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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{x + b}{x^{2} + a}$ ，且满足 $f (0) = 0$ ， $f (1) = \frac{1}{5}$ .

(1)、求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $[- 2, 2]$ 上的单调性，并用定义证明.

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2、（1）计算 ${(2 \frac{1}{4})}^{0.5} - {0.75}^{2} + 6^{- 2} \times {(\frac{8}{27})}^{- \frac{2}{3}}$ ；
（2）解不等式 $2 x^{2} - 3 x - 2 < 0$ ；
（3）已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $\frac{a^{2} + a^{- 2} + 3}{a + a^{- 1} - 2}$ 的值.

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + \frac{4}{x}, 0 < x < 4 \\ - x^{2} + 10 x - 20, x \geq 4 \end{array}$ ，若存在 $0 < x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}$ 的取值范围是.

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4、若 $2 < a < 3$ ， $1 < b < 2$ ，则 $a + b$ 的取值范围.

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5、对于定义域为R的函数 $f (x)$ ，若存在非零实数 $x_{0}$ ，使得函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, x_{0})$ 和 $(x_{0}, + \infty)$ 上与 $x$ 轴都有交点，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的一个“界点”，则下列函数中，存在界点的是（）

A、 $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ B、 $f (x) = |x - 2| + 1$ C、 $f (x) = 2^{x} - x^{2}$ D、 $f (x) = 2 x^{2} + x |2 - x|$

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6、已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(2, \frac{1}{2})$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (4) = \frac{1}{8}$ C、函数 $f (x)$ 的值域为 $R$ D、当 $x_{2} > x_{1} > 0$ 时， $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} > f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$

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7、已知集合 $M = \{x \in Z| - 3 < x < 3\}$ ，则下列符号语言表述正确的是（）

A、 $2 \in M$ B、 $0 \subseteq M$ C、 $- π \in M$ D、 $\{0\} \subseteq M$

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8、定义运算： $x * y = x (x + y) (x, y \in R)$ .若关于 $x$ 的不等式 $(x - a) * (1 - 2 x) < 1$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $\{a| - 1 < a < 1\}$ B、 $\{a |- \frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}\}$ C、 $\{a |- \frac{3}{2} < a < \frac{1}{2}\}$ D、 ${a ∣ 0 < a < 2}$

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9、已知 $x > 1$ ，则 $\frac{x^{2} - 3 x + 11}{x - 1}$ 的最小值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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10、下列函数中，既是偶函数，又在 $(0, + \infty)$ 上单调递减的函数是（）

A、 $y = x^{2}$ B、 $y = x$ C、 $y = \frac{2}{x}$ D、 $y = - |2 x|$

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11、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{x| 2 \leq x < 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{2\}$ C、 $\{2, 3\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4\}$

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12、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的一个焦点为 $F (2, 0)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线l： $y = x + m$ 与椭圆C交于A，B两点，若 $△ A B O$ 面积为 $\sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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13、经过 $A (0, 2), B (- 1, 0)$ 两点的直线的方向向量为 $(1, k)$ ，求k的值为．

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14、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 且斜率为2的直线 $l$ 与 $C$ 交于A，B两点，且 $| A B | = 10$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $B$ 作 $x$ 轴的平行线 $B P (P$ 是动点，且异于点 $B)$ ，过点 $F$ 作AP的平行线交 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，证明： $| P A |^{2} = | M N | \cdot | A B |$ ．

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15、在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， $D E ⊥ A B$ 且交AB于点E． $D F // A B$ 且交AC于点F，则 $| 2 \overset{⃑}{B E} + \overset{⃑}{D F} |$ 的值为； $(\overset{⃑}{D E} + \overset{⃑}{D F}) \cdot \overset{⃑}{D A}$ 的最小值为．

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16、如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是矩形， $P B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B =$ $B C = 4$ ， $B P = 3$ ， $C F = \frac{1}{3} C P$ ， $D E = \frac{1}{3} D A$ .

(1)、证明： $E F //$ 平面 $A B P$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $A D F$ 所成角的正弦值.

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17、已知直线 $l : 3 x + 4 y - 1 = 0$ 和点 $P (1, 1)$ .

(1)、求经过点 $P$ ，且与直线 $l$ 平行的直线的方程；

(2)、求经过点 $P$ ，且与直线 $l$ 垂直的直线的方程：

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18、已知空间三点 $A (- 4, 0, 4)$ ， $B (- 2, 2, 4)$ ， $C (- 3, 2, 3)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{B C}$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角．

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19、已知焦点在 $y$ 轴上，且 $a = 5$ ， $b = 3$ ，则：

(1)、求椭圆标准方程；

(2)、求椭圆离心率.

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20、若直线 $l_{1}$ ： $x - y + 3 = 0$ 和 $l_{2}$ ： $x + (a - 2) y - 1 = 0$ 平行，则实数 $a =$ ．

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