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相关试卷

1、已知平面四边形 $A B C D$ ， $A B = A D = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $∠ B C D = 30 °$ ，现将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 边折起，使得平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，此时 $A D ⊥ C D$ ，点 $P$ 为线段 $A D$ 的中点．

(1)、求证： $B P ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、若 $M$ 为 $C D$ 的中点，求 $M P$ 与平面 $B P C$ 所成角的正弦值；

(3)、在（2）的条件下，求二面角 $P - B M - D$ 的平面角的余弦值．

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2、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 4$ ， $A B = A D = 2$ ，点 $M$ 和点 $N$ 在棱 $C C_{1}$ 上，且 $C M = 2 C N = 2$ .

(1)、求证： $A M //$ 平面 $B D N$ ；

(2)、求证： $A_{1} C ⊥ D N$ .

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3、我校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组 $[75$ ， $80)$ ，第2组 $[80$ ， $85)$ ，第3组 $[85$ ， $90)$ ，第4组 $[90$ ， $95)$ ，第5组 $[95$ ， $100]$ ，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．
（1）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；
（2）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？

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4、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$ ， $|\vec{a} + 4 \vec{b}| = 4$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| + |\vec{b}|$ 的最大值为．

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5、如图所示，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C, ∠ A B C = 120^{\circ}, P A = A B = B C = 6$ ，则 $|\vec{P C}| =$ ．

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6、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $△ A C D$ 和 $△ A B C$ 是全等三角形， $A B = A D$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， $A B = 1$ ．下面有两种折叠方法将四边形 $A B C D$ 折成三棱锥．折法①；将 $△ A C D$ 沿着 $A C$ 折起，得到三棱锥 $D_{1} - A B C$ ，如图1．折法②：将 $△ A B D$ 沿着 $B D$ 折起，得到三棱锥 $A_{1} - B C D$ ，如图2．下列说法正确的是（）．

A、按照折法①，三棱锥 $D_{1} - A B C$ 的外接球表面积恒为 $4 π$ B、按照折法①，存在 $D_{1}$ 满足 $A B ⊥ C D_{1}$ C、按照折法②﹐三棱锥 $A_{1} - B C D$ 体积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{8}$ D、按照折法②，存在 $A_{1}$ 满足 $A_{1} C ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ，且此时 $B C$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成线面角正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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7、某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若小明同学在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为 $60 °$ 和 $20 °$ ，且 $B C = a$ 米，则该球体建筑物的高度为（）米．

A、 $\frac{a}{4 \cos 10 °}$ B、 $\frac{a}{2 \cos 10 °}$ C、 $\frac{a \sin 10 °}{2 \sin 40 °}$ D、 $\frac{a \sin 10 °}{\sin 40 °}$

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8、已知圆 $C$ 经过坐标原点，且圆心为 $(2, 0)$ ．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知直线 $l : 3 x + 4 y - 1 = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，求弦长 $|A B|$ 的值；

(3)、过点 $P (4, - 4)$ 引圆 $C$ 的切线，求切线的方程．

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9、若函数 $G$ 在 $m \leq x \leq n (m < n)$ 上的最大值记为 $y_{max}$ ，最小值记为 $y_{min}$ ，且满足 $y_{max} - y_{min} = 1$ ，则称函数 $G$ 是在 $m \leq x \leq n$ 上的“美好函数”.

(1)、函数① $y = x + 1$ ② $y = x^{2}$ ，哪个函数是在 $1 \leq x \leq 2$ 上的“美好函数”，并说明理由；

(2)、已知函数 $G : y = a x^{2} - 2 a x - 3 a (a \neq 0)$ .
①函数 $G$ 是在 $1 \leq x \leq 2$ 上的“美好函数”，求 $a$ 的值；
②当 $a = 1$ 时，函数 $G$ 是在 $t \leq x \leq t + 1$ 上的“美好函数”，求 $t$ 的值.

