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相关试卷

1、关于直线 $m$ ， $n$ 与平面 $α$ ， $β$ ，以下四个命题中真命题是

A、若 $m / / α$ ， $n / / β$ 且 $α / / β$ ，则 $m / / n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ 且 $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n / / β$ 且 $α / / β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m / / α$ ， $n ⊥ β$ 且 $α ⊥ β$ ，则 $m / / n$

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2、已知 $a, b$ 表示两条直线， $α, β, γ$ 表示三个不重合的平面，给出下列命题，正确的是（）

A、若 $α \cap γ = a, β \cap γ = b$ ，且 $a / / b$ ，则 $α / / β$ B、若 $a, b$ 相交，且都在 $α, β$ 外， $a / / α, b / / α, a / / β, b / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $a / / α, b / / β$ ，且 $a / / b$ ，则 $α / / β$ D、若 $a \subset α, a / / β, α \cap β = b$ ，则 $a / / b$

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3、如图，某人用 $1.5 m$ 长的绳索，施力 $25 N$ ，把重物沿着坡度为30°的斜面向上拖了 $6 m$ ，拖拉点在竖直方向距离斜面的高度为 $1.2 m$ ，则此人对该物体所做的功为（）

A、 $\sqrt{13} J$ B、 $30 \sqrt{13} J$ C、 $125 J$ D、 $150 J$

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4、下列命题正确的为（）
①若 $△ A B C$ 在平面 $α$ 外，它的三条边所在的直线分别交 $α$ 于P、Q，R，则P，Q，R三点共线；
②若三条直线a，b、c互相平行且分别交直线 $l$ 于A、B、C三点，则这四条直线共面；
③已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面；
④已知a，b，c为三条直线，若 $a ⊥ c$ ， $b ⊥ c$ ，则 $a ∥ b$ .

A、①③ B、②③ C、②④ D、①②

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5、定义：若 $z^{2} = a + b i (a, b \in R)$ ，则称复数 $z$ 是复数 $a + b i$ 的平方根.根据定义，复数 $9 - 40 i$ 的平方根为（）

A、 $3 - 4 i$ ， $- 3 + 4 i$ B、 $4 + 3 i$ ， $4 - 3 i$ C、 $5 - 4 i$ ， $- 5 + 4 i$ D、 $4 - 5 i$ ， $- 4 + 5 i$

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6、若 $0 < α < \frac{π}{2}$ ， $0 < β < \frac{π}{2}$ ， $\cos (α + β) = \frac{3}{5}$ ， $\sin (β - \frac{π}{4}) = \frac{5}{13}$ ，则 $\cos (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{56}{65}$ D、 $\frac{36}{65}$

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7、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（）

A、直线 $C C_{1}$ 与直线 $B_{1} E$ 是异面直线 B、直线 $C C_{1}$ 与直线AE是共面直线 C、直线AE与直线 $B_{1} C_{1}$ 是异面直线 D、直线AE与直线 $B B_{1}$ 是共面直线

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8、若复数 $z$ 满足 $z = 5 - \sqrt{3} i$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} i$ D、 $- \sqrt{3} i$

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9、已知直线 $x + 2 y + 1 = 0$ 与 $⊙ C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $△ A B C$ 的面积为.

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10、给定正整数 $n \geq 3$ ，设数列 $A_{n} : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 满足 $a_{i} = \frac{i^{2}}{n} (i = 1, 2, \dots, n)$ .对于正数 $x$ ，定义 $G (x) = max {t \in N | x \geq t}$ ，其中 $max M$ 表示数集 $M$ 中最大的数.记集合 $G (A_{n}) = {G (a_{i}) | i = 1, 2, \dots, n}$ ，设 $G (A_{n})$ 的元素个数为 $g (A_{n})$ .

