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相关试卷

1、已知A､B为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1(a>b>0)和双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1的公共顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，且满足 $\vec{A P} + \vec{B P} = λ (\vec{A Q} + \vec{B Q}) (λ \in R, | λ | > 1)$ ，设直线AP､BP､AQ､BQ的斜率分别为k₁､k₂､k₃､k₄.
（1）求证：点P､Q､O三点共线；
（2）当a=2，b= $\sqrt{3}$ 时，若点P､Q都在第一象限，且直线PQ的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，求△BPQ的面积S；
（3）若F₁､F₂分别为椭圆和双曲线的右焦点，且QF₁ $/ /$ PF₂ ，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值.

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2、如图，圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的体积为 $4 \sqrt{3} π$ ，侧面积也为 $4 \sqrt{3} π$ ， AB为 $⊙ O_{2}$ 的直径，C，D分别为上、下底面圆周上的点，且直线CD与 $O_{1} O_{2}$ 交于点O．

(1)、求圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的高；

(2)、证明： $C O = D O$ ；

(3)、若直线AC与下底面所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求平面ACD与平面BCD夹角的余弦值．

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3、某乒乓球运动员练习接发球，陪练教练每次发球有 $\frac{1}{3}$ 的概率发左旋球，有 $\frac{2}{3}$ 的概率发右旋球，且该运动员可以通过陪练教练的发球动作，准确地判断发出的是左旋球还是右旋球.根据以往训练数据，该乒乓球运动员能成功接左旋球的概率是 $\frac{1}{2}$ ，能成功接右旋球的概率是 $p (0 < 0 < 1)$ .在某次训练的连续两次接发球中，设该运动员成功接到左旋球的次数为随机变量 $X$ ，成功接到右旋球的次数为随机变量 $Y$ .

(1)、若 $p = \frac{1}{2}$ ，求该运动员两次接发球均成功的概率；

(2)、若 $E (X) > E (Y)$ ，求 $p$ 的取值范围.

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4、已知函数 $f (x) = x - \ln x - 2$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $(e, e - 3)$ 处的切线方程；

(2)、若 $a \geq 0$ ， $g (x) = a x^{2} - 2 (a x + 1) - f (x)$ ，讨论函数 $g (x)$ 的单调性.

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5、已知函数 $f (x) = 2 x + 1$ ，记 $f^{(2)} (x) = f (f (x)) = 2 (2 x + 1) + 1 = 4 x + 3$ 为函数 $f (x)$ 的2次迭代函数， $f^{(3)} (x) = f (f (f (x))) = 4 (2 x + 1) + 3 = 8 x + 7$ 为函数 $f (x)$ 的3次迭代函数，…，依次类推， $f^{(n)} (x) = \underset{n 个}{\underset{⏟}{f (f (f (\cdot \cdot \cdot f (x) \cdot \cdot \cdot)))}}$ 为函数 $f (x)$ 的n次迭代函数，则 $f^{(n)} (x) =$ ； $f^{(100)} (32)$ 除以17的余数是.

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6、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，公差为d，已知 $a_{1} < 0$ 且 $2 a_{1} + 7 d = 0$ ．则使 $S_{n} > 0$ 成立的最小正整数n的值为．

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7、从一批棉花中随机抽测了8根棉花的纤维长度（单位： $m m$ ），其数据为88，89，76，101，121，89，90，90，则该组数据的第60百分位数为.

