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相关试卷

1、某高校的化学实验室内的电子微型质量测量仪的底座形似一个正四棱台，记该正四棱台为 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，经测量其体积为 $\frac{28 \sqrt{3}}{3}$ ，上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，下底面 $A B C D$ 的边长分别为2，4，记 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $A_{1} C_{1}$ ， $B_{1} D_{1}$ ，交于点 $O_{1}$ ，则 $O A_{1} =$ ，若四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的各个顶点均在球 $O_{2}$ 的表面上，则球 $O_{2}$ 的表面积为.

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2、若双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P是C右支上的动点，则 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}|$ 的最小值为．

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3、在某次考弍中，某陪考老师记录了12名同学提前到考场的时间（单位：分钟）分别为 $11, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 17, 18$ ，则该组数据的上四分位数为.

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 3 \sin^{2} x - 1, \sin x \geq 0, \\ \sin^{2} x - 1, \sin x < 0, \end{array}$ $x \in (0, 2 π)$ ，若方程 $f (x) = a \pm 1$ 有6个根，则 $a$ 的值可能为（）

A、0 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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5、已知 $(1 - 2 i) z = 1 + 3 i$ ，则（）

A、 $z = - 1 + i$ B、 $|z| = \sqrt{3}$ C、 $\bar{z}$ 在复平面上对应的点位于第三象限 D、 $z + 3 \bar{z} = - 4 - 2 i$

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6、已知直线l与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 36$ 交于M，N两点，若以MN为直径的圆过点 $P (0, 8)$ ，则 $|M N|$ 的最大值为（）

A、 $4 + 2 \sqrt{2}$ B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $8 + 2 \sqrt{2}$ D、 $4 + \sqrt{2}$

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7、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $2 b^{2} + c^{2} - a^{2} = 0$ ，则 $\sin B$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{5} = 27 a_{2}$ ， $S_{4} = 80$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9、若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则该椭圆的半焦距为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、3或 $\sqrt{3}$ D、3或 $\frac{3}{2}$

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10、已知向量 $\vec{a} = (2, x^{2})$ ， $\vec{b} = (1, \frac{1}{x})$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ （）

A、 $(3, 4)$ B、 $(4, 3)$ C、 $(0, 5)$ D、 $(0, 3)$

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11、已知随机变量 $X ~ B (3, p)$ ， $0 < p < 1$ ，且 $E (X) = 3 D (X)$ ，则 $p =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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12、已知集合 $M = \{x | x > - \frac{1}{2}\}$ ， $N = \{x | x \in Z, - 4 < x \leq 3\}$ ，则 $M \cap N$ 中元素的个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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13、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{n} + S_{n} = 2$ ，则（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 B、 $\{a_{n}\}$ 是等比数列 C、 $\{S_{n} - 2\}$ 是等比数列 D、 $a_{n} S_{n}$ 的最大值是1

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14、已知集合 $M = \{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ ， $N = \{x |2 x - 1 > 0\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{2, 3\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2, 3\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$

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15、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\frac{1 - sin B}{cos B} = \frac{1 - cos 2 A}{sin 2 A}$ ，则 $\frac{b^{2}}{a^{2} + 2 c^{2}}$ 的取值范围是．

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16、已知点 $A (2, - 3), B (- 2, 1)$ ，若过点 $P (1, 2)$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 相交，求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围为（　）

A、 $k \geq \frac{1}{3}$ 或 $k \leq - 5$ B、 $k \geq \frac{1}{3}$ 或 $k \leq - \frac{1}{5}$ C、 $- 5 \leq k \leq \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{5} \leq k$ $\leq \frac{1}{3}$

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17、“ $|x - 1| < 2$ ”是“ $0 < x < 3$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知集合 $A = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ， $B = \{x |x - 1 < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 2, - 1, 0\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{2\}$

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19、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4} + x) \cos (\frac{π}{4} - x)$ ，要得到函数 $g (x) = \sin 2 x - 2 \cos^{2} x + 1$ 的图象，只需将 $f (x)$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{3 π}{4}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{3 π}{4}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位长度

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20、已知正实数集 $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\}$ ，定义： $A^{2} = \{a_{i} a_{j} |a_{i}, a_{j} \in A\}$ 称为 $A$ 的平方集．记 $n (A)$ 为集合 $A$ 中的元素个数．

(1)、若 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{2, 3, 5, 7\}$ 求集合 $A^{2}$ 和 $B^{2}$ ；

(2)、若 $n (A^{2}) = 5050$ ，求 $n {(A)}_{\min}$ ；

(3)、① $n (A)$ 分别取1，2，3时，试比较 $n (A^{2})$ 和 $2 n (A) - 1$ 的大小关系；
②猜想 $n (A^{2})$ 和 $2 n (A) - 1$ 的大小关系，并证明你的结论．

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