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相关试卷

1、高一年级疫情期间举行全体学生的数学竞赛，成绩最高分为100分，随机抽取100名学生进行了数据分析，将他们的分数分成以下几组：第一组 $[0, 20)$ ，第二组 $[20, 40)$ ，第三组 $[40, 60)$ ，第四组 $[60, 80)$ ，第五组 $[80, 100]$ ，得到频率分布直方图，如图所示．

(1)、试估计这次竞赛成绩的众数和平均数；

(2)、已知100名学生落在第二组 $[20, 40)$ 的平均成绩是32，方差为7，落在第三组 $[40, 60)$ 的平均成绩为50，方差为4，求两组学生成绩的总平均数 $\bar{x}$ 和总方差 $s^{2}$ ；

(3)、已知年级在第二组 $[20, 40)$ 和第五组 $[80, 100]$ 两个小组按等比例分层抽样的方法，随机抽取4名学生进行座谈，之后从这4人中随机抽取2人作为学生代表，求这两名学生代表都来自第五组 $[80, 100]$ 的概率．

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2、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 为正四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，四棱锥的高为1，点E在棱AB上，且 $2 A E = E B$ ．

(1)、若点F在棱PC上，是否存在实数 $λ$ 满足 $P F = λ F C$ ，使得 $B F //$ 平面PDE？若存在，请求出实数 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

(2)、在第（1）问的条件下，当 $B F //$ 平面PDE时，求三棱锥 $P - D E F$ 的体积．

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3、已知函数 $f (x) = a \sin (π - x) \cos x + \cos (2 x + \frac{π}{4})$ ，且 $f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求a的值和函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求不等式 $f (x) > \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的解集；

(3)、在 $△ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $A C = \sqrt{3}$ ， AD为BC边上的中线，设 $∠ B A D = α$ ， $f (\frac{3}{4} α) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，请直接写出 $α$ 的值和BC的长.

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4、已知 $△ A B C$ 为等边三角形，点G是 $△ A B C$ 的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设 $\vec{A D} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A E} = μ \vec{A C}$ ，则 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ} =$ ．

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5、某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀（含80分），现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组：第一组 $[50, 60)$ ，第二组 $[60, 70)$ ，第三组 $[70, 80)$ ，第四组 $[80, 90)$ ，第五组 $[90, 100]$ ，其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数为，成绩优秀的经验概率是．

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6、已知平面向量 $\vec{a} = (t - 1, 2 - t)$ ， $\vec{b} = (3, - 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $t =$ .

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7、在平面四边形ABCD中， $A B = A D$ ， $C B = C D$ .将该四边形沿着对角线AC折叠，得到空间四边形ABCD，E为棱BD的中点，则（）

A、异面直线AC，BD所成的角是 $\frac{π}{4}$ B、 $B D ⊥$ 平面 $A E C$ C、平面 $A B D ⊥$ 平面AEC D、 $V_{三棱锥 A - B C D} = 2 V_{三棱锥 E - A C D}$

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8、以下结论正确的是（）

A、“事件 $A$ ， $B$ 互斥"是“事件 $A$ ， $B$ 对立”的充分不必要条件. B、掷两枚质地均匀的骰子，设 $A =$ “第一次出现奇数点”， $B =$ “第二次出现偶数点”，则 $A$ 与 $B$ 相互独立 C、假设 $P (A) = 0.7$ ， $P (B) = 0.8$ ，且 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (A \cup B) = 0.56$ D、若 $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ，则事件 $A$ ， $B$ 相互独立与事件 $A$ ， $B$ 互斥不能同时成立

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9、已知复数 $z$ 满足 $|z| = \sqrt{6}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $z$ 在复平面内对应的点可能是 $(2, \sqrt{2})$ B、 $z \cdot \bar{z} = 4$ C、 $z$ 的实部与虚部之积小于等于3 D、复数 $z_{1} = 1 + i$ ，则 $|z - z_{1}|$ 的最大值为 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$

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10、设角 $α_{1}$ 、 $α_{2}$ 满足 $\frac{1}{2 + \sin α_{1}} + \frac{1}{2 + \sin 2 α_{2}} = 2$ ，则 $|10 π - α_{1} - α_{2}|$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{6}$

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11、已知在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且a＝4，b＋c＝5，tanB＋tanC＋ $\sqrt{3}$ ＝ $\sqrt{3}$ tanBtanC，则△ABC的面积为 (　　)

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、3 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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12、如图，A，B两地相距45km，甲欲驾车从A地去B地，由于山体滑坡造成道路AB堵塞，甲沿着与AB方向成18°角的方向前行，中途到达C点，再沿与AC方向成153°角的方向继续前行到达终点B，则这样的驾车路程比原来的路程约多了（）（参考数据： $\sin 18 ° \approx 0.31$ ， $\sin 27 ° \approx 0.45$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）

A、45.5km B、51.5km C、56.5km D、60.5km

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13、已知某中学共有学生1000名，其中男生有600人，现按性别采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生身高的平均数和方差分别为160和4，女生身高的平均数和方差分别为155和3，则估计该校学生身高的总体方差是（）

A、9.6 B、9 C、8.6 D、8

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14、圆锥 $S O$ 的底面圆半径 $O A = 1$ ，侧面的平面展开图的面积为 $3 π$ ，则此圆锥的体积为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3} π$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} π$

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15、已知 $f (x)$ 是在 $R$ 上单调递增的奇函数，则函数 $y = f (x) cos x$ 在 $[- 2, 2]$ 上的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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16、若平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 两两的夹角相等，且 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $|\vec{c}| = 2$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| =$ （）

A、1 B、4 C、1或4 D、1或2

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17、已知复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 1 - i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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18、已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{a x^{3}}{12}$ ，其中常数 $a \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是增函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a = 4$ ，设 $g (x) = f (x) + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - x + 1$ ，求证：函数 $g (x)$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上有两个极值点.

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19、已知过点 $P (3, \sqrt{2})$ 的双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $x \pm \sqrt{3} y = 0$ .如图所示，过双曲线 $C$ 的右焦点 $F$ 作与坐标轴都不垂直的直线 $l$ 交 $C$ 的右支于 $A, B$ 两点.

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、若双曲线 $C$ 上的点 $Q (x_{0}, y_{0})$ 到其两条渐近线的距离分别为 $d_{1}, d_{2}$ ，求 $d_{1} d_{2}$ 的值；

(3)、已知点 $Q (\frac{3}{2}, 0)$ ，求证： $∠ A Q F = ∠ B Q F$ .

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 上，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D / / B C$ ， $∠ A D C = 90^{0}$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $Q$ 为 $A D$ 的中点， $M$ 是棱 $P C$ 上的点， $P A = P D = 2$ ， $B C = \frac{1}{2} A D = 1$ ， $C D = \sqrt{3}$ .

(1)、求证：平面 $M Q B ⊥$ 平面 $P A D$

(2)、若二面角 $M - B Q - C$ 大小为 $30^{0}$ ，求 $\frac{P M}{P C}$ 的值

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