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8、如图，在棱长为 $4$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别是棱 $A_{1} B_{1}$ ， $D D_{1}$ 的中点， $G$ 为底面 $A B C D$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、当 $G$ 为 $A D$ 的中点时， $E F ⊥ C G$ B、若 $G$ 在线段 $B D$ 上运动，三棱锥 $A - G E F$ 的体积为定值 C、存在点 $G$ ，使得平面 $E F G$ 截正方体所得的截面面积为 $12 \sqrt{3}$ D、当 $G$ 为 $A D$ 的中点时，三棱锥 $A_{1} - E F G$ 的外接球表面积为 $\frac{236 π}{9}$

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9、下面命题中是真命题的有（）

A、 $△ A B C$ 中，若 $sin A > sin B$ ，则 $A > B$ B、若一个扇形所在圆的半径为2，其圆心角为2弧度，则扇形的周长为4 C、函数 $f (x) = sin x + \frac{4}{sin x}$ 的最小值为4 D、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 a^{x} - 1, x \leq 1, \\ {log}_{a} x, x > 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为 $[\frac{1}{2}, 1)$ .

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，若 $c = 3, b = 2, ∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 的长为 $\frac{4 \sqrt{6}}{5}$ ，则 $B C$ 边上的高线 $A H$ 的长等于（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ C、2 D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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11、设点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ （ $a > 0$ ）的左、右焦点，过点 $F_{1}$ 且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若 $△ A B F_{2}$ 的面积为 $2 \sqrt{6}$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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12、设 $i$ 为虚数单位，则复数 $z = \frac{| 1 - \sqrt{3} i |}{1 + i}$ 的共轭复数是

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $2 + i$

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, S_{n}$ 是 $3 a_{n}$ 与 $- 3$ 的等差中项；数列 $\{b_{n}\}$ 中 $b_{1} = 1, b_{n} - b_{n - 1} = n (n \geq 2)$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{1}{2 b_{n} - n}$ ，证明： $c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n} < \frac{7}{4}$ ；

(3)、设 $T_{n} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{3}{a_{2}} + \frac{5}{a_{3}} + \dots + \frac{2 n - 1}{a_{n}}$ ，求 $T_{n}$ .

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14、如图，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A B E F$ ，正方形 $A B C D$ 的边长为4，四边形 $A B E F$ 为矩形， $A F = 2$ ，点 $G$ 在 $E F$ 上，若三棱锥 $C - A B G$ 的四个顶点都在半径为 $\frac{\sqrt{129}}{4}$ 的球 $O$ 的球面上，则 $F G =$ .

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15、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，右焦点为 $F_{2}$ ，若椭圆上存在一点 $P$ ，满足线段 $P F_{2}$ 与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段 $P F_{2}$ 的中点，则该椭圆的离心率为.

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16、数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = 1 - 2 + 3 - 4 + \cdot \cdot \cdot + {(- 1)}^{n - 1} \cdot n$ ，则 $S_{17} =$ .

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17、（多选）物体运动方程为 $s (t) = 3 t^{2}$ （位移单位： $m$ ，时间单位： $s$ ），若 $v = \lim_{Δ t \to 0}$ $\frac{s (3 + Δ t) - s (3)}{Δ t} = 18 m / s$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $18 m / s$ 是物体从开始到 $3 s$ 这段时间内的平均速度 B、 $18 m / s$ 是物体从 $3 s$ 到 $(3 + Δ t) s$ 这段时间内的速度 C、 $18 m / s$ 是物体在 $3 s$ 这一时刻的瞬时速度 D、 $18 m / s$ 是物体从 $3 s$ 到 $(3 + Δ t) s$ 这段时间内的平均速度的极限值

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18、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = sin \frac{(n + 1) π}{2}$ ，记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{18} =$ （）

A、0 B、18 C、10 D、9

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19、已知数列 ${a_{n}}$ 的通项为 $a_{n} = n - 3$ ，若 $a_{4}, a_{6}, a_{m}$ 成等比数列，则 $m =$ （）

A、9 B、12 C、15 D、18

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20、已知函数 $g (x) = (a + 1) e^{x} - \frac{e^{2 x}}{2} - a x - 3$ （ $a \in R$ 且 $a \geq 2$ ）

(1)、判断 $g (x)$ 的单调性；

(2)、若m，n为方程 $g^{'} (x) = t (t \geq 0)$ 的两个根 $(m < n)$ ，求 $g (m) + g (n)$ 的最小值．

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