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相关试卷

1、已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 1$ ，则 $|z|$ 为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $1$ D、 $\frac{1}{4}$

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2、设 $k \in R$ ，若方程 $\frac{x^{2}}{4 - k} + \frac{y^{2}}{6 + k} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则 $k$ 的取值围是．

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3、如图，边长为2的正方体的一个顶点A在平面 $α$ 内，其余顶点在 $α$ 的同侧，且点B和点D到平面 $α$ 的距离均为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则平面 $A_{1} C_{1} D$ 与平面 $α$ 的夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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4、在 $△ A B C$ 中， $B C, A C, A B$ 边的长分别为 $a, b, c$ .

(1)、利用向量知识证明： $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ ；

(2)、在 $△ A B C$ 中， $a = 6, b - c = 1, \sin C = \frac{\sqrt{7}}{4}$ .求 $b$ 的值及 $△ A B C$ 的面积.

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5、点 $P$ 在函数 $y = e^{x}$ 的图像上，点 $Q$ 在函数 $y = ln x$ 的图像上，则 $|P Q|$ 的最小值为.

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6、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，满足 $f (x) = 2 f (x - 1)$ ，且当 $x \in (- 1, 0]$ 时， $f (x) = - \frac{1}{2} x (x + 1)$ ．若对任意 $x \in (- \infty, m]$ ，都有 $f (x) \leq \frac{21}{25}$ ，则 $m$ 的最大值是．

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7、在 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{8}$ 的展开式中，下列说法正确的是( )

A、常数项是 $1120$ B、第四项和第六项的系数相等 C、各项的二项式系数之和为 $256$ D、各项的系数之和为 $256$

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8、已知函数 $y = f (x)$ 定义域为 $(0, + \infty)$ ， $f^{'} (x)$ 为其导函数，若 $x f^{'} (x) - 2 f (x) > 0$ 恒成立，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$ ，则不等式 $f (x) < x^{2}$ 的解集为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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9、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的两个焦点，以线段 $F_{1} F_{2}$ 为边作正三角形 $M F_{1} F_{2}$ ，若边 $M F_{1}$ 的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + 2}{2}$ C、 $\sqrt{3} + 1$ D、 $4 + 2 \sqrt{3}$

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10、△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $b = 2 a \sin B$ ， $b c = 4$ ，则△ABC的面积为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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11、复数 $z = \frac{4 + 3 i}{1 - 2 i}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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12、已知函数 $y = f (x)$ ，若其定义域为 $(0, + \infty)$ ，且满足 $f^{'} (x) - \frac{1}{x} f (x) + \frac{1}{x} > 0$ 对一切 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，则称 $f (x)$ 为一个“反比函数”．

(1)、设 $g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 1 (x > 0)$ ，判断 $y = g (x)$ 是否为“反比函数”，并说明理由；

(2)、若 $a < 1 - \frac{1}{2 e^{4}}$ ，求证：函数 $y = a x - 3 - \ln x - \frac{1 - a}{x}$ 是“反比函数”；

(3)、已知“反比函数” $y = f (x)$ 满足对任意的 $x_{1}, x_{2} > 0$ ，都有 $f (x_{1} + x_{2}) \leq f (x_{1}) f (x_{2})$ ，且 $f (1) = 2$ ，求证：对任意的 $a \leq 1$ ，关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 无解．

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13、已知 $f (x) = \frac{x e^{x}}{e^{x} - 1} - 1$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若方程 $(\ln x + m) [f (x) + 1] = e^{x}$ 有两个不同的实数解 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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14、随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活．现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”．某市 $M$ 社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
喜欢网上买菜
不喜欢网上买菜
合计
年龄不超过45岁的市民
40
10
50
年龄超过45岁的市民
20
30
50
合计
60
40
100

(1)、试根据 $α = 0.05$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，分析 $M$ 社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄是否有关；

(2)、 $M$ 社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜，如果周一选择 $A$ 平台买菜，那么周二选择 $A$ 平台买菜的概率为 $\frac{4}{5}$ ，如果周一选择 $B$ 平台买菜，那么周二选择 $A$ 平台买菜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，求小张周二选择 $B$ 平台买菜的概率．
参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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15、高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，创新研发是高质量发展的重要前提．某公司研发新产品的投入 $x$ （单位：百万元）与该产品的收益 $y$ （单位：百万元）的5组统计数据如下表所示，且经验回归方程为 $\hat{y} = 2.8 x + 2.6$ ．
x
5
6
8
9
12
y
16
20
25
28
$m$

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若将图表中的点 $(8, 25)$ 去掉，判断样本相关系数 $r$ 是否改变，并说明你的理由．
参考数据：样本相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$

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16、一项工程在某阶段内的施工效率为 $k (d) = \frac{d}{d^{2} - 8 d + 4}$ ，另一相关工程在阶段内完成的工作量为 $h (p) = p^{2} + 2 a p - a^{2}$ ．若对任意的 $d_{1} \in [1, 3]$ ，总存在 $p_{2} \in [0, 1]$ ，使得 $k (d_{1}) \cdot h (p_{2}) = 1$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为．

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17、某果园有单棵产量为95千克的“高产果树”3棵，有单棵产量为55千克的“低产果树”2棵，从这5棵果树中任意抽取2棵，则2棵果树的产量之和 $X$ 的方差为．

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{1 - x} - 1, x \leq 0 \\ \log_{2} x, x > 0 \end{array}$ ，则 $f (x) \geq 1$ 的解集为．

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19、已知函数 $f (x) = x^{3} - |3 x^{2} - 3|$ ，则（）

A、 $f (x)$ 只有2个极小值点 B、曲线 $y = f (x)$ 在点 $(3, f (3))$ 处的切线斜率为3 C、当 $f (x) - m$ 有3个零点时， $m$ 的取值范围为 $(- 3, 1)$ D、当 $f (x) - m$ 只有1个零点时， $m$ 的取值范围为 $(- \infty, - 3) \cup (1, + \infty)$

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20、下列命题正确的是（）

A、若实数 $a, b$ 满足 $a > b > 0$ ，则 $\frac{b}{a} > \frac{b + 2}{a + 2}$ B、若 $- 5 < a < 2, 1 < b < 4$ ，则 $3 a - b$ 的取值范围是 $(- 19, 5)$ C、若正实数 $x, y$ 满足 $x + y = 1$ ，则 $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ D、若正实数 $x, y$ 满足 $x + y = 1$ ，则 $x^{x} \cdot y^{y} \leq \frac{1}{2}$

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	喜欢网上买菜	不喜欢网上买菜	合计
年龄不超过45岁的市民	40	10	50
年龄超过45岁的市民	20	30	50
合计	60	40	100

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

x	5	6	8	9	12
y	16	20	25	28	$m$