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相关试卷

1、记首项为1的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = (n + 1) a_{n}$ .

(1)、探究数列 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 是否为单调数列；

(2)、求数列 $\{a_{n} \cdot 2^{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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2、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + \cos 2 x, x \in (0, π)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{12}, m]$ 上的最小值为 $- 2$ ，求 $m$ 的取值范围.

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3、已知 $P$ 为边长为4的正六边形ABCDEF内部及其边界上的一点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B}$ 的取值范围是.

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4、设函数 $f (x) = e^{x} - n x + n^{2}, n \in N_{+}$ ，记 $f (x)$ 的最小值为 $a_{n}$ ，则（）

A、 $a_{1} > a_{2} - 2$ B、 $a_{n} \geq n + 1$ C、 $f (a_{n}) > f (n)$ D、 $a_{n + m} > a_{n} + a_{m}$

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5、三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ，设AB的中点为 $E, A A_{1}$ 的中点为 $F, A_{1} E$ 与BF交于点 $G, A_{1} C$ 与 $C_{1} F$ 交于点 $H$ ，则（）

A、直线GH与直线 $B B_{1}$ 异面 B、 $G H / / B C_{1}$ C、线段AE上存在点 $P$ ，使得 $B C_{1} / /$ 平面 $A_{1} P C$ D、线段BE上存在点 $P$ ，使得 $B C_{1} / /$ 平面 $A_{1} P C$

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6、 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b \cos C + c \cos B = 2, A = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的内切圆半径的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $1$

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7、已知函数 $f (x) = \ln \frac{x + 1}{x + m} + 2 x (m \neq 1)$ 关于点 $(n, 4)$ 中心对称，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(n - m$ ， $f (n - m))$ 处的切线斜率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{7}{4}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{13}{8}$

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8、经研究表明：光源发射出来的粒子在没有被捕获之前属于光子，光子在离开光源后会与各种粒子撞击，其动量可能会改变，导致其速度降低，最终可能改变身份成为其他范围的粒子（如红外线粒子），不再能被人类的感光设备捕获.已知在某次光学实验中，实验组相关人员用人类感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子 $A$ ， $B$ ，通过数学建模与数据分析得知，此时刻在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为 $\vec{s_{A}} = (4, 3), \vec{s_{B}} = (2, 10)$ ，设光子 $B$ 相对光子 $A$ 的位移为 $\vec{s}$ ，则 $\vec{s}$ 在 $\vec{s_{A}}$ 上的投影向量的坐标为（）

A、 $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ B、 $(- 2, 7)$ C、 $(\frac{52}{25}, \frac{39}{25})$ D、 $(\frac{4}{25}, \frac{3}{25})$

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9、已知 $\sin (θ + 10^{°}) = - \frac{1}{4}$ ，则 $\sin (2 θ + 110^{°}) =$ （）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $- \frac{1}{8}$ D、 $- \frac{7}{8}$

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10、“ $2025^{a} > 2025^{b} \geq 1$ ”是“ $a^{3} > b^{3}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、已知 $z = \frac{3 - i}{1 + 2 i}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{7}{5}$ B、 $- \frac{7}{5}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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12、设集合 $A = {x ∣ - 4 \leq x \leq 0}, B = {x ∣ - 3 \leq x \leq 1}$ ，则集合 $A \cap B$ 中所含整数的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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13、已知 $x \in [0, \frac{π}{4}], sin x + cos x = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $tan (x - \frac{3 π}{4}) =$ ．

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14、如图所示，在四棱锥 $D - A B C E$ 中，底面 $A B C E$ 为梯形，且满足 $A B // C E$ ， $∠ B C E = 90^{\circ}$ ， $A B = 2 B C$ $= 2 C E = 2 D E = 2 A D$ ，平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C E$ .
（1）求证： $A D ⊥ B E$ ；
（2）求直线 $A C$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值.

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15、已知函数 $f (x) = e^{x} [x^{2} + (2 a - 5) x - 8 a + 5] (a \in R)$ ．
（1）当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；
（2）当 $x \in [0, 2]$ 时，若不等式 $f (x) \geq 2 e^{2}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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16、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A C = B C = C C_{1} = 2$ ， $A_{1} B ⊥ B_{1} C$ .
（Ⅰ）证明： $A_{1} C_{1} ⊥ C C_{1}$ ；
（Ⅱ）若 $A_{1} B = 2 \sqrt{3}$ ，在棱 $C C_{1}$ 上是否存在点 $E$ ，使得二面角 $E - A B_{1} - C$ 的大小为 $30^{\circ}$ ，若存在，求 $C E$ 的长，若不存在，说明理由.

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17、已知二次函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ ，非空集合 $A = \{x | 0 \leq x \leq a\}$ .

(1)、当 $x \in A$ 时，二次函数的最小值为 $- 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当__________时，求二次函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ 的最值以及取到最值时 $x$ 的取值.
在① $a = 1$ ， ② $a = 4$ ， ③ $a = 5$ ，这三个条件中任选一个补充在（2）问中的横线上，并求解.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

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18、设 $A = \{x |x^{2} - (a + 1) x + a < 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 3 x - 10 < 0\}$ ，若 $A \subseteq B$ ，求实数a的取值范围.

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19、阅读材料：空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个法向量为 $\overset{⃑}{n} = (a, b, c)$ 的平面 $α$ 的方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ；过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个方向向量为 $\overset{⃑}{d} = (u, v, w) (u v w \neq 0)$ 的直线 $l$ 的方程为 $\frac{x - x_{0}}{u} = \frac{y - y_{0}}{v} = \frac{z - z_{0}}{w}$ ．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面 $α$ 的方程为 $3 x - 5 y + z - 7 = 0$ ，直线 $l$ 是平面 $x - 3 y + 7 = 0$ 与 $4 y + 2 z + 1 = 0$ 的交线，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为.

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20、已知一元二次方程 $x^{2} + m x - 2 = 0$ 的一个根为2，那么另一根为； $m$ 的值为．

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