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相关试卷

1、若向量 $\vec{a} = (2, lg m), \vec{b} = (- 4, - 6)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、1000 B、 $10^{- \frac{4}{3}}$ C、 $100 \sqrt{10}$ D、100

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2、若复数 $z = \frac{i}{1 - 7 i}$ ，则 $z$ 的共轭复数为（）

A、 $- \frac{7}{50} - \frac{i}{50}$ B、 $- \frac{7}{50} + \frac{i}{50}$ C、 $\frac{7}{50} - \frac{i}{50}$ D、 $\frac{7}{50} + \frac{i}{50}$

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3、已知集合 $A = \{- 3, - \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, 3\}$ ，且 $B = \{x |x \notin Z 且 x^{2} \in Z\}$ 则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4、直线 $l_{1}$ ： $x + y - 1 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $2 x + 2 y - 5 = 0$ 的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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5、如图，在四面体 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C, A C ⊥ C B, P A = A C = 2 B C = 2$ ，则此四面体的外接球表面积为（）

A、 $3 π$ B、 $9 π$ C、 $36 π$ D、 $48 π$

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6、如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为.

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7、已知函数 $f (x) = \frac{x {}_{2}+ a x + a}{x}, 且 a < 1$ .

(1)、当 $x \in [1, + \infty)$ 时，判断 $f (x)$ 的单调性并证明；

(2)、在（1）的条件下，若 $m$ 满足 $f (3 m) > f (5 - 2 m)$ ，试确定 $m$ 的取值范围.

(3)、设函数 $g (x) = x \cdot f (x) + | x^{2} - 1 | + (k - a) x - a, k$ 为常数.若关于 $x$ 的方程 $g (x) = 0$ 在 $(0, 2)$ 上有两个解 $x_{1}, x_{2}$ ，求 $k$ 的取值范围，并比较 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 与4的大小.

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8、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是边长为2的正三角形， $A A_{1} = 2$ ， $D$ 为 $A C$ 上的点，过 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $D$ 的截面交 $B C$ 于 $E$

(1)、证明： $D E / / A B$ ；

(2)、若二面角 $B_{1} - D E - B$ 的大小为 $60 °$ ，求几何体 $C D E - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积.

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9、已知函数 $f (x) = \frac{(\sqrt{3} \cos x - \sin x) \sin 2 x}{2 \cos x} + \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $f (\frac{π}{3})$ 的值.

(2)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递减区间.

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10、设角 $A, B, C$ 是 $△ A B C$ 的三个内角，已知向量 $\vec{m} = (\sin A + \sin C, \sin B - \sin A)$ ， $\vec{n} = (\sin A - \sin C, \sin B)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .
（Ⅰ）求角 $C$ 的大小；
（Ⅱ）若向量 $\vec{s} = (0, - 1), \vec{t} = (\cos A, 2 \cos^{2} \frac{B}{2})$ ，试求 $|\vec{s} + \vec{t}|$ 的取值范围

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11、某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形 $A B C D$ 和 $E F G H$ 构成面积为 ${200m}^{2}$ 的十字形区域，且计划在正方形 $M N P K$ 上建一座花坛，其造价为 $4200$ 元/ $m^{2}$ ，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为 $210$ 元/ $m^{2}$ ，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为 $80$ 元/ $m^{2}$ .

(1)、设 $A D$ 的长为 $x$ 米，试写出总造价 $Q$ (单位：元)关于 $x$ 的函数解析式，并写出 $x$ 的取值范围；

(2)、问：当 $x$ 取何值时，总造价最少？求出这个最小值.

