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1、下列四个结论，其中正确的为（）

A、动点P到点 $M (1, 0)$ ， $N (- 1, 0)$ 的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是双曲线 B、过点 $P (0, 1)$ 与抛物线 $y^{2} = x$ 有且只有一个公共点的直线有3条 C、双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 与双曲线 $y^{2} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ 有相同的渐近线 D、点 $P (1, 1)$ 在圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ 内

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2、下列四个命题中为真命题的是（）

A、已知 $X ~ B (40, p)$ ，且 $E (X) = 16$ ，则 $p = 0.4$ B、二项式 ${(\frac{1}{\sqrt{x}} - x^{2})}^{10}$ 的展开式中的常数项是45 C、若随机变量A，B满足： $P (A) > 0$ ， $P (B | A) + P (\bar{B}) = 1$ ，则A，B相互独立 D、从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为 $\frac{45}{91}$

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3、若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{m + n} + a_{m - n} = 2 a_{m} + 2 a_{n} (m > n > 0)$ ，则 $a_{2 025}$ 的个位数字为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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4、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与抛物线 $y^{2} = 12 x$ 有一个公共焦点 $F$ ，双曲线上过点 $F$ 且垂直实轴的弦长为 $3 \sqrt{2}$ ，则双曲线的离心率等于（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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5、如图，无人机在离地面高100m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知 $∠ M C N = 60 °$ ，则山的高度MN为（）

A、 $100 \sqrt{2} m$ B、150m C、 $150 \sqrt{2} m$ D、 $150 \sqrt{3} m$

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6、设曲线 $f (x) = x^{n + 1} (n \in N^{*})$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线与 $x$ 轴的交点的横坐标为 $x_{n}$ ，则 $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot x_{2024}$ 等于（）

A、 $\frac{2023}{2024}$ B、 $\frac{1}{2024}$ C、 $\frac{2024}{2025}$ D、 $\frac{1}{2025}$

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7、若随机变量X服从正态分布 $X \sim N (8, σ^{2})$ ， $P (X > 11) = a$ ， $P (5 \leq X \leq 11) = b$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、9 B、8 C、 $6 + 2 \sqrt{2}$ D、 $6 + 4 \sqrt{2}$

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8、已知集合 $M = \{x ∣ {log}_{2} x < 2\}, N = {x ∣ (x - 1) (x - 5) < 0}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $(- \infty, 5)$ B、 $(0, 5)$ C、 $(4, 5)$ D、 $(1, 4)$

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9、命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 \geq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 > 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 \leq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 > 0$

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10、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为角 $A, B, C$ 所对的边， $\frac{\sqrt{3} c}{a cos B} = tan A + tan B, b = c + 2$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的内切圆半径为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求边长 $c$ ；

(3)、若 $△ A B C$ 为钝角三角形，点 $O$ 为平面 $A B C$ 内一点且满足 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot \vec{A B} = (\vec{O B} + \vec{O C}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，求 $|\vec{O A}|$ 的取值范围.

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11、已知一块正三棱台木料 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 如图所示，点 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心，且 $A C = 3$ ， $A_{1} C_{1} = 2$ ．

(1)、要经过点 $O$ 将木料锯开，使截面平行于平面 $C A A_{1} C_{1}$ ，在木料表面应该怎样画线，并说明理由；

(2)、写出一种切割方式，要求过点 $O$ ，将（1）问中较大的几何体，切割出与较小木料体积相同的木料.

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12、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，已知 $4 S = b^{2} + c^{2} - a^{2}$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、设 $H$ 为 $△ A B C$ 的垂心，且 $A H = \sqrt{2}$ ，求 $A H \cdot B H + C H$ 的取值范围．

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13、如下图所示，多面体 $A_{1} B_{1} D_{1} D C B A$ 是由长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 沿相邻三个面的对角线截出的几何体，其中 $A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $A A_{1} = 2$ ， $E$ 为 $B_{1} D_{1}$ 的中点，过 $A_{1}$ ， $D$ ， $E$ 的平面交 $C D_{1}$ 于 $F$ ．

(1)、求该多面体 $A_{1} B_{1} D_{1} D C B A$ 的体积；

(2)、求证： $B_{1} C //$ 平面 $A_{1} D E$ ；

(3)、判断直线 $E F$ 与直线 $B_{1} C$ 的位置关系，并对你的结论加以证明．

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14、甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点 $A B C D$ 处，碳原子位于正四面体的中心 $O$ 处．若正四面体 $A B C D$ 的棱长为1，则平面 $O A B$ 和平面 $O C D$ 位于正四面体内部的交线长度为

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15、如图，测量河对岸的塔高 $A B$ 时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得 $∠ B C D = 30 °$ ， $∠ B D C = 120 °$ ， $C D = 10 m$ ，并在点C测得塔顶A的仰角为 $60 °$ ，则塔高 $A B =$ m．

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16、在复数范围内，方程 $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ 的解为

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17、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B + {cos}^{2} C < 1$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形 B、若 $A > B$ ，则 $sin 2 A > sin 2 B$ C、若 $(\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} \cdot \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形 D、若 $△ A B C$ 平面内有一点 $O$ 满足： $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，且 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形

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18、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 是棱 $C C_{1}$ 上的一个动点，平面 $B E D_{1}$ 交棱 $A A_{1}$ 于点 $F$ ，给出的四个结论，正确的是（）

A、对于任意的点 $E$ ， $E D_{1} // B F$ B、存在点 $E$ ，使得 $A_{1} C_{1} //$ 平面 $B E D_{1} F$ C、存在点 $E$ ，使直线 $A_{1} D$ 与直线 $D_{1} E$ 共面 D、存在唯一的点 $E$ ，使得截面四边形 $B E D_{1} F$ 的周长取得最小值

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19、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为

A、 $\frac{500 π}{3}$ cm³ B、 $\frac{866 π}{3}$ cm³ C、 $\frac{1372 π}{3}$ cm³ D、 $\frac{1000 π}{3}$ cm³

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20、已知 $\vec{A C} = (- 1, 3)$ ， $\vec{A B} = (3, 1)$ ，若线段 $B C$ 的一个三等分点为 $M$ ，则 $\vec{A M}$ 的坐标为（）

A、 $(\frac{5}{3}, \frac{5}{3})$ B、 $(\frac{1}{3}, \frac{7}{3})$ 或 $(\frac{5}{3}, \frac{5}{3})$ C、 $(\frac{7}{3}, \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{7}{3}, \frac{1}{3})$ 或 $(\frac{10}{3}, \frac{7}{3})$

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