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相关试卷

1、如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ， $E$ 为边 $A B$ 的中点，沿 $D E$ 将 $△ A D E$ 折起，点 $A$ 折至 $A_{1}$ 处（ $A_{1} \notin$ 平面 $A B C D$ ），若 $M$ 为线段 $A_{1} C$ 的中点，平面 $A_{1} D E$ 与平面 $D E B C$ 所成锐二面角 $α$ ，直线 $A_{1} E$ 与平面 $D E B C$ 所成角为 $β$ ，则在 $△ A D E$ 折起过程中，下列说法正确的是（）

A、存在某个位置，使得 $B M ⊥ A_{1} D$ B、 $△ A_{1} E C$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sin α = \sqrt{2} \sin β$ D、三棱锥 $A_{1} - E D C$ 体积最大时，三棱锥 $A_{1} - E D C$ 的外接球的表面积 $16 π$

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2、三棱锥 $P - A B C$ 的侧棱 $P A, P B, P C$ 上分别有三点E，F，G，且 $\frac{P E}{E A} = 1, \frac{P F}{F B} = \frac{1}{2}, \frac{P G}{G C} = \frac{1}{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 与 $P - E F G$ 的体积之比是（）

A、6 B、8 C、12 D、24

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3、如图，在直三棱柱 $A B D - A_{1} B_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1}, ∠ A B D = 45 °$ ， P为 $B_{1} D_{1}$ 的中点，则直线 $P B$ 与 $A D_{1}$ 所成的角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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4、水平放置的 $△ A B C$ 的直观图如图，其中 $B^{'} O^{'} = C^{'} O^{'} = 1$ ， $A^{'} O^{'} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，那么原 $△ A B C$ 是一个（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、三边中只有两边相等的等腰三角形 D、三边互不相等的三角形

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5、复数 $z = \frac{5}{1 - 2 i}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6、密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学．研究密码变化的客观规律，应用于编制密码以保守通信秘密的，称为编码学；应用于破译密码以获取通信情报的，称为破译学，总称密码学.20世纪70年代，一些学者提出了公开密钥体制，即运用单向函数的数学原理，以实现加、脱密密钥的分离．加密密钥是公开的，脱密密钥是保密的．这种新的密码体制，引起了密码学界的广泛注意和探讨．某数学课外小组研究了一种编制密码的方法：取任意的正整数n，将小于等于n且与n互质的正整数从小到大排列，即为密码．记符合上述条件的正整数的个数为 $a_{n}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前5项和；

(2)、求 $a_{2^{n}} (n \in N^{*})$ 的表达式和 $a_{31 \times 37}$ 的值；

(3)、记 $b_{n} = \frac{(n^{2} + n)}{a_{2^{n}}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ，证明 $S_{n} < 16$ ．

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P (1, \frac{\sqrt{6}}{3})$ 在椭圆上，且直线 $P F_{1}$ 与 $P F_{2}$ 的斜率之积为 $- \frac{2}{3}$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、直线 $l : y = k x + m (k > 0, m > 0)$ 与C交于M，N两点，与y轴交于点A，与x轴交于点B．
（ⅰ）若A，B恰为弦MN的两个三等分点，求直线l的方程；
（ⅱ）若点B与点 $F_{1}$ 重合，线段MN的垂直平分线与x轴交于点Q，求 $\frac{| M N |}{| Q F_{1} |}$ 的值．

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8、如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1, C D = A D = 2, B C = 3, ∠ B A D + ∠ B C D = π$ ．

(1)、求 $∠ B A D$ ；

(2)、 $P$ 为边 $B C$ 上一点，且 $△ P C D$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B P$ 的外接圆半径．

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9、如图，三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 是正三角形， $A_{1} A ⊥$ 平面ABC， $A B = 2 A_{1} A = 2 A_{1} C_{1} = 4$ ， M，N分别为棱 $A B, B_{1} B$ 的中点.

(1)、证明： $B_{1} B ⊥$ 平面 $M C N$ ；

(2)、求直线 $C_{1} C$ 与平面 $M C N$ 所成的角的正弦值.

