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相关试卷

1、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是正方形，则下列关系能同时成立的是（）

A、“ $A B = P B$ ”与“ $P B = B D$ ” B、“ $P A ⊥ P C$ ”与“ $P B ⊥ P D$ ” C、“ $P B ⊥ C D$ ”与“ $P C ⊥ A B$ ” D、“平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B D$ ”与“平面 $P C D ⊥$ 平面 $P B D$ ”

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2、已知椭圆 $C$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，下顶点为 $A$ ，直线 $A F_{1}$ 交 $C$ 于另一点 $B$ ， $△ A B F_{2}$ 的内切圆与 $B F_{2}$ 相切于点 $P$ ．若 $|B P| = |F_{1} F_{2}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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3、下列可以作为方程 $x^{3} + y^{3} = 3 x y$ 的图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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4、已知事件A与事件B互相独立，且 $P (A) = 0.2, P (B) = 0.7$ ，则 $P (\bar{A} B) =$ （　　）

A、0.06 B、0.14 C、0.24 D、0.56

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5、若 $3 \sin α + 4 \cos α = 5$ ，则 $\tan (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- 7$ B、7 C、 $\frac{1}{7}$ D、 $- \frac{1}{7}$

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6、已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 0, 1)$ ，向量 $\vec{b} = (1, 0, \sqrt{3})$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\sqrt{3}, 0, 1)$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, \frac{3}{2})$ C、 $(1, 0, \sqrt{3})$ D、 $(\frac{3}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2})$

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7、已知集合 $A = {x | x^{2} - x = 0}$ ，则 $- 1$ 与集合 $A$ 的关系为（）

A、 $- 1 \in A$ B、 $- 1 \notin A$ C、 $- 1 \subseteq A$ D、 $- 1 ⊄ A$

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8、下列递推关系式或其通项公式可以使数列 $\{a_{n}\}$ 为周期数列的有（）

A、 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}}$ B、 $a_{n} = 2^{n} cos \frac{n π}{2}$ C、 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \{\begin{matrix} 2 a_{n}, n 是奇数 \\ \frac{1}{a_{n}}, n 是偶数 \end{matrix}$ D、 $a_{n} = n^{3} + 2025$

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9、若 $\{\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}\}$ 是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量 $\vec{a}$ ，存在唯一的有序实数组 $(x, y, z)$ ，使得 $\vec{a} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}} + z \vec{e_{3}}$ ，我们把有序实数组 $(x, y, z)$ 叫做基底 $\{\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}\}$ 下向量 $\vec{a}$ 的斜坐标.设向量 $\vec{p}$ 在基底 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 下的斜坐标为 $(- 1, 2, 3)$ ，则向量 $\vec{p}$ 在基底 ${\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}, \vec{a} - \vec{b}, \vec{a} + \vec{c}}$ 下的斜坐标为（）

A、 $(2, - 4, - 1)$ B、 $(- 2, - 4, 1)$ C、 $(- 2, 4, 1)$ D、 $(2, - 4, 1)$

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10、已知 $x_{0}$ 为函数 $f (x) = x^{2} e^{x} + e^{2} \ln x - 2 e^{2}$ 的零点，则 $x_{0} + \ln x_{0} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11、已知复数 $z$ 在复平面内对应的点为 $(2, - 2)$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 2$ B、 $- 2 i$ C、2 D、 $2 i$

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12、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 为边 $B C$ 上靠近 $B$ 点的三等分点， $∠ A D C = 60 °$ ， $A D = 2$ ．

(1)、若 $∠ A C D = 45 °$ ，求三角形 $△ A B C$ 的面积；

(2)、当 $\frac{A C}{A B}$ 最小时，求 $B D$ 的长．

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13、已知复数 $z_{1} = \sin 2 x + λ i$ ， $z_{2} = m + (m - \sqrt{3} \cos 2 x) i, (λ, m, x \in R)$ ，且 $z_{1} = z_{2}$ ．

(1)、若 $λ = 0$ 且 $0 < x < π$ ，求 $x$ 的值；

(2)、设 $λ$ ＝ $f (x)$ ，已知当 $x = α$ 时， $λ = \frac{1}{2}$ ，试求 $\cos (4 α + \frac{π}{3})$ 的值．

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若向量 $\vec{p} = (a, \cos A)$ ，向量 $\vec{q} = (\sqrt{3} b, \sin B)$ ，且 $\vec{p} // \vec{q}$ ．
（1）求角 $A$ 的大小；
（2）若 $3 b = c = 3$ ，且 $3 \overset{⃑}{B D} = \overset{⃑}{B C}$ ，求 $|\overset{⃑}{A D}|$ ．

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15、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 3 \vec{b}) = - 5$ ．

(1)、若 $(\vec{a} - \vec{k b}) ⊥ (k \vec{a} + \vec{b})$ ，求实数k的值；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 的夹角．

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16、已知正方形 $A B C D$ 的边长为2，点P满足 $\overset{⃑}{A P} = \frac{1}{2} (\overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{A C})$ ，则 $| \overset{⃑}{P D} | =$ ； $\overset{⃑}{P B} \cdot \overset{⃑}{P D} =$ ．

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17、已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\cos θ, \sin θ) (0 \leq θ \leq π)$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\tan θ = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、若 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{4} \vec{a}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ C、若 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 共线，则 $\vec{b}$ 为 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 或 $(- \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、存在 $θ$ ，使得 $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$

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18、在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 120 ° ， \vec{A B} \cdot \vec{A C} = - 3$ ，点 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，则 $|\vec{A G}|$ 的最小值是

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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19、在 $△ A B C$ 中， $sin (B - A) = \frac{1}{4}, 2 a^{2} + c^{2} = 2 b^{2}$ ，则 $sin C =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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20、如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是水平放置的 $△ A B C$ 的斜二测直观图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 为等腰直角三角形，其中 $O^{'}$ 与 $A^{'}$ 重合， $A^{'} B^{'} = 6$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、9 B、 $9 \sqrt{2}$ C、18 D、 $18 \sqrt{2}$

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