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相关试卷

1、下列命题是真命题的有（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} < x$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} < x$ C、 $\exists x \in Q$ ， $x^{2} - 3 = 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 > 0$

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (1 - 2 a) x + 3 a, x < 1 \\ x - \frac{1}{x}, x \geq 1 \end{array}$ 的值域为 $R$ ，那么 $a$ 的取值可以是（）

A、0 B、 $- 1$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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3、如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3$ ， $A A_{1} = 4$ ， $P$ 是侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内的动点，且 $A P ⊥ B D_{1}$ ，记 $A P$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成的角为 $θ$ ，则 $\tan θ$ 的最大值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、2 D、 $\frac{25}{9}$

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4、如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 被平面 $α$ 所截，截面为CDEF，且 $E F = D C$ ， $D C = 2 A D = 4 A_{1} E = 2$ ， $∠ A D C = \frac{π}{3}$ ，平面EFCD与平面ABCD所成角的正切值为 $\frac{4}{3} \sqrt{3}$ ．

(1)、证明： $A D // B C$ ；

(2)、求直线DE与平面 $A A_{1} F$ 所成角的正弦值．

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5、在平面直角坐标系xOy中，圆C过 $A (1, 0)$ 和 $B (- 1, 2)$ ，且圆心在直线 $l : 2 x + y + 2 = 0$ 上；

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、在（1）的条件下，过点 $P (3, - 4)$ 分别作圆C的两条切线 $P Q$ ， $P R$ （Q，R为切点），求直线 $Q R$ 的方程，并求弦长 $| Q R |$ .

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6、如图，在异面直线m，n上分别取点A，B和C，D，使 $A B = 2, C D = 4, B D = 6$ ，且 $A C ⊥ m, A C ⊥ n$ ，若 $⟨\vec{A B}, \vec{C D}⟩ = \frac{π}{3}$ ，则线段AC的长为.

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7、已知直线 $l_{1} : a x - 3 y + 1 = 0, l_{2} : x - b y + 2 = 0$ ，则（）

A、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $\frac{a}{b} = - 3$ B、若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a b = 3$ C、若 $l_{1}$ 与坐标轴围成的三角形面积为1，则 $a = \pm \frac{1}{6}$ D、当 $b < 0$ 时， $l_{2}$ 不经过第一象限

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8、已知 $z i = 4 - 3 i$ ，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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9、 $\vec{a} = (3, m, 2), \vec{b} = (n - \frac{1}{2}, 2, 1)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ 则 $m + 2 n =$ （）

A、6 B、7 C、8 D、9

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10、已知圆 $C : {(x - a)}^{2} + {(y - 2 + a)}^{2} = 1$ ，点 $A (3, 0)$ ， $O$ 为坐标原点.

(1)、若 $a = 1$ ，求圆 $C$ 过 $A$ 点的切线方程；

(2)、若圆 $C$ 与直线 $x + y - 1 = 0$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，点 $E$ 为线段 $M N$ 中点，直线 $O E$ 的斜率为 $- \frac{7}{5}$ ，求 $△ M O N$ 的面积；

(3)、若圆 $C$ 上存在点 $P$ ，满足 $|O P| = 2 |A P|$ ，求 $a$ 的取值范围.

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11、如图，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $A B // C D$ ， $P Q // C D$ ， $A D = C D = D P = 2 P Q = 2 A B = 2$ ， $Q B = 2 \sqrt{2}$ ，点 $E$ ， $F$ ， $M$ 分别为 $A P$ ， $C D$ ， $B Q$ 的中点.

(1)、求证： $E F //$ 平面 $C P M$ ；

(2)、求平面 $Q P M$ 与平面 $C P M$ 夹角的正弦值；

(3)、若 $N$ 为线段 $C Q$ 上的点，且直线 $D N$ 与平面 $Q P M$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ ，求 $N$ 到平面 $C P M$ 的距离.

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12、已知直线 $l$ 的方程为： $(2 m + 1) x + (m + 1) y - 7 m - 4 = 0$ .

(1)、求证：不论 $m$ 为何值，直线必过定点 $M$ ；

(2)、过点 $M$ 引直线 $l_{1}$ 交坐标轴正半轴于 $A 、 B$ 两点，当 $△ A O B$ 面积最小时，求 $△ A O B$ 的周长.

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13、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 = 0$ ， $P$ 为直线 $l : x + y + 2 = 0$ 上一点，过点 $P$ 作圆 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A$ 和 $B$ ，则四边形 $P A C B$ 的面积的最小值为.

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14、已知向量 $\vec{a} = (4, 3, 2)$ ， $\vec{b} = (1, - 1, 1)$ ，则 $|\vec{a} - 2 \vec{b}| =$ .

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15、过点 $A (3, 1)$ ，且与直线 $2 x + y - 5 = 0$ 垂直的直线方程是.

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16、已知曲线 $y = 1 + \sqrt{4 - x^{2}}$ 与直线 $y = k (x - 2) + 4$ 有两个相异的交点，那么实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{5}{12}, \frac{4}{3})$ B、 $(\frac{5}{12}, \frac{3}{4}]$ C、 $(\frac{5}{12}, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{6}, \frac{7}{12})$

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17、过三点 $A (1, 3), B (4, 2), C (1, - 7)$ 的圆交于 $y$ 轴于 $M, N$ 两点，则 $|M N|$ ＝（）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、8 C、 $4 \sqrt{6}$ D、10

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18、已知点 $P (0, - 1)$ 关于直线 $x - y + 1 = 0$ 对称的点 $Q$ 在圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} + m x + 4 = 0$ 上，则 $m =$ （）

A、4 B、 $\frac{9}{2}$ C、 $- 4$ D、 $- \frac{9}{2}$

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19、已知 $a = \sin 1$ ， $b = 2^{2 \sin 1}$ ， $c = \log_{2} (\sin 1)$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

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20、已知角 $α$ 的终边过点 $P (3, - 3 \sqrt{2})$ ，则 $sin (α + \frac{π}{2}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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