(1)、写出数列 $A_{3}, A_{4}$ ，并由此求出集合 $G (A_{3}), G (A_{4})$ ；

(2)、若 $n - g (A_{n}) = 1$ ，求 $n$ 的所有可能取值；

(3)、证明：存在无穷多个 $n$ 使得 $g (A_{n}) = g (A_{n + 1})$ .

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11、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(\sqrt{3}, 0)$ ，且右焦点为 $F (\frac{\sqrt{6}}{2}, 0)$ .

(1)、求椭圆 $Γ$ 的方程；

(2)、已知直线 $l : y = k x + m$ 与椭圆 $Γ$ 交于 $A, B$ 两点，以 $A B$ 为直径的圆过原点.
（i）证明： $m^{2} = k^{2} + 1$ ；
（ii）若过原点的直线与椭圆 $Γ$ 交于 $C, D$ 两点，且 $\vec{O C} = t (\vec{O A} + \vec{O B})$ ，求四边形 $A C B D$ 面积的范围.

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A D = 2$ ， $A B = 1$ ， $B M ⊥ P D$ 于点 $M$ ．

(1)、求证： $A M ⊥ P D$ ；

(2)、求直线 $C D$ 与平面 $A C M$ 所成的角的余弦值．

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13、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 各项均为正数，且 $a_{2} a_{4} = 81, a_{2} + a_{3} = 12$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = a_{n} + {log}_{3} a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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14、如图， $P_{1}$ 是一块半径为 $2 a$ 的半圆形纸板，在 $P_{1}$ 的左下端剪去一个半径为 $a$ 的半圆后得到图形 $P_{2}$ ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形 $P_{3}, P_{4}, \dots, P_{n}, \dots$ ，记第 $n$ 块纸板 $P_{n}$ 的面积为 $S_{n}$ ，则
（1） $S_{3} =$ .
（2）若 $\exists n \in N^{*}$ ，使得 $S_{n} < \frac{16 π}{3}$ 成立，则 $a$ 的取值范围是.

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15、若两平行平面 $α$ 、 $β$ 分别经过坐标原点O和点 $A (2, 1, 1)$ ，且两平面的一个法向量为 $\overset{⃑}{n} = (- 1, 0, 1)$ ，则两平面间的距离是．

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16、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点 $P$ 的横坐标为3，则点 $P$ 到抛物线焦点的距离是.

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17、已知点 $F (1, 0)$ ，直线 $l : x = 4$ ，动点 $P$ 到点 $F$ 的距离是点 $P$ 到直线 $l$ 的距离的一半.若某直线上存在这样的点 $P$ ，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（）

A、点 $P$ 的轨迹方程是 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、点 $P$ 的轨迹与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 没有公共点 C、平面上有一点 $A (- 1, 1)$ ，则 $|P A| + 2 |P F|$ 的最小值为5 D、直线 $l_{1} : x + 2 y - 4 = 0$ 是“最远距离直线”

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18、立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，半正多面体的棱长为 $2 \sqrt{2}$ ，棱数为24，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的是（）

A、 $A G ⊥$ 平面 $G H M N$ B、若 $E$ 是棱 $M N$ 的中点，则 $H E$ 与平面 $A F G$ 平行 C、平面 $H G F$ 与平面 $N G H M$ 的夹角的正切值为 $\sqrt{2}$ D、若四边形 $A B C D$ 的边界及其内部有一点 $P$ ， $|F P| = 2 \sqrt{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为 $π$

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} + λ a_{n} = 2 λ$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $λ = - 1$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列 B、若 $λ = - 1$ ，则数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是公差为 $- 2$ 的等差数列 C、若 $λ = 1$ ，则 $a_{2025} = a_{2}$ D、若 $λ = 1$ ，则 $S_{2024} = 2024$

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20、某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（）
（参考数据： ${1.3}^{9} \approx 10.6, {1.3}^{10} \approx 13.8, {1.3}^{11} \approx 17.9$ ）

A、964万元 B、2980万元 C、3940万元 D、5170万元

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