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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，设向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} \cos A, \cos A + \sin A), \vec{n} = (2 \sin A, \cos A - \sin A)$ ，记 $f (A) = \vec{m} \cdot \vec{n}, A \in [\frac{π}{4}, \frac{3π}{4}]$ ．

(1)、求函数 $f (A)$ 的最大值；

(2)、若 $f (A) = 1, a = \sqrt{3}, b = 2$ ，求c．

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2、已知向量 $\vec{a} = (- 3, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 2)$ ， $\vec{c} = (1, - 1)$ ．

(1)、求 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 的坐标， $|\vec{b}|$ 的值；

(2)、若 $\vec{c} / / (\vec{a} + k \vec{b})$ ，求实数k的值；

(3)、若 $\vec{c} ⊥ (\vec{a} + k \vec{b})$ ，求实数k的值．

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3、在圆内接四边形 $A B C D$ 中， $A C = 4, A B = 2 A D, ∠ B A D = 60 °$ ，则 $△ B C D$ 面积的最大值为．

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4、在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{3}$ ，点 $M$ 满足 $\vec{A M} = 2 \vec{M C}$ ，设 $∠ A B M = α, ∠ C B M = β$ ，若 $sin α = 3 sin β$ ，则 $sin C =$ .

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5、若 $z = 3 + 4 i$ ，那么 $|z| =$ .

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6、已知函数 $f (x) = \frac{4^{a x} + 1}{2^{x}}$ ．则下列说法正确的是（）

A、若 $a = 1$ ，则 $f (x)$ 为偶函数； B、若 $a = - 1$ ，则 $f (x)$ 单调递增； C、若 $a = 1$ ，则函数 $f (x)$ 的最小值为2； D、若 $a < 0$ 时，函数 $h (x) = f (m - | \ln x | - 1) - 2$ 在区间 $[\frac{1}{2}, e]$ 上有且仅有一个零点，则 $1 + \ln 2 < m \leq 2$ ．

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7、设锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $a = \sqrt{3}$ ，且 $(2 b - c) \cos A = a \cos C$ ，则下列命题正确的个数为（     ）
① $A = \frac{π}{3}$ ；             ② $△ A B C$ 的外接圆的面积是 $π$ ；
③ $△ A B C$ 的面积的最大值是 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ；       ④ $b + c$ 的取值范围是 $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{3}]$ ．

A、4 B、3 C、2 D、1

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8、如图1，三棱锥 $V - A B C$ 的高 $V O = \sqrt{3}$ ，底面 $△ A B C$ 在斜二测画法下的直观图 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 如图2所示，其中 $O^{'}$ 为 $A^{'} B^{'}$ 的中点，且 $O^{'} A^{'} = 1$ ， $O^{'} C^{'} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .则三棱锥 $V - A B C$ 的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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9、已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ ， $- \frac{5 π}{18}$ 是函数 $f (x)$ 的一个零点，直线 $x = \frac{2 π}{9}$ 与 $x = \frac{8 π}{9}$ 是 $f (x)$ 图象的两条对称轴，则当 $ω$ 取最小值时， $f (x)$ 在 $[- \frac{5 π}{18}, \frac{π}{6}]$ 上的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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10、已知某圆锥的外接球的体积为 $\frac{500π}{3}$ ，若球心到该圆锥底面的距离为 $4$ ，则该圆锥体积的最大值为（）

A、 $9π$ B、 $27π$ C、 $18π$ D、 $48π$

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11、 $α$ ， $β$ 是两个平面，m，n是两条直线，则（）

A、如果 $m / / α$ ， $n / / α$ ，那么 $m / / n$ B、如果 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， m，n是异面直线，那么n与 $α$ 相交 C、如果 $α / / β$ ， $m \subset α$ ，那么 $m / / β$ D、如果 $m / / α$ ， n与 $α$ 相交，那么m，n是异面直线

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12、“ ${sin}^{2} α + {cos}^{2} β = 1$ ”是“ $α \pm β = 0$ ”的（）

A、必要而不充分条件 B、充分而不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、已知向量 $\vec{a} = (1, - 2), \vec{b} = (- 2, t)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数 $t$ 的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、4 D、 $- 4$

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14、已知 $\frac{i}{z} = 1 + i$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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15、已知函数 $y = f (x)$ 及其导数 $y = f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f^{'} (x) + f (x) \geq 2 x$ 对一切 $x \in R$ 恒成立.

(1)、若 $m$ ， $b \in R$ ， $f (x) = m x + b$ ，求 $m$ 的值；

(2)、若 $y = f (x)$ 是二次函数，求 $f (0)$ 的取值范围；

(3)、若 $y = f (x)$ 同时满足 $f^{'} (x) + f (x) \leq 2 x + 1$ 对一切 $x \in R$ 恒成立且 $f (0) = 0$ ，证明：函数 $y = f (x)$ 没有最大值，但是有最小值.[提示：一个在闭区间上的连续函数，函数的最大值与最小值一定存在.］

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16、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ ， $x \in (- \infty, - 1]$ 其中 $a > 0$ ， $b \in R$ .

(1)、曲线 $y = f (x)$ 在 $(- 2, - 1)$ 处的切线方程为 $y = 3 x + 5$ ，求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、当 $a = 3$ 时，求 $f (x)$ 的极值点；

(3)、当 $a^{2} = 4 b$ 时，若函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, - 1]$ 上的最大值为 $1$ ，求 $a$ 的取值范围.

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{3} = 6$ ，且对任意的 $n \geq 2, n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 1} + a_{n - 1} = 2 a_{n} + 3$ .

(1)、设 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、数列 $c_{n} = [lg b_{n}], [x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，求 $\{c_{n}\}$ 的前350项和 $T_{350}$ .

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18、已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} - 2 sin x + 2$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (ln x + x^{2} - a x) + f (e^{x} - 2 ln x) \geq 4$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则实数 $a$ 的最大值为．

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19、若随机变量 $X \sim N (3, σ^{2})$ ，且 $P (1 \leq X \leq 3) = a$ ， $P (X \geq 5) = b$ ，则 $\frac{3 a + 4 b}{2 a b}$ 的最小值为

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20、已知函数 $f (x) = x^{2} (x - a)$ ，则（）

A、曲线 $y = f (x)$ 的图象与 $x$ 轴有交点 B、当 $a > 0$ 时， $f (x)$ 在 $x = 0$ 处有极大值 C、存在 $a > 0$ ，使得 $(1, - 1)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 D、当 $a = 3$ 时，若曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = - x^{2} + 4 x + m$ 在 $[0, + \infty)$ 上有两个交点，则 $m \in (- 8, 0]$

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