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相关试卷

1、FISS足球世界杯是很受全球高中生欢迎的足球赛事，中国成功获得国际中体联足球世界杯2024，2026，2028年主办权，经过大连市的积极申办，教育部正式推荐，大连最终成为2024年国际中体联足球世界杯承办地．筹备期间组委会委托A工厂生产某种纪念品，生产该纪念品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为 $P (x)$ 万元，在年产量不足9万件时， $P (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ （万元），在年产量不小于9万件时， $P (x) = 11 x + \frac{100}{x} - 53$ （万元），每件纪念品售价为10元，通过市场分析，此纪念品当年能全部售完．

(1)、写出年利润 $L (x)$ （万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）

(2)、年产量为多少万件时，该工厂在这一纪念品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

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2、已知集合 $A = \{x |- 2 < x < 8\}$ ， $B = \{x |m - 3 < x < 3 m - 1\}$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数m的取值范围．

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3、已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ ．

(1)、证明： $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、证明： $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的单调性，并求 $f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上的值域．

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4、函数 $f (x) = \frac{2 x + x^{3}}{x^{2} + 1} + 1 + a$ 在 $[- 2024, 2024]$ 上的最大值与最小值的和为2024，则 $a =$ .

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5、若函数 $f (x) = a x^{2} + 1$ 是定义在 $[- 1 - a, 2 a]$ 上的偶函数，则 $f (a) =$ ．

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6、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $\{x |- 2 < x < 3\}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a > 0$ B、不等式 $a x + c > 0$ 的解集为 $\{x |x < 6\}$ C、 $a + b + c < 0$ D、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 $\{x |- \frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}\}$

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7、中国古代重要的数学著作 $《$ 孙子算经 $》$ 下卷有题：今有物，不知其数 $.$ 三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二 $.$ 问：物几何？现有如下表示：已知 $A = \{x |x = 3 n + 2, n \in N^{*}\}$ ， $B = \{x |x = 5 n + 3, n \in N^{*}\}$ ， $C = \{x |x = 7 n + 2, n \in N^{*}\}$ ，若 $x \in A \cap B \cap C$ ，则下列选项中符合题意的整数 $x$ 为

A、 $8$ B、 $127$ C、 $37$ D、 $23$

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8、若 $a, b, c \in R$ ，则“ $a c = b c$ ”是“ $a = b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} x - 5, (x \geq 6) \\ f (x + 2), (x < 6) \end{array}$ ，则 $f (3) =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10、下列结论正确的是

A、若 $a c > b c$ ，则 $a > b$ B、若 $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ ，则 $a < b$ C、若 $a > b, c < 0$ ，则 $a + c < b + c$ D、若 $a^{2} > b^{2}$ ，则 $a > b$

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11、 $\exists x_{0} \in R, x_{0}^{2} - x_{0} + 1 \leq 0$ 的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \in R, x_{0}^{2} - x_{0} + 1 > 0$ B、 $\exists x_{0} \notin R, x_{0}^{2} - x_{0} + 1 \leq 0$ C、 $\forall x \in R, x^{2} - x + 1 \leq 0$ D、 $\forall x \in R, x^{2} - x + 1 > 0$

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12、已知 $O$ 为坐标原点， $A (1, 0), B (0, 7)$ .若动点 $P$ 满足 $|P A| = \sqrt{2} |P O|, |P B| = a$ ，则正数 $a$ 的最大值为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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13、在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $B D = \sqrt{3}$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点，沿 $B D$ 将 $△ B C D$ 翻折至 $△ B C^{'} D$ 的位置，使得平面 $B C^{'} D ⊥$ 平面 $A B D$ ， $F$ 为 $C^{'} D$ 的中点，则异面直线 $E F$ 与 $A C^{'}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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14、飞行棋是大家熟悉的棋类游戏，玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投掷出 $6$ 点时，飞机才能起飞.并且掷得 $6$ 点的游戏者可以连续投掷骰子，直至显示点数不是 $6$ 点.飞机起飞后，飞行步数即骰子向上的点数.

(1)、求甲玩家第一轮投掷中，投郑次数 $X$ 的均值 $E (X) = \sum_{k = 1}^{\infty} k P (k) = \lim_{n \to \infty} (\sum_{k = 1}^{n} k P (k))$ ）

(2)、对于两个离散型随机变量 $ξ$ 、 $η$ ，我们将其可能出现的结果作为一个有序数对，类似于离散型随机变量的分布列，我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布：
（记 $p (ξ = x_{i}) = p_{1} (x_{i}) = \sum_{j = 1}^{m} p (x_{i}, y_{j})$ ， $p (η = y_{j}) = p_{2} (y_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} p (x_{i}, y_{j})$ ）
$ξ$
$η$
$x_{1}$
$x_{2}$
$\dots$
$x_{n}$

$y_{1}$
$p (x_{1}, y_{1})$
$p (x_{2}, y_{1})$
$\dots$
$p (x_{n}, y_{1})$
$p_{2} (y_{1})$
$y_{2}$
$p (x_{1}, y_{2})$
$p (x_{2}, y_{2})$
$\dots$
$p (x_{n}, y_{2})$
$p_{2} (y_{2})$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$y_{m}$
$p (x_{1}, y_{m})$
$p (x_{2}, y_{m})$
$\dots$
$p (x_{n}, y_{m})$
$p_{2} (y_{m})$