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10、“四进制”是一种以 $4$ 为基数的计数系统，使用数字 $0$ ， $1$ ， $2$ ， $3$ 来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以 $4$ 的相应次方（从 $0$ 开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数 $013$ 转换为十进制数为 $0 \times 4^{2} + 1 \times 4^{1} + 3 \times 4^{0} = 7$ ；四进制数 $0033$ 转换为十进制数为 $0 \times 4^{3} + 0 \times 4^{2} + 3 \times 4^{1} + 3 \times 4^{0} = 15$ ；四进制数 $1230$ 转换为十进制数为 $1 \times 4^{3} + 2 \times 4^{2} + 3 \times 4^{1} + 0 \times 4^{0} = 108$ ；现将所有由 $1$ ， $2$ ， $3$ 组成的 $4$ 位（如： $1231$ ， $3211$ ）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被 $3$ 整除的概率为．

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11、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中 $A B = 4$ ， M，N，D，Q分别为棱 $A B, A C, B_{1} C_{1}, A A_{1}$ 的中点， $D Q ⊥ Q M$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $B_{1} C_{1} / /$ 平面 $Q M N$ B、 $A A_{1} = \sqrt{6}$ C、点Q到平面 $D M N$ 的距离为 $\sqrt{6}$ D、三棱锥 $D - Q M N$ 的外接球表面积为 $\frac{131 π}{18}$

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12、已知 $f (x)$ 为定义在R上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{1}{x + 1} - a$ ．若 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上单调递减，则实数a的取值范围为（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(- \infty, 1]$

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13、已知复数 $z_{1} = 1 - i, z_{2} = 2 - i$ ，则复数 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14、已知非零向量 $\overset{⃑}{a} ， \overset{⃑}{b}$ 满足 $|\overset{⃑}{a}| = 2 |\overset{⃑}{b}|$ ，且 $（ \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b} ） ⊥ \overset{⃑}{b}$ ，则 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角为

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2π}{3}$ D、 $\frac{5π}{6}$

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15、将 $f (x) = cos 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列结论正确的是（）

A、 $g (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $g (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、 $\frac{π}{4}$ 是 $g (x)$ 的一个零点 D、 $[\frac{π}{3}, \frac{5 π}{12}]$ 是 $g (x)$ 的一个单调减区间

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16、已知集合 $A = \{x |\frac{2 x + 1}{x - 1} < 1\}$ ， $B = \{x |2 x^{2} + (m - 2) x - m < 0\}$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、已知“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要条件，求实数m的取值范围.

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17、在① $\frac{\sin A}{\sin B - \sin C} = \frac{b + c}{b - a}$ ；② $\frac{c}{a} = \frac{\cos C + 1}{\sqrt{3} \sin A}$ ，这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答，在 $△ A B C$ ，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，边长 $c = 2$ ， $S$ 为 $△ A B C$ 的面积，若______（填条件序号）

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $G$ 为 $△ A B C$ 内一点且 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ，求 $G C$ 长度最大值；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $△ A B C$ 的内切圆半径的取值范围.

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18、为绘制海底地貌图，测量海底两点 $C$ ， $D$ 间的距离，海底探测仪沿水平方向在 $A$ ， $B$ 两点进行测量， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得 $∠ B A C = 30^{\circ},$ $∠ D A C = 45^{\circ},$ $∠ A B D = 45^{\circ},$ $∠ D B C = 75^{\circ},$ $A$ ， $B$ 两点的距离为海里.
（1）求的面积；
（2）求 $C$ ， $D$ 之间的距离.

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19、设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是不共线的非零向量，且 $\vec{a} = \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ．

(1)、若 $4 \vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}} = λ \vec{a} + u \vec{b}$ ，求 $λ$ ， u的值．

(2)、若 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是互相垂直的单位向量，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ．

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20、(1)已知复数 $- 1 + 3 i$ 是关于x的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ $(p, q \in R)$ 的一个根，求 $p + q$ 的值；
(2)已知复数 $z_{1} = 5 - 10 i$ ， $z_{2} = 3 + 4 i$ ， $\frac{1}{z} = \frac{1}{z_{1}} + \frac{1}{z_{2}}$ ，求 $| z |$ ．

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