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相关试卷

1、已知离散型随机变量 $X$ 的分布列如下表：
$X$
0
1
2
$P$
0.3
$4 a$
$3 a$
若离散型随机变量 $Y = 3 X - 2$ ，则 $Y$ 的方差 $D (Y) =$ （）

A、0.6 B、5.4 C、1 D、3.4

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2、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} a_{3} a_{4} = 8$ ，则 ${log}_{2} a_{1} + {log}_{2} a_{5} =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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3、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，且 $P (ξ \leq 1) = 0.4$ ，则 $P (2 \leq ξ \leq 3) =$ （）

A、0.6 B、0.2 C、0.1 D、0.4

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4、若 $A_{n}^{2} = C_{n}^{3}$ ，则 $n =$ （）

A、6 B、7 C、8 D、9

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5、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\sqrt{3} c = b (sin A + \sqrt{3} cos A)$ ， $cos (\frac{π}{3} - A) sin (\frac{π}{6} + A) = \frac{3}{4}$ ，则△ABC的形状为（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不确定

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6、已知 $f (x) = x^{2} - 2 a \ln x$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论 $y = f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $y = f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ．
（ⅰ）求实数 $a$ 的取值范围；
（ⅱ） $x_{0}$ 是 $y = f (x)$ 的极值点，求证： $x_{1} + 3 x_{2} > 4 x_{0}$ ．

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7、设 ${(x + 3)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ .

(1)、求 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ ；

(2)、若 $a_{5}$ 是 $a_{0}$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ 中唯一的最大值，求 $n$ 的所有可能取值；

(3)、若 ${(x + 3)}^{n} = b_{0} + b_{1} (x + 2) + b_{2} {(x + 2)}^{2} + \dots + b_{n} {(x + 2)}^{n}$ ，求 $\sum_{r = 1}^{n} \frac{b_{r - 1}}{r}$ .

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8、根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量 $y$ （单位：百千克）与某种液体肥料每亩使用量 $x$ （单位：千克）之间的对应数据的散点图如图所示．

(1)、依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，请计算相关系数 $r$ ，并说明线性相关性的强弱（相关系数 $r$ 精确到小数点后2位，若 $| r | > 0.75$ ，则线性相关程度很高）；

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量 $y$ 约为多少百千克．
附：数据和公式： $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 6; \sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 20; \sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 2; \sqrt{10} \approx 3.16$ ；回归方程： $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．相关系数： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ．

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9、若 ${(3 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 展开式前三项的二项式系数之和为22．

(1)、求展开式中二项式系数最大的项及所有二项式系数和；

(2)、求展开式中的常数项．

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10、在 $(\frac{x}{2} - y) {(x + y)}^{6}$ 的展开式中，x²y⁵项的系数是.

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11、学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为 $n$ 的样本，其频率直方图如图所示，其中支出在[20，30）内的同学有10人，则 $n$ 的值为．

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12、现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加 $A, B, C$ 三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（）

A、不同的安排方法共有 $3^{4}$ 种 B、若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有 $C_{3}^{1} (2^{4} - 1)$ 种 C、若甲，乙两人都不能去参加 $A$ 项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D、若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有36种

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13、若点 $M$ 是曲线 $y = \frac{3}{2} x^{2} - 2 \ln x$ 上任意一点，则 $M$ 到直线 $x - y - 2 = 0$ 的距离的最小值为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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14、下列说法中错误的是（）

A、样本数据3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数是8 B、线性回归直线 $y = \hat{a} x + \hat{b}$ 一定经过样本点的中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ C、两个随机变量相关系数 $r$ 越小，表明两个变量相关性越弱 D、两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好

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15、若曲线 $y = \ln x$ 与曲线 $y = x^{2} + 2 x + a (x < 0)$ 有公切线，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \ln 2 - 1, + \infty)$ B、 $[- \ln 2 - 1, + \infty)$ C、 $(- \ln 2 + 1, + \infty)$ D、 $[- \ln 2 + 1, + \infty)$

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16、已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x} （ x > 0 ）， g (x) = x （ x > 0 ）， φ (x) = (m + 1) x - 2 (m^{2} + 1) （ x > 0 ） .$

(1)、对于函数 $f_{1} (x) ， f_{2} (x) ， f_{3} (x)$ ，如果存在实数a，b使得 $f_{3} (x) = a \cdot f_{1} (x) + b \cdot f_{2} (x)$ ，那么称 $f_{3} (x)$ 为 $f_{1} (x) ， f_{2} (x)$ 的生成函数，据此生成函数的定义，判断是否存在实数m使 $φ (x)$ 成为函数 $f (x) ， g (x)$ 的生成函数，若存在请求出m的值，若不存在请说明理由.

(2)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = g (x_{3}) ，$ 其中 $x_{1} < x_{2} ，$ 求 $f (x_{1} + x_{2}) + g (x_{3})$ 的取值范围.

(3)、若x，m均为正整数，求函数 $h (x) = g (x) \cdot φ (x)$ 的最小值 $p (m)$ （用m表示）及 $p (m)$ 的最大值.

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17、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90^{\circ}, A_{1} A = A_{1} B = A_{1} C$ ，且D为BC的中点， $D_{1}$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、若 $A B = A C$ ，求证： $A_{1} D_{1} ⊥ A_{1} B C;$

(2)、若 $A B = A C = 2, A_{1} A = 4$ ，求直线 $A_{1} B$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值

(3)、若 $B C = 2 \sqrt{2}, A_{1} A = 4$ ，求二面角 $A_{1} - B C - C_{1}$ 的正弦值的最大值.

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18、如图， $△ O A B$ 是等边三角形， $∠ A O C = 45^{\circ}, O C = \sqrt{2}$ ， A，B，C三点共线，D是线段BC上的任意点（不含端点）.

(1)、求 $\vec{O B} \cdot \vec{B C}$ 的值；

(2)、若 $\vec{O D} = x \vec{O B} + y \vec{O C} (x, y \in R) ，$ 求 $\frac{(x + 1) (y + 1)}{x y}$ 的最小值.

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19、2025年4月15日~5月5日春季广交会期间，出口意向成交额249.5亿美元. “一带一路”共建国家成交占比过半，欧美传统市场成交实现增长.现从某出口贸易展馆随机抽取了100名观展人员，统计他们的观展时间（从进入至离开该展馆的时长，单位：分钟，取整数），将时间分成 $[45,55), [55,65), \dots, [85,95]$ 五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、求图中a的值；

(2)、由频率分布直方图，试估计该样本数据的第75百分位数（保留一位小数）以及该样本数据的平均数（每组数据以区间的中点值为代表）；

(3)、展馆举办方为了进一步了解所抽取的100名观展人员对展品的评价，现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从参观时间在 $[45,55)$ 和 $[85,95]$ 内的观展人员中抽取5人，再从中随机挑出两人进行详细调研，求两人分别来自于观展时间在 $[45,55)$ 和 $[85,95]$ 的概率.

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20、已知函数 $f (x) = 2 {sin}^{2} (x + \frac{π}{12}) + sin 2 x .$

(1)、若直线 $x = m$ 是函数 $f (x)$ 图像的对称轴（其中 $m$ 是正实数），求 $m$ 的最小值；

(2)、若锐角 $△ A B C$ 满足 $f (A) = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} ，$ 求 $f (B)$ 的取值范围.

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$X$	0	1	2
$P$	0.3	$4 a$	$3 a$