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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 中， $A C = 1, B C = 2, ∠ A B C = 30 °$ ，且边 $A B, B C$ 上的中线 $C E, A D$ 交于点 $M$ .

(1)、求 $A B$ 的长；

(2)、求 $\cos ∠ A M C$ 的值.

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2、在 $△ A B C$ 中， $\overset{⃑}{C D} = 2 \overset{⃑}{D B}$ ，设 $\overset{⃑}{A D} = x \overset{⃑}{A B} + y \overset{⃑}{A C}$ （ $x$ 、 $y$ 为实数）.
（1）求 $x$ ， $y$ 的值；
（2）若 $\overset{⃑}{A B} = (1 ， 3)$ ， $\overset{⃑}{A C} = (4 ， 3)$ ，求 $\overset{⃑}{A D} \cdot \overset{⃑}{B C}$ .

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3、若函数 $f (x) = \{\begin{matrix} a x + a - 1, x > 0, \\ - x^{2} - (a - 2) x, x \leq 0 \end{matrix}$ 是 $R$ 上的单调递增函数，则实数a的取值范围是.

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4、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形 $A B C D$ 由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1，E为 $D F$ 的中点，则（）

A、 $\cos ∠ E A D = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $|\overset{⃑}{A D} + \overset{⃑}{A E}| = \sqrt{17}$ C、 $\overset{⃑}{A E} = \frac{4}{5} \overset{⃑}{A D} + \frac{2}{5} \overset{⃑}{A B}$ D、 $\overset{⃑}{A B} \cdot \overset{⃑}{A E} = \frac{8}{5}$

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5、在 $Δ A B C$ 中，，若O为 $Δ A B C$ 内部的一点，且满足 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $\vec{A O} \cdot \vec{B C} =$

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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6、已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，若 $|\vec{b}| = 3$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13}$ ，则 $|\vec{a}| =$ （）

A、2 B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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7、数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线 $C : x^{2} + y^{2} = 2 |x| + 2 |y|$ 就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（）

A、曲线 $C$ 围成的图形有 $6$ 条对称轴 B、曲线 $C$ 围成的图形的周长是 $4 \sqrt{2} π$ C、若 $T (a, b)$ 是曲线 $C$ 上任意一点， $|4 a + 3 b - 18|$ 的最小值是 $11 - 5 \sqrt{2}$ D、曲线 $C$ 上的任意两点间的距离不超过 $6$

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8、已知函数 $f (x) = x \ln x - a x + 1$ ，则（）

A、当 $a = 0$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值为 $1 - \frac{1}{e}$ B、当 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 的极大值点为 $x = 1$ C、存在实数 $a$ 使得函数 $f (x)$ 在定义域上单调递增 D、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为 $a \leq 1$

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9、已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (- 3, 0)$ ， $B (2, 1)$ ， $C (- 2, 3)$ ，求：

(1)、 $B C$ 边上中线 $A D$ 所在直线的方程；

(2)、 $B C$ 边的垂直平分线 $D E$ 的方程；

(3)、 $△ A B C$ 的外接圆方程．

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10、函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，对 $\forall x$ ， $y > 0$ ，都有 $f (\frac{x}{y}) = f (x) - f (y) + 1$ ；且当 $x > 1$ 时， $f (x) > 1$ ．已知 $f (2) = 2$ ．

(1)、求 $f (1)$ ， $f (4)$ ；

(2)、判断并证明 $f (x)$ 的单调性；

(3)、解不等式： $f (x + 2) + f (4 - x) < 5$ ．

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11、国庆黄金周期间，旅游潮、探亲潮必将形成高交通压力现象 $.$ 已知某火车站候车厅，候车人数与时间 $t$ 相关，时间 $t ($ 单位：小时 $)$ 满足 $0 < t ⩽ 24$ ， $t \in N .$ 经测算，当 $16 \leq t \leq 24$ 时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数为 $5000$ 人，当 $0 < t < 16$ ，候车人数相对于满厅人数会减少，减少人数与 $t (16 - t)$ 成正比，且时间为 $6$ 点时，候车人数为 $3800$ 人，记候车厅候车人数为 $f (t)$ ．

(1)、求 $f (t)$ 的表达式，并求当天中午 $11$ 点时，候车厅候车人数 $;$

(2)、铁路系统为了体现“人性化”管理，每整点时会给旅客提供的免费面包数量为 $P = \frac{f (t) - 3000}{t} + 400$ ，则当 $t$ 为何值时需要提供的免费面包数量最少.

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12、已知 $f (x) = \frac{a - 3^{x + 1}}{3^{x} + b} (a > 0, b > 0)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数．

(1)、求 $f (x)$ ；

(2)、求函数 $g (x) = f (x) \cdot (3^{x} + 1) + 9^{x} - 1$ 在 $x \in [0, 1]$ 上的值域．

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13、已知集合 $A = \{x | x^{2} - 3 x - 18 \leq 0\}, B = \{x | 2 m - 3 \leq x \leq m + 2\}$ .
（1）当 $m = 0$ 时，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；
（2）若 $B \cap (∁_{R} A) = \emptyset$ ，求实数m的取值范围.

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14、已知a，b为正实数，则 $\frac{a}{a + b} + \frac{b}{2 a + b}$ 的最小值为．

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15、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + a^{2} - 4$ ．设命题 $p$ ：“关于 $x$ 的不等式 $f (f (x)) < 0$ 解集为空集”，则命题 $p$ 的必要条件可以是（）

A、 $a \leq - 4$ B、 $a \leq - 5$ C、 $a \leq - 6$ D、 $a \leq - 7$

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16、下列各组函数是同一个函数的是（）

A、 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ B、 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$ C、 $f (x) = x - 1$ 与 $g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ D、 $f (x) = x^{0}$ 与 $g (t) = \frac{1}{t^{0}}$

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17、下列说法正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{a}{b} > 1$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - d > b - c$ C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$

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18、函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则关于x的不等式 $x \cdot f (x - 1) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1) \cup (3, + \infty)$ C、 $(0, 1) \cup (2, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2) \cup (0, 1) \cup (2, + \infty)$

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19、设 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sqrt{x}, 0 < x < 1 \\ 2 (x - 1), x \geq 1 \end{array}$ ，若 $f (a) = f (a + 1)$ ，则 $a =$ （）

A、 $4$ B、 $2$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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20、设 $x \in R$ ，则“ $0 < x < 3$ ”是“ $|x - 1| < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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