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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中， $B C$ ， $A C$ 边上的两条中线 $A M$ ， $B N$ 相交于点 $P$ ，若 $A B : A M : A C = 6 : 7 : 10$ .

(1)、用 $\vec{A B}, \vec{A C}$ 表示 $\vec{A M}, \vec{B N}$ ；

(2)、求 $∠ B A C$ ；

(3)、若 $\vec{A M} \cdot \vec{B N} = - 2$ ，求四边形 $P M C N$ 的面积.

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2、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}, ∠ B_{1} B C = 60^{°}$ ，点 $M$ 为BC中点.

(1)、证明： $A_{1} B / /$ 平面 $A M C_{1}$ ；

(2)、若 $A B = A C = B C = 2 C C_{1}$ ，求直线AC与平面 $A M C_{1}$ 所成角的正弦值.

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3、为检验甲、乙两家企业生产的产品质量，现从两家企业生产的产品中分别随机抽取100件，并分析其质量指标值.经检测，甲企业生成的产品质量指标值的频数分布表如下表所示，乙企业生成的产品质量指标值的频率分布直方图如下图所示.
质量指标值
$[100, 110)$
$[110, 120)$
$[120, 130)$
$[130, 140)$
$[140, 150)$
频数
20
30
30
10
10

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值，并比较甲、乙两家企业生产的产品质量指标值的平均数大小（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）；

(2)、现采用样本量比例分配的分层随机抽样，从乙企业生产的产品质量指标值在 $[120, 130)$ 和 $[130, 140)$ 两组中抽取5件产品，再从中随机抽取2件进行分析，求这2件产品均来自同一组的概率.

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4、已知函数 $f (x) = a - \frac{2}{2^{x} + 1}$ 为奇函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x) < \frac{2}{3}$ ，求 $x$ 的取值范围.

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, c = 2 b$ ，则 $\frac{a}{b \sin B}$ 的最小值为.

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6、已知圆台的上下底面半径分别为2，3，侧面积为 $5 \sqrt{2} π$ ，则该圆台的体积为.

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7、已知向量 $\vec{a} = (5, - 1), \vec{b} = (3, 2)$ ，且 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ .

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8、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E$ 为 $A_{1} D$ 上一动点， $F$ 为棱 $A B$ 的中点，则（）

A、四面体 $B_{1} C E F$ 的体积为定值 B、存在点 $E$ ，使 $E F ⊥$ 平面 $A C B_{1}$ C、二面角 $A_{1} - D F - A$ 的正切值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、当 $E$ 为 $A_{1} D$ 的中点时，四面体 $A D E F$ 的外接球表面积为 $5 π$

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9、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}$ ，则（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $4 π$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6}, 0)$ 对称 D、为了得到函数 $f (x)$ 的图象，只需把函数 $y = 2 \cos \frac{x}{2}$ 的图象向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位

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10、已知 $a > b > 1, c > 0$ ，则（）

A、 $a c^{2} > b c^{2}$ B、 $c^{a} > c^{b}$ C、 $a^{c} > b^{c}$ D、 $\log_{a} c > \log_{b} c$

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11、已知A，B为样本空间 $Ω$ 中的两个随机事件，其中 $n (Ω) = 24, n (A) = 12, n (B) = 8$ ， $n (A \cup B) = 16$ ，则（）

A、事件 $A$ 与 $B$ 互斥 B、 $P (\bar{A} \bar{B}) = \frac{1}{2}$ C、事件 $A$ 与 $B$ 相互独立 D、 $P (\bar{A} B + A \bar{B}) = \frac{2}{3}$

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12、若函数 $f (x) = \log_{2} (x^{2} - a x)$ 在区间 $(1, 2)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, 2]$

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13、已知 $α, β, γ$ 是三个不同的平面，且 $α ⊥ β$ ，则“ $γ / / α$ ”是“ $γ ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、下列函数中，既是偶函数，又在 $(0, + \infty)$ 上单调递减的是（）

A、 $f (x) = e^{| x |}$ B、 $f (x) = \ln | x |$ C、 $f (x) = x^{- 2}$ D、 $f (x) = \sin | x |$

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15、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 是夹角为 $120^{°}$ 的两个单位向量，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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16、已知 $\tan α = - 2, α \in (0, π)$ ，则 $\sin α =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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17、已知集合 $A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {x ∣ 2 x > 9}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${8, 10}$ B、 ${6, 8, 10}$ C、 ${4, 6, 8, 10}$ D、 ${2, 4, 6, 8, 10}$

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18、在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(1, 2)$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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19、在 ${(a x + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，前三项的二项式系数之和等于 $79$ .

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、若展开式中的常数项为 $\frac{55}{2}$ ，试求展开式中系数最大的项.

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20、已知函数 $h (x) = e^{x}$ （e是自然对数底数），函数 $y = φ (x)$ 的图象与函数 $y = h (x)$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称．令 $f (x) + g (x) = h (x)$ ，其中 $f (x)$ ， $g (x)$ 分别为奇函数、偶函数．

(1)、求 $y = h (x) φ (x)$ 在 $[1, e]$ 上的最大值；

(2)、求 $g (x)$ ，并证明 $\frac{g (x_{1}) + g (x_{2})}{2} \geq g (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ ；

(3)、求证： $δ (x) = φ (x) + φ (x + 2) + x$ 仅有1个零点 $x_{0}$ ，且 $φ (e x_{0}) < h (x_{0} + \ln x_{0})$ ．

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质量指标值	$[100, 110)$	$[110, 120)$	$[120, 130)$	$[130, 140)$	$[140, 150)$
频数	20	30	30	10	10