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x + 1, x \leq 1 \\ - x + 3, x > 1 \end{matrix}$ ，则 $f [f (\frac{5}{2})]$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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11、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 2 (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的零点个数；

(2)、设 $a \geq 2$ ，函数 $g (x) = f (x) - \frac{e^{2 x}}{2} + a e^{x} - 1$ .
（i）判断 $g (x)$ 的单调性；
（ii）若 $g^{'} (m) = g^{'} (n) = 0 (m < n)$ ，求 $g (m) + g (n)$ 的最小值.

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12、已知数列 $\{a_{n + 1} - 2 a_{n}\}$ 是以 $3$ 为首项， $2$ 为公比的等比数列，且 $a_{1} = 1$ .

(1)、证明： $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 是等差数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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13、M是一个动点， $M M_{1}$ 与直线 $y = \frac{\sqrt{5}}{2} x$ 垂直，垂足 $M_{1}$ 位于第一象限， $M M_{2}$ 与直线 $y = - \frac{\sqrt{5}}{2} x$ 垂直，垂足 $M_{2}$ 位于第四象限，且 $\vec{M M_{1}} \cdot \vec{M M_{2}} = \frac{20}{81}$ ．

(1)、求动点M的轨迹方程E；

(2)、设 $A_{1} (- 2, 0)$ ， $A_{2} (2, 0)$ ，过点 $(3, 0)$ 的直线l与曲线E交于A，B两点（点A在x轴上方），P为直线 $A_{1} A$ ， $A_{2} B$ 的交点，当点P的纵坐标为 $\frac{5 \sqrt{10}}{6}$ 时，求直线l的方程．

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14、已知函数 $f (x) = \frac{1 + \ln x}{e^{x}}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (x))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，设 $g (x) = (x^{2} + x) f^{'} (x)$ ．证明：对任意 $x > 0$ ， $g (x) < 1 + e^{- 2}$ ．

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15、某企业为了对一批新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ ，如下表所示：
试销单价x（百元）
1
2
3
4
5
6
产品销量y（件）
91
86
p
78
73
70
附：参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．
参考数据： $\bar{y} = \frac{1}{6} \sum_{i = 1}^{6} y_{i} = 80$ ， $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 1606$ ， $\sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 91$ ．

(1)、求p的值；

(2)、已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（百元）的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ （计算结果精确到整数位）；

(3)、用 ${\hat{y}}_{i}$ 表示用正确的线性回归方程得到的与 $x_{i}$ 对应的产品销量的估计值．当销售数据 $(x_{i}, y_{i})$ 的残差的绝对值 $|{\hat{y}}_{i} - y_{i}| < 1$ 时，则将销售数据称为一个“有效数据”．现从这6组销售数据中任取2组，求“有效数据”个数 $ξ$ 的分布列和期望．

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形ABCD为正方形， $P A ⊥$ 平面ABCD， $A B = P A$ ， F是PB中点，

(1)、求证： $A F ⊥$ 平面PBC；

(2)、求二面角 $P - A C - F$ 的余弦值.

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17、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $∠ A B C$ 的平分线交AC于点D，且 $B D = 2$ ，则 $a + 4 c$ 的最小值为．

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18、已知过原点O的一条直线l与圆C： ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 3$ 相切，且l与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于O，P两点，若 $|O P| = 4$ ，则 $p =$ ．

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19、若 $f (x)$ ＝ $a \sin (x + \frac{π}{4})$ ＋ $3 \sin (x - \frac{π}{4})$ 是偶函数，则实数a＝．

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20、正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 1$ ，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ，其中 $λ \in [0, 1]$ ， $μ \in [0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ = 0$ ， $μ = 1$ 时， $A P$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ B、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$ ，使得 $A_{1} P ⊥ B P$ C、当 $λ = 1$ ， $μ = \frac{1}{2}$ 时，平面 $A B_{1} P ⊥$ 平面 $A_{1} A B$ D、若 $|A P| = 1$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为 $\frac{π}{2}$

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试销单价x（百元）	1	2	3	4	5	6
产品销量y（件）	91	86	p	78	73	70