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相关试卷

1、复数 $z = a + b i (a \neq 0 ， a ， b \in R)$ 满足 $(1 - i) z$ 为纯虚数，则（）

A、 $a + b = 0$ B、 $a - b = 0$ C、 $a + 2 b = 0$ D、 $a - 2 b = 0$

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2、设 $M =$ {正四棱柱}， $N =$ {直四棱柱}， $P =$ {长方体}， $Q =$ {直平行六面体}，则四个集合的关系为 ( )

A、M $\subseteq$ P $\subseteq$ N $\subseteq$ Q B、M $\subseteq$ P $\subseteq$ Q $\subseteq$ N C、P $\subseteq$ M $\subseteq$ N $\subseteq$ Q D、P $\subseteq$ M $\subseteq$ Q $\subseteq$ N

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3、下列给出的命题正确的是（）

A、若直线l的方向向量为 $\vec{e} = (1, 0, 3)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (- 2, 0, \frac{2}{3})$ ，则 $l / / α$ B、两个不重合的平面 $α$ ， $β$ 的法向量分别是 $\vec{u} = (2, 2, - 1)$ ， $\vec{v} = (- 3, 4, 2)$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一组基底，则 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}\}$ 也是空间的一组基底 D、对空间任意一点O与不共线的三点 $A, B, C$ ，若 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ （其中 $x, y, z \in R$ ），则 $P, A, B, C$ 四点共面

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4、已知向量 $\vec{O A} = (0, 1, 2), \vec{O B} = (- 1, 0, 1), \vec{O C} = (2, 1, λ)$ ，若 $O, A, B, C$ 共面，则 $\vec{O C}$ 在 $\vec{O B}$ 上的投影向量的模为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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5、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，且 $S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 前n项和为 $T_{n}$ ，且 $b_{1} = 2$ ， $b_{n + 1} = T_{n} + 2$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n}^{2}$ ，设数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和为 $P_{n}$ ，求 $P_{2 n}$ ；

(3)、若数列 $\{d_{n}\}$ 满足： $d_{n} = \frac{b_{n}}{b_{n} + 1} + \frac{b_{n}}{b_{n} - 1}$ ，证明： $\sum_{i = 1}^{n} d_{i} < 2 n + 1$ ．

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6、已知直线 $l$ ： $k x - y + 1 + 2 k = 0$ ．
（1）求 $l$ 经过的定点坐标 $P$ ；
（2）若直线 $l$ 交 $x$ 轴负半轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴正半轴于点 $B$ ．
① $△ A O B$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的最小值和此时直线 $l$ 的方程；
②当 $P A + \frac{1}{2} P B$ 取最小值时，求直线 $l$ 的方程．

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7、设函数 $f (x) = \frac{3 x}{2 x + 3}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = f (a_{n}), n \in N^{*}$ .

(1)、求证：数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 是等差数列；

(2)、令 $b_{n} = a_{n - 1} \cdot a_{n} (n \geq 2), b_{1} = 3, S_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}$ ，若 $S_{n} < \frac{m - 2015}{2}$ 对一切 $n \in N^{*}$ 成立，求最小正整数 $m$ 的值.

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8、甲､乙､丙三人进行投球练习，每人投球一次.已知甲命中的概率是 $\frac{3}{4}$ ，甲､丙都未命中的概率是 $\frac{1}{12}$ ，乙､丙都命中的概率是 $\frac{1}{4}$ ，若每人是否命中互不影响.

(1)、求乙､丙两人各自命中的概率；

(2)、求甲､乙､丙三人中至少2人命中的概率.

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9、 $△ A B C$ 的三个顶点是 $A (4, 0), B (6, 7), C (0, 3)$ ，求：

(1)、边 $A B$ 上的中线所在直线的方程；

(2)、边 $A C$ 上的垂直平分线所在直线的方程.

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{2} = 6$ ，且 $a_{n + 2} - 2 a_{n + 1} + a_{n} = 2$ ，若 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数（例如 $[1.6]= 1,[- 1.6] = - 2)$ ，记 $b_{n} = [\frac{{(n + 1)}^{2}}{a_{n}}]$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前2024项和为.

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11、已知 $a > 0, b > 0$ ，直线 $(a - 1) x + y - 1 = 0$ 和 $x + 2 b y + 1 = 0$ 垂直，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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12、下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a} = (1, - 1)$ 是直线 $x + y - 3 = 0$ 的一个方向向量； B、经过点 $(1, 1)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距都相等的直线方程为 $x + y - 2 = 0$ ； C、点 $(0, 2)$ 关于直线 $y = x + 1$ 的对称点为 $(1, 1)$ ； D、已知两点 $A (2, 3), B (- 2, - 1)$ ，若直线 $l$ 过点 $P (1, - 2)$ 且与线段 $A B$ 有公共点，则 $k$ 的取值范围是 $(- \infty, - \frac{1}{3}] \cup [5, + \infty)$

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13、今年”国庆"假期期间，各大商业综合体､超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动.在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，且两人能否中奖相互独立，则（）

A、小王和小张都中奖的概率为0.1 B、小王和小张都没有中奖的概率为0.48 C、小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44 D、小王和小张中至少有一个人中奖的概率为0.52

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14、《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至､大暑､处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则秋分的晷长为（）

A、4.5尺 B、5.5尺 C、6.5尺 D、7.5尺

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15、2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划），明确从2020年起强基计划取代原高校自主招生方式，如果甲､乙､两人通过强基计划的概率分别为 $\frac{7}{10}$ ， $\frac{4}{5}$ ，那么甲､乙两人中恰有1人通过的概率为（）

A、 $\frac{19}{50}$ B、 $\frac{6}{25}$ C、 $\frac{7}{50}$ D、 $\frac{1}{2}$

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16、过点 $(2, 1)$ ，且法向量为 $\vec{m} = (2, 3)$ 的直线方程为（）

A、 $2 x + 3 y - 7 = 0$ B、 $2 x + 3 y + 1 = 0$ C、 $3 x - 2 y - 8 = 0$ D、 $3 x - 2 y - 4 = 0$

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17、已知 $P (A) = 0.5$ ， $P (B) = 0.3$ ， $P (A B) = 0.2$ ，则 $P (A \cup B) =$ （）

A、0.5 B、0.6 C、0.8 D、1

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18、已知复数 $z$ 满足 $z = 1 + 2 i$ ，则 $| z | =$ .

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19、已知曲线 $E ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1 (y \neq 0)$ 的左右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ， P是曲线E上一动点

(1)、求△ $P F_{1} F_{2}$ 的周长；

(2)、过 $F_{2}$ 的直线与曲线E交于AB两点，且 $\vec{A F_{2}} = 2 \vec{F_{2} B}$ ，求直线AB的方程；

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} + n$ ，则 $a_{n} =$ ．

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