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相关试卷

1、已知 $|\vec{a}| = \sqrt{3}, |\vec{b}| = 1$ .若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2、如图：在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，棱长 $A B = 2$ ， M为 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、求三棱锥 $D - A M C$ 的体积；

(2)、求证： $B D_{1} / /$ 平面 $A M C$ ；

(3)、若 $E$ 为线段 $B D_{1}$ 上的动点，则线段 $C C_{1}$ 上是否存在点 $N$ ，使 $E N / /$ 平面 $A M C$ ？说明理由．

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3、已知平面向量 $\vec{a} = (1, x)$ ， $\vec{b} = (2 x + 3, - x)$ ， $x \in R$ .

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，求 $x$ 的取值范围.

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4、在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，其面积 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ，这里 $p = \frac{1}{2} (a + b + c)$ ．已知在 $△ A B C$ 中， $B C = 6$ ， $A B = 2 A C$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为．

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5、定义运算： $a \otimes b = \{\begin{array}{l} b, a \geq b \\ a, a < b \end{array}$ ，则函数 $f (x) = 3^{- x} \otimes 3^{x}$ 的值域为．

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6、 ${(0.25)}^{- 0.5} + {(\frac{1}{27})}^{- \frac{1}{3}} - 625^{0.25} =$ .

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7、已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (cos α, sin α)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| = 3$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $tan α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $tan α = \sqrt{3}$ D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向相反，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标是 $(- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

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8、设函数 $f (x) = x^{2} + m x + n^{2}$ ， $g (x) = x^{2} + (m + 4) x + n^{2} + 2 m + 4$ ，其中 $x \in R$ ，若对任意 $t \in R$ 及任意 $n \in R$ ， $f (t)$ 和 $g (t)$ 中至少有一个为非负值，则实数 $m$ 的最大值是（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

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9、化橘红具有散寒燥湿，利气消疾，止咳、健脾消食等功效．如图，小明为了测量一棵老橘红树的高度，他选取与树根部 $C$ 在同一水平面的 $A$ 、 $B$ 两点，在 $A$ 点测得树根部 $C$ 在西偏北 $30 °$ 的方向上，沿正西方向步行20米到 $B$ 处，测得树根部 $C$ 在西偏北 $75 °$ 的方向上，树梢 $D$ 的仰角为 $30 °$ ，则树的高度是（）

A、 $10 \sqrt{6}$ 米 B、 $10 \sqrt{3}$ 米 C、 $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$ 米 D、 $\frac{10 \sqrt{6}}{3}$ 米

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10、已知幂函数 $f (x) = m x^{1 + n}$ 是定义在区间 $[- 2, n]$ 上的奇函数，设 $a = f (\sin \frac{2 π}{7}), b = f (\cos \frac{2 π}{7}), c = f (\tan \frac{2 π}{7})$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $a < b < c$

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11、设 $D$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点，若 $\vec{B C} = 3 \vec{C D}$ ，则下列关系中正确的是（）

A、 $\vec{A D} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{4}{3} \vec{A C}$ B、 $\vec{A D} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ C、 $\vec{A D} = \frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ D、 $\vec{A D} = \frac{4}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

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12、已知 $\cos (α + \frac{π}{3}) = \frac{2}{3}$ ，则 $\sin (α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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13、若复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = |1 + \sqrt{3} i|$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $2 - 2 i$ D、 $2 + 2 i$

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14、已知集合 $A = \{x \in N |x < 3\}$ ， $B = \{x |- 2 < x < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |- 2 < x < 3\}$ B、 $\{x |- 2 < x < 4\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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15、已知数列 $\sqrt{6}, \sqrt{10}, \sqrt{14}, 3 \sqrt{2}, \sqrt{22}, \dots$ ，则 $5 \sqrt{2}$ 是这个数列的（）

A、第11项 B、第12项 C、第13项 D、第14项

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16、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点F是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于A，B两点.若 $△ A B F$ 是等边三角形，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{\frac{3}{7}} - \frac{y^{2}}{\frac{4}{7}} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{7} - \frac{y^{2}}{\frac{3}{7}} = 1$

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17、已知 $a = π^{0.2}$ ， $b = {0.2}^{π}$ ， $c = \log_{π} 0.2$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $a > b > c$

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18、在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ B A C = 120^{\circ}$ ， $A B = A D = A C = 2$ ，则该棱锥的外接球半径为（）.

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $3$ D、 $4$

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19、已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ ，若 $a = \log_{3} 0.6$ ， $b = 3^{0.01}$ ， $c = \log_{5} 3$ ，则有（）

A、 $f (a) > f (b) > f (c)$ B、 $f (b) > f (c) > f (a)$ C、 $f (b) > f (a) > f (c)$ D、 $f (c) > f (a) > f (b)$

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20、设函数 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{x + 1}$ ，其中 $a$ 为常数，且 $a > 0$ .
（1）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；
（2）设函数 $F (x) = f (x) + x \ln a$ ， $x_{1}, x_{2}$ 是函数 $f (x)$ 的两个极值点，证明： $F (x_{1}) + F (x_{2}) < 1 - 4 \ln 2$ .

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