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相关试卷

1、命题“ $\forall x > 2, x^{2} + 2 > 6$ ”的否定（）

A、 $\exists x \geq 2, x^{2} + 2 > 6$ B、 $\exists x \leq 2, x^{2} + 2 \leq 6$ C、 $\exists x \leq 2, x^{2} + 2 > 6$ D、 $\exists x > 2, x^{2} + 2 \leq 6$

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2、若 $m^{2024} = n$ （ $m > 0$ 且 $m \neq 1$ ），则（）

A、 $\log_{m} n = 2024$ B、 $\log_{n} m = 2024$ C、 $\log_{2024} m = n$ D、 $\log_{2024} n = m$

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (2, \sqrt{2})$ ，且C的右焦点为 $F (2, 0)$ ．

(1)、求C的方程：

(2)、设过点 $(4, 0)$ 的一条直线与C交于 $P, Q$ 两点，且与线段AF交于点S．
（i）若 $|A S| = |F S|$ ，求 $|P Q|$ ；
（ii）若 $△ A P S$ 的面积与 $△ F Q S$ 的面积相等，求点Q的坐标．

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4、已知函数 $f (x) = \frac{x - 1}{e^{x}} - a (2 x - 1) - b$ ，其中 $a, b$ 是实数.

(1)、若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 不具有单调性，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求 $a + b$ 的最小值.

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5、定义：对于定义在 $D_{1}$ 上的函数 $y = f (x)$ 和定义在 $D_{2}$ 上的函数 $y = g (x)$ 满足：存在 $x_{0} \in D_{1} \cap D_{2}$ ，使得 $f (x_{0}) g (x_{0}) \geq 0$ ，我们称函数 $h (x) = \sqrt{f (x) g (x)}$ 为函数 $f (x)$ 和函数 $g (x)$ 的“均值函数”.

(1)、若 $f (x) = 2 x + 3, g (x) = a - x$ ，函数 $f (x)$ 和函数 $g (x)$ 的均值函数是偶函数，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{k x^{2} - 3 k x + 4}}$ ， $g (x) = - x^{2} + 3 x - 2$ ，且存在函数 $f (x)$ 和函数 $g (x)$ 的“均值函数”，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x) = \frac{2^{x}}{2^{x} - 1}$ ， $x \in (0, 1)$ ， $g (x)$ 是 $f (x)$ 和 $f (1 - x)$ 的“均值函数”，求 $g (x)$ 的值域.

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6、已知奇函数 $f (x) = \frac{3^{x} - 1}{3^{x} + 1}$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并加以证明；

(2)、若对任意的 $t \in R$ ，不等式 $f (t^{2} - 2 t) + f (2 t^{2} - k) > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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7、已知集合 $A = \{x |\frac{x - 2}{x + 1} < 0\}$ ， $B = \{x |k < x < 2 - k\}$ ．
（1）当 $k = - 1$ 时，求 $A \cup B$ ；
（2）若 $A \cap B = B$ ，求实数 $k$ 的取值范围．

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8、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = f (x) + f (- x), f (x + 2) = - f (x)$ ，且 $f (x)$ 在 $[- 1, 0]$ 上是增函数，则下列结论正确的是（）

A、 $f (2) = f (0)$ B、 $f (x)$ 在 $[1, 2]$ 上是减函数 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- 2, 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称

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9、已知 $x > 0$ ，则（）

A、 $x (2 - x)$ 的最大值为1 B、 $3 - x - \frac{1}{x}$ 的最大值为1 C、 $\frac{x^{2} + 5}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的最小值为2 D、 $x + \frac{4}{x + 1}$ 的最小值为3

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10、下列说法正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、函数 $f (x) = x$ 与 $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ 是同一个函数 C、命题 $p : \forall x \in R, x^{2} > 0$ ，则 $\neg p : \exists x \in R, x^{2} \leq 0$ D、若关于 $x$ 的方程 $x^{2} + (a^{2} - 1) x + a - 2 = 0$ 的一个根比1大且另一个根比1小，则 $a$ 的取值范围是 $(- 2, 1)$

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11、已知函数 $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{1}{2}, \frac{3}{8}]$ ，则函数 $g (x) = f (x) + \sqrt{1 - 2 f (x)}$ 的值域为（）

A、 $[\frac{1}{2}, \frac{7}{8}]$ B、 $[\frac{1}{2}, 1]$ C、 $[\frac{7}{8}, 1]$ D、 $(0, \frac{1}{2}) \cup [\frac{7}{8}, + \infty)$

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + x, x \leq 0 \\ a x^{2} + b x, x > 0 \end{array}$ 为奇函数，则 $2 a + 3 b$ 等于（）

A、-1 B、1 C、5 D、-5

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13、若 $2 a + b = 1 (a > 0, b > 0)$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、 $3 - 2 \sqrt{2}$ B、8 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $3 + 2 \sqrt{2}$

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14、已知幂函数y＝(a²－2a－2)x^a在实数集R上单调，那么实数a等于（）

A、－1或3 B、3 C、－3 D、1

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15、下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）

A、 $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ B、 $y = - x^{2} + 3$ C、 $y = - x^{3}$ D、 $y = \frac{1}{x}$

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16、已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {2, 3, 5}, B = {2, 4}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 ${1, 2, 4}$ B、 ${1, 2, 3, 4}$ C、 ${1}$ D、 ${4}$

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17、如图所示，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $O$ 为 $C D$ 的中点，设 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ， $\vec{B D} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A O} =$ （）

A、 $- \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \vec{c} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a}$

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18、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = \frac{1}{2} A B$ ，底面ABCD是边长为2的菱形， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，平面 $B D D_{1} B_{1} ⊥$ 平面ABCD，点 $O_{1}$ ， O分别为 $B_{1} D_{1}$ ， BD的中点， $O_{1} B = 1$ ， $∠ A_{1} A B$ ， $∠ O_{1} B O$ 均为锐角.

(1)、求证： $A C ⊥ B B_{1}$ ；

(2)、若顶点 $A_{1}$ 到底面ABCD的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求二面角 $B - A A_{1} - C$ 的平面角的余弦值.

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19、求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)、长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上；

(2)、过点 $(3, 0)$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ；

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20、在正方形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别为线段 $A B$ ， $B C$ 的中点，连接 $D E$ ， $D F$ ， $E F$ ，将 $△ A D E$ ， $△ C D F$ ， $△ B E F$ 分别沿 $D E$ ， $D F$ ， $E F$ 折起，使 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点重合，得到三棱锥 $O - D E F$ ，则该三棱锥的外接球半径 $R$ 与内切球半径 $r$ 的比值为.

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