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相关试卷

1、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .

(1)、设 $a_{1} = 1$ ，若 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $f (x) = 1 + x + x^{2} + x^{3} + ... + x^{n}$ ，设 $a_{n} = f^{'} (2)$ ，求 $S_{n}$ .

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2、在三棱锥 $S - A B C$ 中，底面 $△ A B C$ 是正三角形且 $S A = S B = S C$ ， $M$ 是 $S C$ 的中点，且 $A M ⊥ S B$ ，底面边长 $A B = 2 \sqrt{2}$ ，则三棱锥 $S - A B C$ 外接球的表面积为．

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3、在二项式 ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中， $x^{3}$ 项的二项式系数为．

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4、已知 $F (2, 0)$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（）

A、 $p = 4$ B、 $| M F | \geq | O F |$ C、以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D、当 $∠ O F M = 120 °$ 时， $△ O F M$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$

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5、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ $(ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ ，将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，关于 $y$ 轴对称，此时与 $y$ 轴最接近的一个极大值坐标为 $(\frac{π}{2}, 2)$ ，下列说法错误的是（）

A、 $f (x)$ 的一条对称轴为 $x = - \frac{5 π}{12}$ B、 $f (x) = 1$ 在 $(0, π)$ 有 $2$ 个根 C、 $f (x)$ 与直线 $y = x$ 有 $3$ 个交点 D、 $f (x)$ 关于 $(\frac{7 π}{12}, 0)$ 中心对称

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6、已知点 $P$ 为椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为 $C$ 的左，右焦点，若半径 $b$ 的圆 $M$ 同时与 $F_{1} P$ 的延长线、 $F_{1} F_{2}$ 的延长线以及线段 $P F_{2}$ 相切，若 $\tan ∠ P F_{1} F_{2} = \frac{4}{3}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7、若变量 $x, y$ 满足限制条件 $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} \leq 4 \\ x - 2 y + 2 \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$ ，则目标函数 $z = x - y^{2}$ 的最大值为（）

A、 $2$ B、 $- 1.36$ C、 $1.36$ D、 $- 2$

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8、若圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 恰有 $3$ 个点到直线 $x - y + \sqrt{m} = 0$ 的距离为1，则 $m =$ （）

A、 $4$ B、 $16$ C、 $2$ D、 $8$

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9、如图，湖州“飞凤大桥”是一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线.一般的，悬链线方程为 $y = \frac{c (e^{\frac{x}{c}} + e^{-^{} \frac{x}{c}})}{2}$ （ $c$ 为参数， $e$ 为自然对数的底数， $e \approx 2.71828)$ ，当 $c = 1$ 时，该方程就是双曲余弦函数 $cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} .$

(1)、求 $2 {[cosh (x)]}^{2} - cosh (2 x)$ 的值；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $cosh (2 x) \geq k cosh (x) - 2$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、如果定义双曲正弦函数为 $sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，当 $x \in [\frac{3 π}{4}, \frac{9 π}{4}]$ 时，试比较 $cosh (cos x)$ 与 $sinh (sin x)$ 的大小关系，并说明理由.

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10、已知函数 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{6}) \cdot c o s (x - \frac{π}{3})$ ，可将其化成 $f (x) = A s i n (ω x + φ) + K (A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的形式.

(1)、求A， $ω$ ， $φ$ ， K的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期，并求其图象的对称中心；

(3)、若 $f (\frac{α}{2}) = \frac{2}{3}$ ， $α \in [0, π]$ ，求 $c o s α$ 的值.

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11、已知函数 $f (x) = {log}_{2} (1 - x) - {log}_{2} (1 + x) .$

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、判断函数 $g (x) = f (x) - x - 1$ 是否存在零点，若 $g (x)$ 存在零点 $x_{0}$ ，请写出一个区间 $(a, b)$ ，满足 $x_{0} \in (a, b)$ ，且 $b - a \leq \frac{1}{3};$ 若 $g (x)$ 不存在零点，请说明理由.

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12、已知锐角 $θ$ 满足方程 $2 sin (π - θ) + cos (π + θ) = a (a \in R) .$

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $tan θ$ 的值；

(2)、当 $a = 1$ 时，求 $tan \frac{θ}{2} + cos 2 θ$ 的值.

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13、已知集合 $A = {x | \frac{1}{2} \leq 2^{x} \leq 8}$ ，集合 $B = {x | y = \sqrt{- x^{2} - x + 6}} .$

(1)、求 $A \cap B;$

(2)、若集合 $M = {x | |x| < m}$ ，且 $M \cap A = M$ ，求实数 m的取值范围.

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14、已知函数 $f (x) = |x^{2} + a x + 1| (a \in R)$ ，其图象与直线 $y = x$ 有两个交点.若关于x的方程 $f (f (x)) = f (x)$ 有三个不等的实根，则实数a的值为.

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15、已知单位圆上有一段圆弧的长是l，且该弧所对圆周角的余弦值是 $\frac{4}{5}$ ，则 $sin l =$ .

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16、已知幂函数 $f (x) = x^{α} (α$ 是常数 $)$ 满足 $f (8) = 2$ ，则 $f (1000) =$ .

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17、如图，正方形 ABCD的边长为1， P，Q分别为边AB，DA上的点，当 $△ A P Q$ 的周长为2时，则（）

A、 $∠ P C Q = 45^{\circ}$ B、PQ的长度有最大值 $2 \sqrt{2} - 2$ C、 $△ A P Q$ 的面积有最大值 $3 - 2 \sqrt{2}$ D、 $△ C P Q$ 的面积有最小值 $\sqrt{2} - 1$

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18、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2$ ，则（）

A、 $a + b \geq 2$ B、 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq 2$ C、 ${l o g}_{2} a + {l o g}_{2} b \geq 0$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq 2$

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19、已知函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列结论正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、函数 $y = f (x + \frac{π}{12})$ 是奇函数 C、 $x = \frac{7 π}{12}$ 是函数 $y = f (x)$ 图象的一条对称轴 D、函数 $y = f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域是 $[- \sqrt{3}, \sqrt{3}]$

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20、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (n + 1) - f (n) = \frac{π}{2}$ ， $n \in N^{*}$ ，集合 $S = {s i n f (n) | n \in N^{*}}$ ，若 $S = {a, b}$ ，则ab的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、0 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 1$

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