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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - x \ln x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、证明： $f (x) > 0$ .

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2、某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具体情况如下：
出行方式
地铁
公交车
出租车
自驾
骑行
步行
频数
54
27
38
42
18
21
用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行：

(1)、若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为 $X$ ，求 $P (X = 2)$ 和 $E (X)$ ；

(2)、据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率.

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3、已知点 $F$ 为椭圆 $E : \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点，直线 $l$ 与椭圆相交于 $A$ ， $B$ 两点，且与圆 $O : x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 在 $y$ 轴右侧相切.若 $l$ 经过点 $F$ 且垂直于 $x$ 轴，则 $| A B | =$ ；若 $l$ 没有经过点 $F$ ，则 $△ A B F$ 的周长为.

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4、若函数 $f (x) = x^{2} + \frac{4}{x^{2} + 1}$ 的图象与直线 $y = a$ 有两个交点，则 $a$ 的最小值为.

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5、在 $△ A B C$ 中， $∠ A = \frac{π}{3}$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $A B = 1$ ，则 $∠ C =$ .

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6、已知函数 $f (x) = | x - 1 | + | x - a | + \ln x (a > 0)$ ，则（）

A、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 上的最大值为 $1 - \ln 2$ B、 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增 C、当 $x > a$ 时， $f (x) > 0$ D、当且仅当 $a \in (\ln 2, 1)$ 时，曲线 $y = f (x)$ 与 $x$ 轴有三个交点

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7、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $4 S_{5} - 5 S_{4} = 20, a_{6} = 1$ ，则（）

A、 $a_{1} = - 11$ B、 $S_{9} = - 9$ C、当 $n = 5$ 时， $S_{n}$ 取得最小值 D、记 $b_{n} = a_{2 n}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $2 n^{2} - 9 n$

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8、已知复数 $z$ 满足 $| z | = 2$ ，则（）

A、 $z$ 可以是 $- 1 + \sqrt{3} i$ B、若 $z$ 为纯虚数，则 $z$ 的虚部是2 C、 $z \bar{z} = 4$ D、 $| z + 1 |_{\min} = \frac{1}{2}$

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9、已知函数 $f (x) = \cos (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $- \frac{π}{2} < φ < 0$ ）， $|f (- \frac{π}{6})| = 1$ ， $f (\frac{π}{6}) = 0$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{24})$ 上单调，则 $ω$ 的最大值为( ).

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{21}{2}$ C、 $\frac{33}{2}$ D、 $\frac{45}{2}$

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10、设全集 $U = M \cup N = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $N = \{1, 2\}$ ，则 $M \cap ∁_{U} N =$ （）

A、 ${3, 4}$ B、 ${3}$ C、 ${4}$ D、 $\emptyset$

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11、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，动直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相切于点 $P$ ，且点 $P$ 在第一象限．

(1)、若直线 $l$ 的斜率为 $- 1$ ．求点 $P$ 的坐标；

(2)、若过原点 $O$ 的直线 $l_{1}$ 与 $l$ 垂直，垂足为 $Q$ ，求 $△ O P Q$ 面积的最大值．

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12、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为等腰梯形， $A D / / B C, ∠ B A D = \frac{π}{4}$ ， $A D = 2 B C = 2 P B = 4, A P ⊥ C D .$

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $A P B$ ；

(2)、若四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $2$ ，求二面角 $D - P C - B$ 的平面角的余弦值

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13、在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 120 °, A B = \sqrt{2}$ ，点 $E$ 在 $B C$ 上且满足 $\frac{A B}{A C} = \frac{B E}{E C}$ ，且 $A E = \sqrt{3}$

(1)、求 $∠ B A E$ ；

(2)、若 $∠ A D C = 60 °$ ，求四边形 $A B C D$ 周长的最大值

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14、已知直线 $l : x + y - 1 = 0$ ．

(1)、若直线 $l_{1} : (2 m + 1) x + (m^{2} - 2) y = 3 m + 2$ 与直线 $l$ 平行，求 $m$ 的值；

(2)、若圆 $C : x^{2} + y^{2} + 4 x + 4 y + 5 = 0$ 关于直线 $l$ 的对称图形为曲线 $Γ$ ，直线 $l_{2}$ 过点 $P (2, 2)$ ，求曲线 $Γ$ 截直线 $l_{2}$ 所得的弦长的最小值．

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15、棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为 $△ A_{1} B D$ 内一点，且 $A P = \sqrt{3}$ ，则 $B P + C_{1} P$ 的最小值为．

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16、已知点 $F$ 为抛物线 $y^{2} = x$ 的焦点，则点 $F$ 坐标为．

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17、数学家伯努利仿照椭圆的定义，找到了一种新的曲线：伯努利双纽线．他是这样定义双纽线的：设两个定点 $F_{1} (- a, 0), F_{2} (a, 0) (a > 0)$ ，动点 $P$ 到 $F_{1}, F_{2}$ 的距离之积为的点的轨迹．则下列说法正确的是（）

A、双纽线有对称中心和对称轴 B、双纽线的方程是 ${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 2 a^{2} (x^{2} - y^{2})$ C、 $|P F_{1}| + |P F_{2}|$ 的最大值为 $2 a$ D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\frac{a^{2}}{2}$

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18、已知样本数据是两两不同的四个自然数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，且样本的平均数为4，方差为5，则该样本数据中（）

A、众数为4 B、上四分位数为6 C、中位数为4 D、最小值为1

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19、已知圆 $O_{1} : x^{2} + y^{2} = 2$ 与圆 $O_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 3 = 0$ 交于 $M, N$ 两点，则（）

A、两圆半径相同 B、两圆有3条公切线 C、直线 $M N$ 的方程是 $4 x - 2 y + 5 = 0$ D、线段 $M N$ 的长度是 $\sqrt{3}$

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20、设 $f (x) = {(x - 8)}^{2} \sin ω x$ ，若存在 $a \in R$ ，使 $f (x + a)$ 为偶函数，则 $ω$ 可能的值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{8}$ C、 $\frac{π}{16}$ D、 $\frac{π}{32}$

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出行方式	地铁	公交车	出租车	自驾	骑行	步行
频数	54	27	38	42	18	21