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相关试卷

1、下列结论正确的有（）

A、函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$ 图象关于原点对称 B、函数 $f (x)$ 定义域为 $R$ 且对任意实数 $x 、 y$ 恒有 $f (x) + f (y) = f (x + y)$ .则 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x) = {log}_{2} (x^{2} - m x + 1)$ 的定义域为 $R$ ，则 $m \in (- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ D、 $f (x) = {log}_{2} (x^{2} - m x + 1)$ 的值域为 $R$ ，则 $m \in (- \infty, - 2]\cup[2, + \infty)$

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2、已知函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + \frac{π}{6}) + 2 (ω > 0)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上单调递减，且在区间 $[0, π]$ 上有且仅有1个零点，则ω的值可以为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{11}{12}$ D、 $\frac{13}{12}$

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3、已知命题 $\exists x \in R, 2 a x^{2} + a x - \frac{3}{8} \geq 0$ 为假命题，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \leq - 3$ 或 $a > 0$ B、 $- 3 < a \leq 0$ C、 $a \leq - 3$ 或 $a \geq 0$ D、 $- 3 < a < 0$

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4、“喊泉”是一种地下水的毛细现象.在合适的条件下，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生一系列物理声学作用.已知声音越大，涌起的泉水越高，声强 $m$ 与参考声强 $m_{0}$ 之比的常用对数称作声强的声强级，记作 $L$ （单位：分贝），即 $L = lg \frac{m}{m_{0}}$ .若某处“喊泉”的声强级 $L$ （单位：分贝）与喷出的泉水高度 $x$ （单位：分米）满足关系式 $L = 0.4 x$ ， $A, B$ 两人分别在这处“喊泉”大喊一声，若 $A$ “喊泉”喷出泉水的高度比 $B$ “喊泉”喷出的泉水高度高5分米，则 $A$ “喊泉”的声强是 $B$ “喊泉”声强的（）

A、5倍 B、10倍 C、20倍 D、100倍

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5、函数 $y = [x]$ 在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，如 $[1.5] = 1$ ， $[- 2.3] = - 3$ ， $[3] = 3$ .那么使不等式 $4 {[x]}^{2} - 12 [x] + 5 \leq 0$ 成立的 $x$ 的范围是（）

A、 $[\frac{1}{2}, \frac{5}{3}]$ B、 $[0, 2]$ C、 $[1, 3)$ D、 $[1, 3]$

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6、函数 $f (x) = |x| + \frac{a}{x^{2}} (a \in R)$ 的图像不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7、若 $\sin θ = \frac{4}{5}$ ， θ为第二象限角，则 ${[\cos (\frac{π}{2} - \frac{θ}{2})]}^{2} =$ （）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8、已知条件 $α : x > 1$ ， $β : \frac{1}{x} < 1$ ，则 $α$ 是 $β$ 的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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9、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是

A、B=A∩C B、B∪C=C C、A $⫋$ C D、A=B=C

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10、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $I$ ，设 $x_{0} \in I$ ，曲线在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $(x_{1}, 0)$ ，当 $n \geq 1$ 时，设曲线在点 $(x_{n}, f (x_{n}))$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $(x_{n + 1}, 0)$ ，依次类推，称得到的数列 $\{x_{n}\}$ 为函数 $y = f (x)$ 关于 $x_{0}$ 的“ $N$ 数列”，已知 $f (x) = 2 x - ln (x + 1)$ .

(1)、求证： $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点；

(2)、若 $g (x) = f^{'} (x), \{a_{n}\}$ 是函数 $y = g (x)$ 关于 $a_{0} = - \frac{3}{4}$ 的“ $N$ 数列”，记 $b_{n} = {log}_{2} |2 a_{n} + 1|$ .
①证明：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列，并求其通项公式；
②记 $c_{n} = \sqrt{\frac{n - 1}{(n + 1) \log_{2} (- b_{n})}}$ ，（ $n \in N^{*}$ ），证明： $c_{1} + c_{2} + \cdot \cdot \cdot + c_{n} < 2 \sqrt{n}$ .

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11、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $(2, \sqrt{3})$ ，直线 $l_{1} : y = k x + m (m > 0)$ 与圆 $C_{2} : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 相切且与椭圆 $C_{1}$ 交于 $A, B$ 两点．

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的方程；

(2)、过原点 $O$ 作 $l_{1}$ 的平行线 $l_{2}$ 交椭圆于 $C, D$ 两点，若 $|A B| = λ |C D|$ ，求 $λ$ 的最小值．

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12、如图，已知在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}, A B$ $∥$ $C D, A B = 2, B C = 2, C D = 4$ ，点 $A$ 在平面 $P C D$ 内的射影恰好是 $△ P C D$ 的重心 $G$ .

(1)、证明： $B C$ $∥$ 平面 $P A G$ ；

(2)、求直线 $D G$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 2} = a_{n + 1} + 2 a_{n}$ ，且 $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、证明：数列 $\{a_{n} + a_{n + 1}\}$ 是等比数列；

(2)、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{2 n}$ ．

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14、已知函数 $f (x) = ln x - a \cdot \frac{x - 1}{x + 1}$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $y = 3$ 平行，其中 $a$ 为常数．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求不等式 $f (x^{2} - 1) < f (5 x - 7)$ 的解集．

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15、已知 $f (x) = \ln x - a x$ ， $g (x) = e^{x} - a x$ ，若对任意 $x_{1} \in (0, + \infty)$ ，都存在 $x_{2} \in (0, + \infty)$ ，使得 $f (x_{1}) g (x_{2}) = x_{1} x_{2}$ ，则实数a的取值范围为.

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{1} \cdot a_{3} \cdot a_{11} = 216$ ，则 $a_{5} =$ ．

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17、如果一个人爬台阶的方式只有两种，在台阶底部（第0级）从下往上走，一次上一级台阶或一次上两级台阶，设爬上 $n$ 级台阶的方法数为 $a_{n}$ ，则下列结论正确的有（）

A、若用7步走完了10级台阶，则不同的走法有35种． B、 $\sum_{i = 1}^{10} a_{i} = 231$ C、 $a_{2025}$ 是偶数 D、 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{2024}^{2} = a_{2024} a_{2025} - 1$

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18、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = A D = A A_{1}$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = \frac{π}{3}$ ，点 $P$ 为平面 $A B C D$ 上的动点，则（）

A、四边形 $B_{1} B D D_{1}$ 为矩形 B、 $\vec{A A_{1}}$ 在 $\vec{A C_{1}}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{3} \vec{A C_{1}}$ C、点 $B$ 到直线 $A C_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、若直线 $D_{1} P$ 与直线 $A B$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，则点 $P$ 的轨迹为双曲线

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19、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C : (m - 1) x^{2} + (3 - m) y^{2} = 1$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $3 > m > 1$ ，则 $C$ 是椭圆 B、若 $2 > m > 1$ ，则 $C$ 是焦点在 $x$ 轴的椭圆 C、若 $m < 1$ ，则 $C$ 是焦点在 $y$ 轴的双曲线 D、若 $m = 3$ ，则 $C$ 是直线 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

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20、已知 $Q$ 是椭圆 $M : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 3)$ 上的动点：若动点 $Q$ 到定点 $P (2, 0)$ 的距离 $|P Q|$ 的最小值为1，则椭圆 $M$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{6}}{3}]$ D、 $[\frac{2}{3}, 1)$

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