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12、已知△ABC的外接圆圆心为O，且 $2 \overset{⃑}{A O} = \overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{A C}$ ， $|\overset{⃑}{O A}| = |\overset{⃑}{A B}|$ ，则向量 $\overset{⃑}{B A}$ 在向量 $\overset{⃑}{B C}$ 上的投影向量为．

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13、如图1所示，四边形 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形， $E$ 、 $F$ 、 $M$ 分别为 $B C$ 、 $C D$ 、 $B E$ 的中点，分别沿 $A E$ 、 $A F$ 及 $E F$ 所在直线把 $△ A E B$ 、 $△ A F D$ 和 $△ E F C$ 折起，使 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 三点重合于点 $P$ ，得到如图2所示的三棱锥 $P - A E F$ ，则下列结论中正确的有（）

A、三棱锥 $M - A E F$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ B、异面直线 $A M$ 与 $E F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{34}}{34}$ C、过点 $M$ 的平面截三棱锥 $P - A E F$ 的外接球，所得截面的面积的最小值为 $\frac{π}{4}$ D、过点 $M$ 的平面截三棱锥 $P - A E F$ 的外接球，所得截面的面积的最大值为 $\frac{3 π}{2}$

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14、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 6$ ， $∠ B A C = 60^{o}$ ， $D$ 是边 $B C$ 上的一点，则（）

A、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 6$ B、 $△ A B C$ 外接圆的半径是 $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ C、若 $\vec{D C} = 2 \vec{B D}$ ，则 $\vec{A B} = \frac{3}{2} \vec{A D} - \frac{1}{2} \vec{A C}$ D、若 $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线，则 $A D = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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15、已知 $f (x) = - x^{2} + 2 |x| + 1$ ，若方程 ${[f (x)]}^{2} + m f (x) + n = 0 (m, n \in R)$ 恰好有三个互不相等的实根，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $m < - 3$ B、 $m \leq - 2$ C、 $m < - 3$ 或 $m > - 2$ D、 $m = - 2$ 或 $m < - 3$

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16、设 $a = sin 7$ ，则（）

A、 ${log}_{2} |a| < a^{2} < 2^{a}$ B、 ${log}_{2} |a| < 2^{a} < a^{2}$ C、 $a^{2} < {log}_{2} |a| < 2^{a}$ D、 $a^{2} < 2^{a} < {log}_{2} |a|$

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17、已知 $m$ 为正实数，且 $\frac{m}{\sin^{2} x} + \tan^{2} x \geq 15$ 对任意的实数 $x (x \neq k π + \frac{π}{2}, k \in Z)$ 均成立，则 $m$ 的最小值为（）

A、1 B、4 C、8 D、9

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18、在 $△ A B C$ 中， ${cos}^{2} \frac{B}{2} = \frac{a + c}{2 c}$ （ $a ， b_{} ， c$ 分别为角 $A ， B ， C$ 的对边），则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、正三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形

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19、集合 $M = \{x |x = \sin \frac{n π}{3}, n \in Z\}$ ， $N = \{x |x = \cos \frac{n π}{2}, n \in Z\}$ ，则 $M \cap N =$

A、{－1，0，1} B、{0，1} C、∅ D、{0}

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20、恰逢盛世，风调雨顺.某稻米产地今秋获得大丰收，为促进当地某品牌大米销售，甲、乙两位驻村干部通过直播宣传销售所驻村生产的该品牌大米.通过在某时段100名顾客在观看直播后选择在甲、乙两位驻村干部的直播间（下简称甲直播间、乙直播间）购买的情况进行调查（假定每人只在一个直播间购买大米），得到以下数据：
网民类型
在直播间购买大米的情况
合计
在甲直播间购买
在乙直播间购买
本地区网民

外地区网民
30

45
合计

20
100

(1)、补全2×2列联表，并判断依据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关；

(2)、用样本分布的频率分布估计总体分布的概率，若共有 $100000$ 名网民在甲、乙直播间购买大米，且网民选择在甲、乙两个直播间购买大米互不影响，记其中在甲直播间购买大米的网民数为 $X$ ，求使事件“ $X = k$ ”的概率取最大值时 $k$ 的值.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
a
0.1
0.05
0.01
0.005
$x_{n}$
2.706
3.841
6.635
7.879

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网民类型	在直播间购买大米的情况		合计
网民类型	在甲直播间购买	在乙直播间购买	合计
本地区网民
外地区网民	30		45
合计		20	100

a	0.1	0.05	0.01	0.005
$x_{n}$	2.706	3.841	6.635	7.879