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相关试卷

1、已知平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = - 3$ .

(1)、求 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量（结果用 $\vec{b}$ 表示）；

(2)、求 $cos ⟨\vec{a}, \vec{a} + \vec{b}⟩$ ；

(3)、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c} = 2$ ，求 $|\vec{c}|$ .

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2、在 $△ A B C$ 中， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别为 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边，满足 $a^{2} + b^{2} = c^{2} - a b$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点.

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $a = 3$ ， $b = 4$ ，求线段 $C D$ 的长度.

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3、已知实数 $m$ 、 $n$ 满足 $\frac{m^{2}}{8} - 2 n^{2} = 3$ ，则 $m^{2} + m n$ 的最小值为.

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4、命题“ $\forall x \in [1, 2]$ ， $x^{2} + ln x - 2 a \leq 0$ 为假命题”，则实数 $a$ 的取值范围为.

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5、有一组数据： $5$ 、 $7$ 、 $10$ 、 $9$ 、 $8$ .则其第 $60$ 百分位数为.

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6、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，以下说法正确的是（）

A、若点 $P$ 为正方形 $B C C_{1} B_{1}$ 内部及边界上的动点，且满足 $D_{1} P = \sqrt{10}$ ，则动点 $P$ 的轨迹长度是 $\frac{π}{2}$ B、若点 $P$ 为正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内部及边界上任意一点，则存在点 $P$ 使得点 $B$ ， $D_{1}$ 到平面 $P A C$ 的距离之和等于 $\frac{1}{2} B D_{1}$ C、若点 $P$ 在正方体的内切球表面上运动，且 $B P ∥$ 面 $A C D_{1}$ ，则 $B P$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、若点 $P$ 满足 $P A_{1}^{2} + P C_{1}^{2} = P B^{2} + P D^{2}$ ，则动点 $P$ 构成的平面截三棱锥 $C_{1} - A_{1} B D$ 所得截面的面积为 $\frac{9}{2}$

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7、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f ({log}_{3} x) = x^{2} - 4 x + 3$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的解析式为 $f (x) = 9^{x} - 4 \times 3^{x} + 3$ B、函数 $f (x)$ 图象的对称轴为直线 $x = 2$ C、函数 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[{log}_{3} 2, + \infty)$ D、函数 $|f (x)|$ 在 $[\frac{1}{2}, 1]$ 上的最大值为 $4 \sqrt{3} - 6$

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8、下列说法正确的是（）

A、经验回归方程为 $\hat{y} = 0.1 - 0.7 x$ 时，变量 $x$ 与变量 $y$ 成正相关 B、在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C、若随机变量 $X \sim N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X \geq 3) = 0.3$ ，则 $P (1 \leq X \leq 2) = 0.2$ D、已知随机事件 $A$ 、 $B$ ，若 $P (A) = \frac{3}{7}$ ， $P (B |A) = \frac{8}{9}$ ，则 $P (A B) = \frac{8}{21}$

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9、记函数 $m (x) = \{\begin{array}{l} f (x), f (x) \leq g (x) \\ g (x), f (x) > g (x) \end{array}$ .已知函数 $f (x) = - x^{3} - t x + e^{2} - t$ ， $g (x) = e^{2 x} - t x - (t + 1)$ ， $t \in R$ ，若 $m (x)$ 有且只有 $3$ 个零点，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{e^{2} - 1}{2}, + \infty)$ B、 $[0, \frac{e^{2}}{2}]$ C、 $(- \infty, - \frac{e^{2}}{2}]$ D、 $(0, \frac{e^{2} - 1}{2})$

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10、已知函数 $f (x) = 2 sin ω x \cdot cos ω x + 2 {sin}^{2} ω x (ω > 0)$ 在 $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{8}]$ 上单调递减，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 4]$ B、 $[\frac{3}{2}, \frac{7}{3}]$ C、 $[\frac{4}{3}, \frac{3}{2}]$ D、 $[\frac{9}{4}, \frac{7}{3}]$

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11、甲、乙、丙、丁、戊五位同学课间玩“击鼓传花”游戏.第1次由甲传给乙、丙、丁、戊四人中的任意一人，第2次由持花者传给另外四人中的任意一人，往后依此类推，经过4次传花，花仍回到甲手中，则传法总数为（）

A、36 B、48 C、52 D、64

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12、若 $p : a = 2$ ， $q :$ 函数 $f (x) = (x + a - 2) (x^{2} + a - 1)$ 为 $R$ 上的奇函数，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、既不充分也不必要条件 D、充要条件

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13、 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{4}$ 展开式中常数项为（）

A、48 B、 $- 48$ C、24 D、 $- 24$

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14、已知 $tan (x + π) = \sqrt{3}$ ，则 $\frac{1}{{cos}^{2} x} =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $4$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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15、设集合 $A = \{x |0 \leq x < 4\}$ ， $B = \{x |- 1 \leq x < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, 4)$ B、 $(0, 2)$ C、 $[- 1, 4)$ D、 $[0, 2)$

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16、如图，在 $△ A B C$ 中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点 $O$ .若 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A C} = 6 \overset{⇀}{A O} \cdot \overset{⇀}{E C}$ ，则 $\frac{A B}{A C}$ 的值是.

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17、已知点 $F (1, 0)$ 和直线 $l$ ： $x = 2$ ，点 $P$ 到 $l$ 的距离 $d = \sqrt{2} |P F|$ ，记点 $P$ 的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、过点 $Q (2, 0)$ 作斜率不为0的直线与曲线 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 不同的两点，再过点 $F (1, 0)$ 作直线 $A B$ 的平行线与曲线 $E$ 交于不同的两点 $C$ ， $D$ .
①证明： $\frac{|Q A| |Q B|}{|F C| |F D|}$ 为定值；
②求 $△ Q C D$ 面积的取值范围.

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18、在 $△ A B C$ 中， $a cos B + b cos A = 4 c cos A$ ．

(1)、求 $cos A$ 的值；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{10}$ ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 $△ A B C$ 存在，求 $B C$ 边上的高．
条件①： $B = \frac{3π}{4}$ ；
条件②： $b = 6$ ；
条件③： $cos C = \frac{\sqrt{10}}{4}$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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19、在 ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{4}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数等于（）

A、6 B、12 C、18 D、24

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20、玻璃的透光性是玻璃的一项重要的性能指标．某玻璃厂在进行产品的性能测试时，发现光线通过一块玻璃，强度要损失10%．设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后，光线强度为 $y = k \cdot {0.9}^{x}$ ，要使光线削弱为原来的 $\frac{1}{5}$ ，至少需要通过几块这样的玻璃？（已知 $lg 3 \approx 0.477$ ， $lg 2 \approx 0.301$ ）（）

A、13 B、14 C、15 D、16

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