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相关试卷

1、函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若对满足 $x_{2} - x_{1} = t (t > 0)$ 的任意 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，均有 $f (x_{2}) - f (x_{1}) > t$ ，则称函数 $y = f (x)$ 具有“ $P (t)$ 性质”，已知 $f (x) = a x^{3}$ ，且函数 $y = f (x)$ 具有 $P (1)$ 性质，则实数 $a$ 的取值范围为．

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2、已知函数 $f (x) = x {(ln x)}^{2} - 3 x$ 在区间 $[α, β]$ 内单调递减，则 $\frac{β}{α}$ 的最大值为．

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3、当 $x \in [0, 2 π]$ 时，曲线 $y = \cos x$ 与 $y = 2 \cos (3 x - \frac{π}{6})$ 交点的个数为．

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4、函数 $f (x) = 2 \sin (2 ω x + \frac{π}{3}) (0 < ω < 1)$ 的图象如图所示，将其向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到 $y = g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = \frac{1}{2}$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 对称 C、函数 $y = g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 D、函数 $y = g (2 x + \frac{π}{3})$ 在 $[- \frac{π}{9}, \frac{π}{9}]$ 上单调递减

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5、在 ${(\frac{3}{x^{2}} + \sqrt{x})}^{5}$ 的二项展开式中，以下判断正确的是（）

A、所有项的系数之和为1024 B、各二项式系数之和为32 C、第3项系数最大 D、常数项的值为90

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6、设 $f (x) = \frac{1}{\cos x}$ ，将 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到 $g (x)$ 的图像，设 $h (x) = f (x) + g (x)$ ， $x \in [\frac{π}{12}, \frac{π}{4}]$ ，则 $h (x)$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $3 \sqrt{6}$

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7、当 $α$ 变动时，动直线 $x cos 2 α + y sin 2 α = 4 {cos}^{2} α$ 围成的封闭图形的面积为（）

A、 $π$ B、 $\sqrt{2} π$ C、 $2 π$ D、 $4 π$

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8、一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（）

A、5760 B、5660 C、5642 D、5472

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9、不等式 $(x^{2} - a x - 1) (x - b) \geq 0$ 对任意 $x > 0$ 恒成立，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} - 2$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2} + 2$

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10、已知圆 $C$ 过 $M (- 1, 3)$ ， $N (1, 1)$ 两点，且圆心 $C$ 在直线 $2 x + y - 5 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $y = k x + 3$ 与圆 $C$ 交于A， $B$ 两点，在直线 $y = 3$ 上是否存在定点 $D$ ，使得直线 $A D$ ， $B D$ 的倾斜角互补？若存在，求出点 $D$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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11、如图，点 $P$ 是棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上一个动点，则（）

A、当 $P$ 在平面 $B C C_{1} B_{1}$ 上运动时，三棱锥 $P - A A_{1} D$ 的体积为定值 $\frac{4}{3}$ B、当 $P$ 在线段 $A C$ 上运动时， $D_{1} P$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2}]$ C、若 $F$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，当 $P$ 在底面 $A B C D$ 上运动，且满足 $P F //$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ 时， $P F$ 长度的最小值是 $\sqrt{5}$ D、使直线 $A P$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $45 °$ 的点 $P$ 的轨迹长度为 $π + 4 \sqrt{2}$

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12、数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 (a_{n} - 1)$ .

(1)、求证：数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，并求其通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{n} + 1) (a_{n + 1} + 1)}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ .求证： $T_{n} < \frac{1}{3}$ .

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13、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) = f (x + 3)$ ，且 $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上是增函数，则 $f (1)$ ， $f (\frac{5}{2})$ ， $f (\frac{7}{2})$ 的大小顺序是（）

A、 $f (1) < f (\frac{5}{2}) < f (\frac{7}{2})$ B、 $f (\frac{7}{2}) < f (1) < f (\frac{5}{2})$ C、 $f (\frac{5}{2}) < f (\frac{7}{2}) < f (1)$ D、 $f (\frac{7}{2}) < f (\frac{5}{2}) < f (1)$

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14、为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将 $2000$ 名师生的竞赛成绩（满分 $100$ 分）整理成如图所示的频率直方图．

(1)、求频率直方图中 $a$ 的值以及师生竞赛成绩的中位数 $;$

(2)、从竞赛成绩在 $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 的师生中，采用分层抽样的方法抽取 $6$ 人，再从抽取的 $6$ 人中随机抽取 $2$ 人，求 $2$ 人的成绩来自同一区间的概率．

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15、某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润 $y$ （单位：万元）与运转时间 $x$ （单位：年）的函数解析式为 $y = - x^{2} + 12 x - 9$ （ $x \leq 11$ ，且 $x \in N^{*}$ ）．

(1)、当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？

(2)、当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？

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16、已知关于 $x$ 的不等式 $m x^{2} - 4 x + m \geq 0$ 的解集为 $R$ ，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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17、已知 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 3$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \vec{a}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a}$ C、 $- \vec{b}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{b}$

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18、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若最多存在 $n$ 个实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{n} \in D$ ， $(x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n})$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = \dots = f (x_{n})$ ， $(n \geq 2, n \in N^{*})$ ，则称函数 $f (x)$ 为“ $n$ 级 $E$ 函数”.

(1)、函数① $f (x) = x^{- 2}$ ， ② $g (x) = \frac{1}{x}$ 是否为“ $n$ 级 $E$ 函数”，如果是，求出 $n$ 的值，如果不是，请说明理由；

(2)、若函数 $f (x) = |x^{2} - 3 x + t|$ ，求 $x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}$ 的值；

(3)、若函数 $f (x) = x^{2} + x |x + a| (a > 0)$ ，求 $\frac{x_{1}}{x_{2}} + x_{1}$ ， $(x_{2} \neq 0)$ 的取值范围.（用 $a$ 表示）

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19、设函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq 0, b, c \in R)$ .

(1)、若 $f (1) = - a$ ，求证： $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 内存在零点；

(2)、若不等式 $f (x) < 0$ 的解集是 $(- 2, - 1)$ ，且 $x \in [1, 2]$ 时， $f (2^{x}) \leq 4^{x}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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20、设奇函数 $f (x) = \ln |\frac{2 e}{x + 1} - e| + b$ ，（ $e$ 为自然对数的底数， $e \approx 2.71828 \dots$ ）.

(1)、求 $f (x)$ 的定义域和 $b$ ；

(2)、 $x \in (\frac{1 - e}{1 + e}, 1)$ ，求函数 $f (x)$ 的值域.

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