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相关试卷

1、若直线 $(m + 1) x + m y - 2 m - 1 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 3$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，则弦长 $|M N|$ 的取值范围为.

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2、若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，则该椭圆的焦点到短轴端点的距离为.

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3、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $Q$ 为线段 $B B_{1}$ 的中点，动点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{A C} + μ \vec{A D_{1}}$ ，其中 $λ \in (0, 1), μ \in (0, 1)$ ，则（）

A、 $A P ⊥ B_{1} D$ B、平面 $A_{1} B C_{1} / /$ 平面 $A C P$ C、存在点 $P$ ，使得 $D P = \frac{1}{2}$ D、当 $λ + μ = 1$ 时，平面 $Q C P$ 截正方体的截面积为 $\frac{9}{8}$

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4、已知圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ ，点 $P$ 是直线 $l : x + y = 0$ 上一动点，过点 $P$ 作圆的切线 $P A$ ， $P B$ ，切点分别是 $A$ 和 $B$ ，则下列说法错误的是（）

A、圆 $C$ 上恰有一个点到直线 $l$ 的距离为 $\frac{1}{2}$ B、切线 $|P A|$ 长的最小值为1 C、四边形 $A C B P$ 面积的最小值为2 D、直线 $A B$ 恒过定点 $(\frac{3}{2}, - \frac{1}{2})$

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作直线 $l$ 与椭圆相交于 $M$ 、 $N$ 两点， $∠ M F_{2} N = 90^{\circ}$ ，且 $4 |F_{2} N| = 3 |F_{2} M|$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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6、某圆锥母线长为 $\sqrt{6}$ ，底面半径为2，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面的面积最大时，此截面将底面圆周所分成的两段弧长之比（较短弧与较长弧之比）为（）

A、 $1 : 1$ B、 $1 : 2$ C、 $1 : 3$ D、 $1 : 5$

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7、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为a的正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ．若 $P A = a$ ，则直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成的角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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8、已知点 $A (0, 1)$ 、 $B (1, 1)$ ，设过点 $P (0, - 1)$ 的直线 $l$ 与 $△ A O B$ 的边 $A B$ 交于点 $M$ （其中点 $M$ 异于 $A$ 、 $B$ 两点），与边 $O B$ 交于 $N$ （其中点 $N$ 异于 $O$ 、 $B$ 两点），若设直线 $l$ 的斜率为 $k$ .

(1)、试用 $k$ 来表示点 $M$ 和 $N$ 的坐标；

(2)、求 $△ O M N$ 的面积 $S$ 关于直线 $l$ 的斜率 $k$ 的函数关系式；

(3)、当 $k$ 为何值时， $S$ 取得最大值？并求此最大值.

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9、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 2 A A_{1} = 2 C D = 2$ ， $A_{1} C = 3$ ， $A B // C D$ ．

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求平面 $A A_{1} D$ 与平面 $A_{1} D C$ 夹角的余弦值．

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10、在锐角 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a、b，c，其面积为S，且 $(b - a) (b + a) + a c \cos B = \frac{2 \sqrt{3}}{3} S$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求S的取值范围．

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11、为了解某年级学生对《居民家庭用电配置》的了解情况，校有关部门在该年级进行了一次问卷调查(共10道题)，从该年级学生中随机抽取24人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]五组，得到如下频率分布直方图.
（1）估计这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
（2）用分层随机抽样的方法从[4，6)，[6，8)，[8，10]的组别中共抽取12人，分别求出抽取的三个组别的人数；
（3）若从答对题数在[2，6)内的人中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在[2，4)内的概率.

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12、已知两直线 $l_{1} : 3 x + y - 9 = 0$ 和 $l_{2} : 2 x - y - 1 = 0$ 的交点为 $P$ ．

(1)、若直线 $l$ 过点 $P$ 且与直线 $x + 2 y - 1 = 0$ 平行，求直线 $l$ 的一般式方程；

(2)、若圆 $C$ 过点 $(- 2,5)$ 且与 $l_{1}$ 相切于点 $P$ ，求圆 $C$ 的标准方程．

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13、在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ， $M$ 为 $A A_{1}$ 的中点，则异面直线 $A D_{1}$ 与 $B M$ 所成角的余弦值为．

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14、已知向量 $\vec{a} = (1, m, n), \vec{b} = (m^{2}, n, 32)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m n =$ ．

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15、数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线 $C : x^{2} + y^{2} = 2 |x| + 2 |y|$ 就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（）

A、曲线 $C$ 围成的图形的周长是 $4 \sqrt{2} π$ B、曲线 $C$ 围成的图形有 $6$ 条对称轴 C、若 $T (a, b)$ 是曲线 $C$ 上任意一点， $|4 a + 3 b - 18|$ 的最小值是 $11 - 5 \sqrt{2}$ D、曲线 $C$ 上的任意两点间的距离不超过 $6$

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16、下列给出的命题正确的是（）

A、若直线l的方向向量为 $\vec{e} = (1, 0, 3)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (- 2, 0, \frac{2}{3})$ ，则 $l // α$ B、两个不重合的平面 $α, β$ 的法向量分别是 $\vec{u} = (2, 2, - 1), \vec{v} = (- 3, 4, 2)$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一组基底，则 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}\}$ 也是空间的一组基底 D、已知三棱锥 $O - A B C$ ，点P为平面ABC上的一点，且 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{O A} + m \vec{O B} - n \vec{O C} (n, m \in R)$ ，则 $m - n = \frac{1}{2}$

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17、已知点A，B，C，D，P，Q都在同一个球面上， $A B C D$ 为正方形，若直线PQ经过球心，且 $P Q ⊥$ 平面 $A B C D$ .则异面直线 $P A, Q B$ 所成的角的最小值为（）

A、 $60 °$ B、 $45 °$ C、 $30 °$ D、 $15 °$

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18、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = B C = 4$ ， $P B = A C = 5$ ， $P C = A B = \sqrt{11}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为（）

A、 $26 π$ B、 $12 π$ C、 $8 π$ D、 $24 π$

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19、如图正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为a，以下结论中，错误的是（）

A、异面直线 $A_{1} D$ 与 $A B_{1}$ 所成的角为 $60 °$ B、直线 $A_{1} D$ 与 $B C_{1}$ 垂直 C、直线 $A_{1} D$ 与 $B D_{1}$ 平行 D、直线 $A_{1} D$ 与 $B_{1} C$ 平行

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20、在空间中，若向量 $\vec{a} = (1, - 1, - 2)$ ， $\vec{b} = (1, 2, 3)$ ， $\vec{c} = (3, 3, m)$ 共面，则 $m =$ （）

A、4 B、2 C、 $- 3$ D、 $- 6$

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