$p_{1} (x_{1})$
$p_{1} (x_{2})$
$\dots$
$p_{1} (x_{n})$
$1$
若已知 $ξ = x_{i}$ ，则事件 $\{η = y_{j}\}$ 的条件概率为 $P \{η = y_{j} |ξ = x_{i}\} = \frac{P \{η = y_{j}, ξ = x_{i}\}}{P \{ξ = x_{i}\}} = \frac{p (x_{i}, y_{j})}{p_{1} (x_{i})}$ .可以发现 $η |ξ = x_{i}$ 依然是一个随机变量，可以对其求期望 $E \{η |ξ = x_{i}\} = \sum_{j = 1}^{m} y_{j} \cdot P \{η = y_{j} |ξ = x_{i}\} = \frac{1}{p_{1} (x_{i})} \cdot \sum_{i = 1}^{m} y_{j} p (x_{i}, y_{j})$ .
（ⅰ）上述期望依旧是一个随机变量（ $ξ$ 取值不同时，期望也不同），不妨记为 $E \{η |ξ\}$ ，求 $E [E \{η |ξ\}]$ ；
（ⅱ）若修改游戏规则，需连续掷出两次 $6$ 点飞机才能起飞，记 $ξ = 0$ 表示“甲第一次未能掷出6点”， $ξ = 1$ 表示“甲第一次掷出 $6$ 点且第二次未能掷出 $6$ 点”， $ξ = 2$ 表示“甲第一次第二次均掷出 $6$ 点”， $η$ 为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数，求 $E η$ .

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15、命题“ $\forall x > 0, 2 x^{2} + x + 1 > 0$ ”的否定是.

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16、下列命题正确的有（）

A、已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上可导，若 $f^{'} (1) = 2$ ，则 $lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + 2 Δ x) - f (1)}{Δ x} = 2$ B、已知函数 $f (x) = ln (2 x + 1)$ ，若 $f^{'} (x_{0}) = 1$ ，则 $x_{0} = \frac{1}{2}$ C、 ${(\frac{cos x}{x})}^{'} = \frac{x sin x + cos x}{x^{2}}$ D、设函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = x^{2} + 3 x f^{'} (2) + ln x$ ，则 $f^{'} (2) = - \frac{9}{4}$

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17、在 $△ A B C$ 中， $|\vec{A B}| = 2 \sqrt{2}$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 外心，且 $\vec{A O} \cdot \vec{A C} = 1$ ，则 $∠ A B C$ 的最大值为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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18、已知函数 $f (x)$ 是定义域为R的偶函数，且对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (- \infty$ ， $0]$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时总有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则满足 $f (1 - 2 x) - f (- \frac{1}{3}) > 0$ 的 $x$ 的范围是（　　）

A、 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ B、 $[\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ C、 $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$ D、 $[\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$

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19、在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 $A B C D$ ， $A D E F$ 的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子 $M, N$ 分别在正方形对角线 $A E$ 和 $B D$ 上移动，且 $E M$ 和 $D N$ 的长度保持相等，记 $E M = D N = a (0 < a < \sqrt{2})$ ，活动弹子 $Q$ 在 $E F$ 上移动.

(1)、求证：直线 $M N / /$ 平面 $C D E$ ；

(2)、 $Q$ 为 $E F$ 上的点，求 $E B$ 与平面 $Q C D$ 所成角的正弦值的最大值.

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20、质量监督局检测某种产品的三个质量指标 $x, y, z$ ，用综合指标 $Q = x + y + z$ 核定该产品的等级.若 $Q \leq 5$ ，则核定该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
$A_{1}$
$A_{2}$
$A_{3}$
$A_{4}$
$A_{5}$
质量指标（ $x, y, z$ ）
$(1, 1, 2)$
$(2, 1, 2)$
$(2, 2, 2)$
$(1, 3, 1)$
$(1, 2, 3)$
产品编号
$A_{6}$
$A_{7}$
$A_{8}$
$A_{9}$
$A_{10}$
质量指标（ $x, y, z$ ）
$(1, 2, 2)$
$(2, 3, 1)$
$(3, 2, 1)$
$(1, 1, 1)$
$(2, 1, 1)$
（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件 $B$ 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标均满足 $Q \leq 4$ ”，求事件 $B$ 的概率.

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$ξ$ $η$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\dots$	$x_{n}$
$y_{1}$	$p (x_{1}, y_{1})$	$p (x_{2}, y_{1})$	$\dots$	$p (x_{n}, y_{1})$	$p_{2} (y_{1})$
$y_{2}$	$p (x_{1}, y_{2})$	$p (x_{2}, y_{2})$	$\dots$	$p (x_{n}, y_{2})$	$p_{2} (y_{2})$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$y_{m}$	$p (x_{1}, y_{m})$	$p (x_{2}, y_{m})$	$\dots$	$p (x_{n}, y_{m})$	$p_{2} (y_{m})$
	$p_{1} (x_{1})$	$p_{1} (x_{2})$	$\dots$	$p_{1} (x_{n})$	$1$

产品编号	$A_{1}$	$A_{2}$	$A_{3}$	$A_{4}$	$A_{5}$
质量指标（ $x, y, z$ ）	$(1, 1, 2)$	$(2, 1, 2)$	$(2, 2, 2)$	$(1, 3, 1)$	$(1, 2, 3)$
产品编号	$A_{6}$	$A_{7}$	$A_{8}$	$A_{9}$	$A_{10}$
质量指标（ $x, y, z$ ）	$(1, 2, 2)$	$(2, 3, 1)$	$(3, 2, 1)$	$(1, 1, 1)$	$(2, 1, 1)$