β$ ，则 $l // m$ B、若 $l // m$ ， $m \subset β$ ，则 $l // β$ C、若 $m / / β$ ， $m / / α$ ，则 $α // β$ D、若 $α \cap β = l$ ， $m / / β$ ， $m / / α$ ，则 $l // m$

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5、正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）

A、 $20 + 12 \sqrt{3}$ B、 $28 \sqrt{2}$ C、 $\frac{56}{3}$ D、 $\frac{28 \sqrt{2}}{3}$

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6、在 $△ A B C$ 中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且 $\vec{A E} = 3 \vec{E C}$ ，则 $\vec{E D} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A C}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

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7、如图，已知等腰直角三角形 $O^{'} A^{'} B^{'}$ 是一个平面图形的直观图， $O^{'} A^{'} = A^{'} B^{'}$ ，斜边 $O^{'} B^{'} = 2$ ，则这个平面图形的面积是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，其离心率 $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，过点 $B (2, 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点（异于 $A_{1}, A_{2}$ ），当直线 $l$ 的斜率不存在时， $| P Q | = \frac{4 \sqrt{5}}{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $A_{1} P$ 与 $A_{2} Q$ 交于点 $S$ ，试问：点 $S$ 是否恒在一条直线上？若是，求出此定直线方程，若不是，请说明理由.

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 各项均为正数，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $4 S_{n} = {(a_{n} + 1)}^{2}$ .
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.
（2）设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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10、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（）

A、 $- 1$ 是函数 $f (x)$ 的极小值点 B、 $- 3$ 是函数 $f (x)$ 的极小值点 C、函数 $f (x)$ 在区间 $(- 3,1)$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处切线的斜率小于零

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11、设抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p \geq 0)$ 的焦点为F，点M在C上， $|M F| = 5$ ，若以MF为直径的圆过点 $(0, 2)$ ，则抛物线C的方程为（）

A、 $y^{2} = 4 x$ B、 $y^{2} = 8 x$ C、 $y^{2} = 16 x$ D、 $y^{2} = 2 x$

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12、已知递减的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{5} = S_{7}$ ，则（）

A、 $a_{6} > 0$ B、 $S_{6}$ 最大 C、 $S_{13} > 0$ D、 $S_{11} > 0$

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13、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + a_{2} = \frac{1}{2}$ ， $a_{1} - a_{3} = \frac{3}{4}$ ，则 $a_{4} =$

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $- 4$ D、 $4$

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14、数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = - n^{2} + 7 n$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 B、 $a_{10} = - 14$ C、当 $n > 4$ 时， $a_{n} < 0$ D、当 $n = 3$ 或4时， $S_{n}$ 取得最大值

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15、如图，机器人从A点出发，每次可以向右或向上沿着线走一个单位（每个小正方形的一条边长为一个单位），要走到B点，不同的走法共有种．

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16、在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A C ⊥$ 平面ABC，△ $P A C$ 为等腰直角三角形， $P A ⊥ P C$ ， $A C ⊥ B C$ ， $B C = 2 A C = 4$ ， M为AB的中点.

(1)、求证： $A C ⊥ P M$ .

(2)、求PC与平面PAB所成角的正弦值.

(3)、在线段PB上是否存在点N，使得平面 $C N M ⊥$ 平面PAB？若存在，求出 $\frac{P N}{P B}$ 的值；若不存在，说明理由.

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17、在 $Rt △ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B + \cos C}{b + c} .$

(1)、求角 $A$ ；

(2)、已知 $c \neq 2 b, a = 2 \sqrt{3}$ ，点 $P, Q$ 是边 $A C$ 上的两个动点（ $P, Q$ 不重合），记 $∠ P B Q = θ$ .
①当 $θ = \frac{π}{6}$ 时，设 $△ P B Q$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的最小值：
②三角和差化积公式是一组应用广泛的三角恒等变换式，其形式如图：
$\sin α \cdot \cos β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) + \sin (α - β)]$
$\cos α \cdot \sin β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) - \sin (α - β)]$
$\cos α \cdot \cos β = \frac{1}{2} [\cos (α + β) + \cos (α - β)]$
$\sin α \cdot \sin β = - \frac{1}{2} [\cos (α + β) - \cos (α - β)]$
它在工程学、绘图测量学等方面，有着广泛的应用．现记 $∠ B P Q = α, ∠ B Q P = β$ ，请利用该公式，探究是否存在实常数 $θ$ 和 $k$ ，对于所有满足题意的 $α, β$ ，都有 $\sin 2 α + \sin 2 β + k = 4 k \sin α \sin β$ 成立？若存在，求出 $θ$ 和 $k$ 的值；若不存在，说明理由．

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18、某小区拟用一块半圆形地块（如图所示）建造一个居民活动区和绿化区．已知半圆形地块的直径 $A B = 4$ 千米，点 $O$ 是半圆的圆心，在圆弧上取点 $C$ 、 $D$ ，使得 $B C = D C$ ，把四边形 $A B C D$ 建为居民活动区，并且在居民活动区周围铺上一条由线段 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ 和 $D A$ 组成的塑胶跑道，其它部分建为绿化区．设 $∠ C O B = θ$ ，且 $\frac{π}{6} \leq θ < \frac{π}{2}$ ；

(1)、求塑胶跑道的总长 $l$ 关于 $θ$ 的函数关系式；

(2)、当 $θ$ 为何值时，塑胶跑道的总长 $l$ 最长，并求出 $l$ 的最大值．

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19、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 4$ ， $A C = 10$ ， $∠ B A C = 60^{\circ}$ ， $B C$ 、 $A C$ 边上的两条中线 $A M$ 、 $B N$ 相交于点 $G$ .

(1)、求 $B N$ 、 $A M$ 的长；

(2)、求 $∠ M G N$ 的余弦值.

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20、已知 $|\vec{a}| = 4, |\vec{b}| = 3, (2 \vec{a} - 3 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 13$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、若 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $\vec{c}$ ，求 $\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b})$ 的值．

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