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相关试卷

1、设 $a > 0$ ，函数 $f (x) = a x^{3} - 2 x + 1$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求过点 $(0, - 1)$ 且与曲线 $y = f (x)$ 相切的直线方程：

(2)、 $x_{1}, x_{2}$ 是函数 $f (x)$ 的两个极值点，证明： $f (x_{1}) + f (x_{2})$ 为定值．

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2、已知：函数 $f (x)$ 是定义在R上的可导函数，当 $x \geq 0$ 时， $f^{'} (x) > f^{'} (- x)$ ，若 $g (x) = f (x) + f (- x)$ ，且对任意 $x \in [\frac{1}{2}, 1]$ ，不等式 $g (a x + 1) \leq g (x - 2)$ )恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是

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3、 $\lg (\sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}}) =$ .

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4、若实数 $x ， y$ 满足 $x^{2} + y^{2} = 4 + x y$ ，则（　　）

A、 $x + y \geq - 4$ B、 $x + y \leq 2$ C、 $x^{2} + y^{2} \leq 8$ D、 $x^{2} + y^{2} \geq 4$

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5、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（）

A、 $A C_{1} = \sqrt{6}$ B、 $A C_{1} ⊥ B D$ C、四边形 $B D D_{1} B_{1}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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6、已知函数 $f (2 x + 1)$ 为奇函数， $f (x + 2)$ 为偶函数，且当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = {log}_{2} x$ ，则 $f ({(\frac{3}{2})}^{2})$ $=$ （）

A、2 B、-2 C、1 D、-1

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7、已知 $A$ ， $B$ 是双曲线 $E$ ： $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上的两点，点 $P (- 1, 2)$ 是线段 $A B$ 的中点.

(1)、求直线 $A B$ 的方程；

(2)、若线段 $A B$ 的垂直平分线与 $E$ 相交于 $C$ ， $D$ 两点，证明： $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点共圆.

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8、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b sin B + c sin C = a (2 sin B sin C + sin A)$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $c = \sqrt{2}$ ，点 $D$ 为边 $B C$ 的中点，且 $A D = \frac{\sqrt{17}}{2}$ ，求边 $B C$ 的值．

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9、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} - x (a, b \in R)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y + \frac{7}{6} = 0$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对于区间 $[- 3, 3]$ 上任意两个自变量的值 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq c$ ，求实数 $c$ 的最小值．

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10、已知 $P (1, 2), Q (0, 3)$ ，若直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 交于 $A, B$ 两点，且 $P A ⊥ P B, P D ⊥ A B$ 于点 $D$ ，则 $|D Q|$ 的最大值为.

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11、在 ${(3 + \frac{1}{x})}^{9}$ 的展开式中， $x^{- 7}$ 的系数为．（用数字作答）

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12、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，函数 $f (x + 1)$ 是奇函数，且满足 $f (x + 1) = f (3 - x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (3) = 0$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 C、 $f (x + 1) - f (x - 1) = 0$ D、若函数 $g (x)$ 满足 $g (x) + f (x + 3) = 2$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2024} g (i) = 4048$

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13、半正多面体亦称“阿基米德体”或者称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，如图所示．已知 $M N = \sqrt{3}$ ，若在该半正多面体内放一个球，则该球体积的最大值为（）

A、 $\frac{9 \sqrt{2} π}{8}$ B、 $\frac{9 \sqrt{2} π}{4}$ C、 $\frac{16 \sqrt{2} π}{3}$ D、 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$

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14、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆C： $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{18} = 1$ 的两个焦点，点P是C上的一点，且 $\cos ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{1}{3}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、3 B、 $3 \sqrt{2}$ C、9 D、 $9 \sqrt{2}$

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15、已知直线 $l_{1} : x + m y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : x + (1 - 2 m) y - 3 = 0$ ，则“ $m \in {1, - 2}$ ”是“ $l_{1} ⊥ l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、如图所示，在 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = 6 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\frac{1}{7} \vec{A B} + \frac{6}{7} \vec{A C}$ B、 $\frac{6}{7} \vec{A B} + \frac{1}{7} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{5}{6} \vec{A C}$ D、 $\frac{5}{6} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$

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17、设复数 $z = \frac{1 + i^{5}}{2 + i}$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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18、已知点O为 $△ A B C$ 的外心，且向量 $\vec{A O} = λ \vec{A B} + (1 - λ) \vec{A C}$ ， $λ \in R$ ，若向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{5} \vec{B C}$ ，则 $\cos B$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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19、已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 m x - 4$ 在区间 $[- 1, 2]$ 上是单调函数

(1)、求实数 $m$ 的所有取值组成的集合 $A$ ；

(2)、试写出 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 2]$ 上的最大值 $g (m)$ ；

(3)、根据（2）的结论，设 $h (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 3$ ，令 $F (m) = \{\begin{matrix} g (m), m \in A \\ h (m), m \in ∁_{R} A \end{matrix}$ ，若对任意 $m \in [- \frac{7}{2}, a]$ ，都有 $F (m) \leq a + 5$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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20、求下列代数式的最值：

(1)、已知 $x > 1$ ，求 $y = x + \frac{4}{x - 1}$ 的最小值；

(2)、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且满足 $\frac{8}{x} + \frac{1}{y} = 1$ .求 $x + 2 y$ 的最小值；

(3)、当 $0 < x < \frac{1}{4}$ 时，不等式 $\frac{1}{x} + \frac{1}{1 - 4 x} - m \geq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的最大值.

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