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相关试卷

1、写出一个半径为 $\sqrt{13}$ ，且与直线 $2 x - 3 y + 6 = 0$ 相切于点 $(3, 4)$ 的圆的方程：．

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2、在平面直角坐标系中，已知 $F_{1} (- 3, 0)$ ， $F_{2} (3, 0)$ ， $O$ 为原点， $P$ 为平面内的动点，且 $P H$ 垂直于 $y$ 轴，垂足为 $H$ ，则满足下列条件的动点 $P$ 的轨迹为椭圆的是（）

A、 $|P F_{1}| + |P F_{2}| = 10$ B、 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| + {|P O|}^{2} = 41$ C、 $\frac{|P H|}{|P F_{1}| + |P F_{2}|} = \frac{5}{6}$ D、 $\frac{|P H|}{||P F_{1}| - |P F_{2}||} = \frac{5}{6}$

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3、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别为线段 $B_{1} C_{1}$ ， $B B_{1}$ 上的动点（包括端点），点 $P$ 在底面 $A B C D$ 内运动（包括边界），则下列说法正确的有（）

A、存在唯一的 $M$ ， $P$ ，使得 $M P ⊥ A C_{1}$ B、存在唯一的 $M$ ， $P$ ，使得 $M P / / A C_{1}$ C、若 $M$ 为线段 $B_{1} C_{1}$ 的中点，且 $M P / /$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ ，则动点 $P$ 的轨迹的长度为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、若 $M$ 为线段 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则 $M P + P A_{1}$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{21}}{2}$

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4、已知 $x > y > 0$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$ B、 $\frac{x + y}{\sqrt{x y}} > 2$ C、 ${0.2}^{x} > {0.2}^{y}$ D、 $\frac{1}{ln x} < \frac{1}{ln y}$

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5、定义 $f (x) = f^{'} (x)$ 的实数根 $x$ 为 $f (x)$ 的“坚定点”，已知 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ，则下列函数中，不存在“坚定点”的是（）

A、 $f (x) = a sin x$ B、 $f (x) = ln a x$ C、 $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} + a x + a$ D、 $f (x) = e^{a x}$

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6、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $A$ 是椭圆 $C$ 的左顶点，过点 $A$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于另一点 $P$ ，且 $|F_{1} F_{2}| = |P F_{2}|$ ，椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\pm \frac{1}{2}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\pm \frac{1}{3}$

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7、将函数 $f (x) = cos (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 在区间 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ 上单调递减，则 $ω$ 的最大值为（）

A、6 B、5 C、3 D、2

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8、已知 $f (x) = \frac{2^{x} \cdot sin x}{2^{a x} - 1}$ 是偶函数，则 $a =$ （）

A、2 B、1 C、0 D、 $- 1$

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9、已知向量 $\vec{a} = (cos θ, 1)$ ， $\vec{b} = (1, sin θ)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\frac{3 - cos 2 θ}{sin θ + cos θ}$ 的值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10、已知复数 $z_{1}$ 在复平面内所对应的点位于第一象限，且 $\frac{z_{2}}{z_{1}} = \frac{2}{{(1 + i)}^{2}}$ ，则复数 $z_{2}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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11、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} + a_{4} = 3$ ， $a_{2} + a_{5} = 6$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、27 B、24 C、21 D、18

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12、已知集合 $A = \{x ∣ 2^{x} \leq 3\}$ ， $B = \{x ∣ x = 2 n - 1, n \in N\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 1, 1\}$ C、 $\{1\}$ D、 $\emptyset$

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13、函数 $y = a^{x - 2} (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ 的图象恒过的定点 $A$ 的坐标为，若点 $A$ 在一次函数 $y = m x + n$ 的图象上，其中 $m, n > 0$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为.

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14、在 $△ A B C$ 中，“ $∠ A + ∠ B > 90 °$ ”是“ $△ A B C$ 为锐角三角形”的条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）

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15、取整函数被广泛的应用于数论，函数绘图和计算机领域，其定义如下：设 $x \in R$ ，不超过 $x$ 的最大整数称为 $x$ 的整数部分，记作 $[x]$ ，函数 $y = [x]$ 称为取整函数．另外也称 $[x]$ 是 $x$ 的整数部分．已知数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = n^{2} - n$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $\sum_{i = 1}^{k} [\sqrt{a_{i}}] = 34$ ，其中 $k \in N^{*}$ ，求 $k$ 的值；

(3)、求证： $\sum_{i = 1}^{m^{2} + 2 m} [\sqrt{a_{i} + 1} + \sqrt{a_{i + 1} + 1}] + S_{m}$ 为8的倍数，其中 $m \in N^{*}$ ．（参考公式： $\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ ）

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16、已知平面上的动点 $P$ 到点 $F (0, 1)$ 的距离与直线 $y = - 1$ 的距离相等．

(1)、求点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、已知圆 $C$ 方程是 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ，过点 $P$ 的两条直线分别与圆 $C$ 相切于点 $A$ ， $B$ ．
（i）记四边形 $P A C B$ 的面积是 $S$ ，若 $S \leq 8$ ．求点 $P$ 纵坐标的取值范围；
（ii）设直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率是 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $∠ A P B \leq \frac{π}{3}$ ，求 $|k_{1} - k_{2}|$ 的取值范围．

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17、如图，三角形 $P A B$ 和菱形 $A B C D$ 所在平面垂直，且 $P A = A B = 2$ ， $∠ A B C = 60^{°}$ ．线段 $B C$ 的中点为 $E$ ．

(1)、当 $D P = 2 \sqrt{2}$ 时，证明：直线 $A P ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、当 $D P = 3$ 时，求平面 $P A B$ 和平面 $P D E$ 夹角的正弦值．

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(- 2 \sqrt{2}, \frac{3 \sqrt{2}}{2})$ ，点 $P$ 是椭圆上的动点，左右焦点分别是 $F_{1}$ 与 $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于A，B两点， $△ F_{1} A B$ 的周长为16．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若椭圆上有且只有3个点到直线 $l : 3 x - 4 y + m = 0, (m > 0)$ 的距离为1，求 $m$ .

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19、已知数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 是公比不为1的等比数列，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $2 S_{3} = 7 a_{2}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的公比；

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 是递增数列且 $a_{1} = 1$ ，求数列 $\{2 n \cdot a_{2 n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ．在直线 $x = 4$ 上有一动点 $P (4, m)$ ，过点 $P$ 作两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，其中 $l_{1}$ 与椭圆 $Γ$ 相切于点 $D$ ， $l_{2}$ 经过点 $F_{1}$ 与椭圆交于点 $B$ ， $C$ 当 $∠ D F_{2} B = \frac{π}{2}$ 时， $m =$ ．

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