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相关试卷

1、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $A C = 2$ ， $C C_{1} = B C = 1$ ， $A C ⊥ B C$ ，则异面直线CD与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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2、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B$ 为直角，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 为正方形， $A C = B C = 2$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $A B$ ， $A C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $D E //$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、求直线 $A C$ 与平面 $B_{1} D E$ 所成角的正弦值.

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3、某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是 $\frac{3}{4}$ ，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是 $\frac{1}{12}$ ，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是 $\frac{1}{3}$ ，若各家庭回答是否正确互不影响．

(1)、求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；

(2)、求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．

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4、小欣和小敏打算利用节假日在内江游玩，其中4个景点分别是： $A$ “张大千纪念馆”､ $B$ “重龙山”､ $C$ “罗泉古镇”和 $D$ “古宇湖”.他们各自在这4个景点中任意选择一个游览，每个被选择的可能性相同.

(1)、小欣选择 $C$ “罗泉古镇”的概率是多少？

(2)、用画树状图或列表的方法，求小欣和小敏恰好选择同一景点的概率.

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5、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 在 $A_{1} D_{1}$ 上，且 $\vec{A_{1} E} = 2 \vec{E D_{1}}$ ， $F$ 在对角线 $A_{1} C$ 上，且 $\vec{A_{1} F} = \frac{2}{3} \vec{F C}$ .若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{A_{1} C}$ ；

(2)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{E F}$ .

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6、在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 $A B C D$ ， $A B E F$ 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子 $M$ ， $N$ 分别在正方形对角线 $A C$ 和 $B F$ 上移动，且 $C M$ 和 $B N$ 的长度保持相等，记 $C M = B N = a (0 < a < \sqrt{2})$ ，则当 $a =$ 时， $M N$ 的长最小.

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7、如图所示，电路原件 $R_{1}$ ， $R_{2}$ ， $R_{3}$ 正常工作的概率分别为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ，则电路能正常工作的概率为．

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8、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 为面 $A_{1} A B B_{1}$ 的中心， $E$ 、 $F$ 分别为 $B C$ 和 $D_{1} C_{1}$ 的中点，则（）

A、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $A_{1} E F$ B、平面 $A C D_{1}$ 与平面 $A_{1} E F$ 相交 C、点 $O$ 到直线 $D_{1} C_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、点 $O$ 到平面 $A_{1} E F$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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9、已知 $P (A) = 0.5$ ， $P (B) = 0.3$ ，则下列说法中正确的是（）

A、如果 $B \subseteq A$ ，那么 $P (A \cup B) = 0.5$ B、如果 $B \subseteq A$ ，那么 $P (A B) = 0.3$ C、如果 $A, B$ 互斥，那么 $P (A \cup B) = 0.8$ D、如果 $A, B$ 互斥，那么 $P (A B) = 0.15$

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10、已知事件 $A$ 与 $B$ 互斥，它们都不发生的概率为 $\frac{2}{5}$ ，且 $P (A) = 2 P (B)$ ，则 $P (\bar{A}) =$ （）．

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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11、设 $x, y \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 1, 1), \vec{b} = (1, y, 1), \vec{c} = (2, - 4, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}, \vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 等于（　　）

A、2 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、3 D、4

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12、 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为空间的一个基底，且存在实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 使得 $x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c} = 0$ ，则 $x$ ， $y$ ， $z$ 的值分别为（）

A、 $0$ ， $0$ ， $1$ B、 $0$ ， $0$ ， $0$ C、 $1$ ， $0$ ， $1$ D、 $0$ ， $1$ ， $0$

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13、设 $M$ ， $N$ 为两个随机事件，给出以下命题，不正确的是（）

A、若 $P (M) = \frac{1}{2}$ ， $P (N) = \frac{1}{3}$ ， $P (M N) = \frac{1}{6}$ ，则 $M$ ， $N$ 为相互独立事件 B、若 $P (\bar{M}) = \frac{1}{2}$ ， $P (N) = \frac{1}{3}$ ， $P (M N) = \frac{1}{6}$ ，则 $M$ ， $N$ 为相互独立事件 C、若 $P (M) = \frac{1}{2}$ ， $P (\bar{N}) = \frac{1}{3}$ ， $P (M N) = \frac{1}{3}$ ，则 $M$ ， $N$ 为相互独立事件 D、若 $P (M) = \frac{1}{2}$ ， $P (N) = \frac{1}{3}$ ， $P (\bar{M} \cdot \bar{N}) = \frac{5}{6}$ ，则 $M$ ， $N$ 为相互独立事件

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14、若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{a} = (1$ ， $- 2$ ， $3)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (- 3$ ， 6， $- 9)$ ，则（）

A、 $l ⊥ α$ B、 $l // α$ C、 $1 \subset α$ D、 $l$ 与 $α$ 位置关系不确定

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15、已知 $\vec{M A}$ ， $\vec{M B}$ 是空间两个不共线的向量， $\vec{M C} =3 \vec{M A} −2 \vec{M B}$ ，那么必有（）

A、 $\vec{M A}$ ， $\vec{M C}$ 共线 B、 $\vec{M B}$ ， $\vec{M C}$ 共线 C、 $\vec{M A}$ ， $\vec{M B}$ ， $\vec{M C}$ 共面 D、 $\vec{M A}$ ， $\vec{M B}$ ， $\vec{M C}$ 不共面

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16、掷一枚骰子，设事件 $A = {$ 出现的点数不小于5 $}$ ， $B = {$ 出现的点数为偶数 $}$ ，则事件A与事件B的关系是（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $A \cap B = {$ 出现的点数为6 $}$ C、事件A与B互斥 D、事件A与B是对立事件

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17、已知a，b，c分别是 $△ A B C$ 三内角A，B，C所对的三边，且 $a \cos C + \sqrt{3} a \sin C = b + c$ ．

(1)、求A的大小；

(2)、若 $c = 5$ ， $△ A B C$ 的面积为 $10 \sqrt{3}$ ，求a，b；

(3)、求 $\frac{b c - a b - a c}{a^{2}}$ 的取值范围．

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18、已知向量 $\vec{a} = (1, m - 2, n + 3), \vec{b} = (3, 4 m + 1, 2 n - 5)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m + n =$ ．

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19、已知圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} + 6 x - 2 y - 6 = 0$ ，则圆心 $M$ 的坐标和半径 $r$ 分别为（）

A、 $(3, - 1)$ ， $r = 4$ B、 $(3, - 1)$ ， $r = 2$ C、 $(- 3, 1)$ ， $r = 4$ D、 $(- 3, 1)$ ， $r = 2$

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20、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2$ 且 $2 a_{2}$ 是 $a_{3}$ 和 $4 a_{1}$ 的等差中项.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若函数 $\{b_{n}\}$ ，满足 $b_{n} = 2 n + a_{n}^{2} (n \in N^{*})$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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