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相关试卷

1、“九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用 $2 n - 1 (n \geq 2, n \in N^{*})$ 局 $n$ 胜的单败淘汰制，即先赢下 $n$ 局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ .

(1)、若 $n = 2$ ，设比赛结束时比赛的局数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望；

(2)、现有两种赛制：赛制一：采用3局2胜制，赛制二：采用5局3胜制，乙选手要想获胜概率大，应选哪种赛制？并说明理由.

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2、在 $△ A B C$ 中，角A， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 4 \cos C$ ．且 $\tan B \tan A + \tan B \tan C = \tan A \tan C$ ，则 $\cos A =$ ．

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3、已知点 $A, B, C, D$ 为平面内不同的四点，若 $\vec{B D} = 2 \vec{D A} - 3 \vec{D C}$ ，且 $\vec{A C} = (- 2, 1)$ ，则 $\vec{A B} =$

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 2} = a_{n + 1} + 2 a_{n}$ ，若 $a_{1} = a_{2} \neq 0$ ，则（）

A、 $\{a_{n + 1} - 2 a_{n}\}$ 是等比数列 B、 $\{a_{n + 2} - a_{n}\}$ 是等比数列 C、 $\{S_{n + 1} - 2 S_{n}\}$ 是等差数列 D、 $\{a_{2 n + 1} - S_{2 n}\}$ 是等差数列

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5、如图，在边长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是棱B₁C₁ ， C₁D₁的中点，P是正方形A₁B₁C₁D₁内的动点，则下列结论正确的是（）

A、若DP∥平面CEF，则点P的轨迹长度为 $2 \sqrt{2}$ B、若AP= $\sqrt{17}$ ，则点P的轨迹长度为 $2 π$ C、若AP= $\sqrt{17}$ ，则直线AP与平面CEF所成角的正弦值的最小值是 $\frac{2 \sqrt{17}}{17}$ D、若Р是棱A₁B₁的中点，则三棱锥 $P - C E F$ 的外接球的表面积是 $41 π$

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6、若 $a < b < 0$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $a b > b^{2}$ C、 $a + b > 2 \sqrt{a b}$ D、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} > 2$

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7、已知四面体 $A B C D$ 的各个面均为全等的等腰三角形，且 $C A = C B = 2 A B = 4$ .设 $E$ 为空间内一点，且 $A, B, C, D, E$ 五点在同一个球面上，若 $A E = 2 \sqrt{3}$ ，则点 $E$ 的轨迹长度为（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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8、已知在四边形 $A B C D$ 中， $A C = 2 B C = 2$ ， $∠ A C B = ∠ A C D = \frac{π}{6}$ ， $∠ A D C = \frac{2 π}{3}$ ，则 $B D$ 的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{21 - 2 \sqrt{3}}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{21 - 6 \sqrt{3}}}{3}$

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项是1，其前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = a_{n} + 2 n + 1$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的值及数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若存在实数 $λ$ ，使得关于 $n$ 的不等式 $λ + S_{n} \leq 25 n$ ， $n \in N^{*}$ 有解，求实数 $λ$ 取到最大值时 $n$ 的值.

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10、现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）.记 $A_{i} (i = 1, 2, 3)$ 表示第 $i$ 号箱子有奖品， $B_{j} (j = 2, 3)$ 表示主持人打开第 $j$ 号箱子.则下列说法正确的是（）

A、 $P (B_{3} ∣ A_{2}) = \frac{1}{2}$ B、 $P (A_{1} ∣ B_{3}) = \frac{1}{3}$ C、若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大 D、若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变

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11、已知 $△ A B C$ 的外接圆圆心为 $O$ ，且 $2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}, |O A| = |A B|$ ，则向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{B C}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{B C}$

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12、双曲线的另一种定义：动点 $M (x, y)$ 与定点 $F (c, 0)$ 的距离和它与定直线 $l$ ： $x = \frac{a^{2}}{c}$ 的距离的比是常数 $\frac{c}{a} (0 < a < c)$ ，则点 $M$ 的轨迹是一个双曲线.动点 $M$ 与定点 $F (\sqrt{3}, 0)$ 的距离和它与定直线 $l$ ： $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 的距离的比是 $\sqrt{3}$ ，则点 $M$ 的轨迹方程为（）

A、 $\frac{y^{2}}{2} - x^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ D、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{2} = 1$

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13、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ， $B = \{x ∣ x^{2} \in A\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{1, 2, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

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14、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $∠ B = 45^{\circ}, A B = 3 \sqrt{2}, B C = 6$ ，且 $\vec{A D} = \frac{1}{6} \vec{B C}$ ，若 $M, N$ 是线段 $B C$ 上的动点，且 $|\vec{M N}| = 1$ ，则 $\vec{D M} \cdot \vec{D N}$ 的取值范围为.

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15、已知 $f (x) = x^{2} - (a + 1) x + a$ ．

(1)、若 $f (x) > - \frac{1}{4}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、求不等式 $f (x) > 0$ 的解集．

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16、圆 $C_{1} : {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 3$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 3$ 的位置关系是（）

A、相交 B、外切 C、内切 D、相离

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17、圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 6 = 0$ 的圆心和半径分别是（）

A、 $(- 1, - 2)$ ， $11$ B、 $(- 1, 2)$ ， $11$ C、 $(- 1, - 2)$ ， $\sqrt{11}$ D、 $(- 1, 2)$ ， $\sqrt{11}$

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18、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2\}, B = {x ∣ - 1 < x \leq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1\}$ B、 $\{- 1, 1\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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19、17世纪80年代，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卵形线，我们称之为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知两定点 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ ，动点 $P (x, y)$ 满足 $|P F_{1} |\cdot| P F_{2}| = 3$ ，动点P的轨迹为曲线E，直线 $y = k x + b$ 与曲线E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 $k_{0} .$

(1)、求曲线E的方程；

(2)、求 $|O P|$ 的取值范围；

(3)、求证： $- \frac{3}{5} < k \cdot k_{0} < - \frac{1}{3} .$

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20、已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线方程为 $x = - 1$ ，直线 $l : x = m y + 3$ 交抛物线 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、若 $|A B| = 4 \sqrt{15}$ ，求 $m$ 的值；

(3)、若抛物线 $E$ 上存在两点 $C$ ， $D$ 关于直线 $l$ 对称，求 $m$ 的取值范围.

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