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相关试卷

1、已知 $\vec{b}$ 为一个单位向量， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = 120 °$ ，若 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影为 $- 2 \vec{b}$ ，则 $|\vec{a}| =$ .

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2、如图， $A C$ 为正圆锥 $S O$ 底面圆 $O$ 的直径，点 $B$ 是圆 $O$ 上异于 $A C$ 的动点， $S O = O C = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、圆锥 $S O$ 的侧面积为 $4 \sqrt{2} π$ B、三棱锥 $S - A B C$ 体积的最大值为 $\frac{8}{3}$ C、 $∠ S A B$ 的取值范围是 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{3})$ D、三棱锥 $S - A B C$ 体积最大时，其内切球半径为 $4 - 2 \sqrt{3}$

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3、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c = \sqrt{2}$ ，则下列选项正确的是（）

A、若 $B = \frac{π}{4}$ ， $1 < b < \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 有两解 B、若 $B \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $b > \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 无解 C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $B = 2 C$ ，则 $C \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ D、若 $A + B = 2 C$ ，则 $a + b$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$

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4、长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点， $P$ 为 $A D_{1}$ 与 $A_{1} D$ 的交点， $A B = 4$ ， $B C = B B_{1} = 2$ ，四面体 $P - M N C$ 的四个顶点在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $9 π$ B、 $18 π$ C、 $24 π$ D、 $27 π$

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5、如图所示，已知点G是 $△ A B C$ 的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设 $\vec{A M} = x \vec{A B}, \vec{A N} = y \vec{A C}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E，F分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点，则平面 $A E F$ 截正方体所得的截面面积为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、9 D、18

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7、四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面的边长分别为 $40 c m, 20 c m$ ，高为 $24 c m$ ），则四羊方尊的容积约为（　　）

A、 $22400 {c m}^{3}$ B、 $32400 {c m}^{3}$ C、 $44800 {c m}^{3}$ D、 $67200 {c m}^{3}$

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8、△ABC中， $\frac{\cos A}{\cos B} = \frac{a}{b}$ ，则△ABC一定是

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形

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9、已知底面半径为 $2$ 的圆锥的体积为 $8 π$ ，则圆锥的高为（）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $6$ D、 $8$

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10、在复数范围内，方程 $(x + 4) (x^{2} + 4) = 0$ 的解集为．

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11、在高为3的正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = 4$ ，且上底面的面积为 $\sqrt{3}$ ，则（）

A、直线 $A A_{1}$ 与 $C C_{1}$ 异面 B、直线 $A B$ 与 $B_{1} C_{1}$ 异面 C、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $7 \sqrt{3}$ D、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $8 \sqrt{3}$

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12、如图， $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 表示水平放置的 $△ O A B$ 根据斜二测画法得到的直观图， $O^{'} A^{'}$ 在 $x^{'}$ 轴上， $A^{'} B^{'}$ 与 $x^{'}$ 轴垂直，且 $O^{'} A^{'} = \sqrt{2}$ ，则 $△ O A B$ 中 $O A$ 边上的高为（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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13、已知 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，且 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\vec{b}$ B、 $- \vec{b}$ C、 $\vec{a}$ D、 $- \vec{a}$

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14、若 $\frac{z + 2}{z} = i$ ，则 $z (z + 2 i) =$ （）

A、 $2 i$ B、2 C、 $- 1 + 3 i$ D、 $1 - 3 i$

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15、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{a x}{e^{x}}$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，记函数 $f (x)$ 的导数为 $f^{'} (x)$ ，求 $f^{'} (0)$ 的值.

(2)、当 $a = 1$ ， $x \geq 1$ 时，证明： $f (x) > \frac{3}{2} cos x$ .

(3)、当 $a \geq 2$ 时，令 $g (x) = e^{x} [a + 1 - f (x)]$ ， $g (x)$ 的图象在 $x = m$ ， $x = n (m < n)$ 处切线的斜率相同，记 $g (m) + g (n)$ 的最小值为 $h (a)$ ，求 $h (a)$ 的最小值.
（注： $e = 2.71828 \dots$ 是自然对数的底数）.

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16、某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：
性别
速度
合计
快
慢
男生
65
女生
55
合计
110
200

(1)、根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？

(2)、现有n $(n \in N^{*})$ 根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.
（i）当 $n = 3$ ，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；
（ii）求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为 $\frac{2^{2 n - 1} \cdot n! (n - 1)!}{(2 n)!} .$
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d .$
$P (K^{2} \geq k)$
0.100
0.050
0.025
0.010
k
2.706
3.841
5.024
6.635

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD， $P A = P D = \sqrt{5}$ ，点E是线段AD的中点， $\vec{C M} = 2 \vec{M P}$ .

(1)、证明： $P E$ //平面BDM；

(2)、求平面AMB与平面BDM的夹角.

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18、某中学的A､B两个班级有相同的语文､数学､英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有种不同的排课方式.（用数字作答）

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19、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + a (e^{x - 1} + e^{- x + 1})$ 有唯一零点，则 $a =$

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20、如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，设平面 $A B_{1} C_{1} \cap$ 平面 $A B C = l$ ，点 $E, F$ 分别在直线 $l$ 和直线 $B B_{1}$ 上，且满足 $E F ⊥ l, E F ⊥ B B_{1}$ .

(1)、证明： $E F ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、若直线 $E F$ 和平面 $A B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求该三棱台的体积.

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性别	速度		合计
性别	快	慢	合计
男生	65
女生		55
合计	110		200

$P (K^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.025	0.010
k	2.706	3.841	5.024	6.635