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相关试卷

1、已知 $tan (x + π) = \sqrt{3}$ ，则 $\frac{1}{{cos}^{2} x} =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $4$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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2、设集合 $A = \{x |0 \leq x < 4\}$ ， $B = \{x |- 1 \leq x < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, 4)$ B、 $(0, 2)$ C、 $[- 1, 4)$ D、 $[0, 2)$

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3、如图，在 $△ A B C$ 中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点 $O$ .若 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A C} = 6 \overset{⇀}{A O} \cdot \overset{⇀}{E C}$ ，则 $\frac{A B}{A C}$ 的值是.

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4、在 ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{4}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数等于（）

A、6 B、12 C、18 D、24

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5、玻璃的透光性是玻璃的一项重要的性能指标．某玻璃厂在进行产品的性能测试时，发现光线通过一块玻璃，强度要损失10%．设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后，光线强度为 $y = k \cdot {0.9}^{x}$ ，要使光线削弱为原来的 $\frac{1}{5}$ ，至少需要通过几块这样的玻璃？（已知 $lg 3 \approx 0.477$ ， $lg 2 \approx 0.301$ ）（）

A、13 B、14 C、15 D、16

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6、猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．规则如下：参赛选手按第一关，第二关，第三关的顺序依次猜歌名闯关，若闯关成功则依次分别获得公益基金 $1000$ 元， $2000$ 元， $3000$ 元，当选手闯过一关后，可以选择游戏结束，带走相应公益基金；也可以继续闯下一关，若有任何一关闯关失败，则游戏结束，全部公益基金清零．假设某嘉宾第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分别是 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ，该嘉宾选择继续闯第二关、第三关的概率分别为 $\frac{3}{5}, \frac{1}{2}$ .

(1)、求该嘉宾获得公益基金 $1000$ 元的概率；

(2)、求该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率；

(3)、求该嘉宾获得的公益基金总金额的分布列及数学期望． $$

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7、已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - b x + 10$ 在 $x = 2$ 处取得极值 $- 2$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程．

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8、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (1) = - 2$ ，对任意 $x \in R$ ， $f^{'} (x) > 3$ 恒成立，则 $f (x) > 3 x - 5$ 的解集为．

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9、已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占 $80 %$ ，乙厂产品占 $20 %$ ，甲厂产品的合格率是 $75 %$ ，乙厂产品的合格率是 $80 %$ ，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是．

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10、如图， $P_{1}$ 是一块半径为1的半圆形纸板，在 $P_{1}$ 的左下端剪去一个半径为 $\frac{1}{2}$ 的半圆后得到图形 $P_{2}$ ，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个剪掉半圆的半径）得图形 $P_{3}, P_{4}, \dots, P_{n}, \dots$ ，记纸板 $P_{n}$ 的周长为 $L_{n}$ ，面积为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $L_{2} = \frac{3}{2} π + 1$ B、 $S_{4} = \frac{23}{64} π$ C、 $L_{n} - L_{n - 1} = \frac{π - 2}{2^{n - 1}}$ D、 $S_{n} = \frac{π}{9} (4 + \frac{1}{2^{2 n - 1}})$

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11、已知 ${(1 + x)}^{n}$ 的展开式中第3项与第7项的系数相等，则（）

A、 $n = 8$ B、 ${(1 + x)}^{n}$ 的展开式中 $x^{2}$ 项的系数为56 C、奇数项的二项式系数和为128 D、 ${(1 + x - y^{2})}^{n}$ 的展开式中 $x y^{2}$ 项的系数为 $- 56$

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12、如图，这是函数 $f (x)$ 的导函数的图象，则（）

A、 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极大值 B、 $x = 4$ 是 $f (x)$ 的极小值点 C、 $f (x)$ 在 $(2, 4)$ 上单调递减 D、 $f (3)$ 是 $f (x)$ 的极小值

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13、若函数 $f (x) = x^{2} - a x + \ln x$ 在区间 $(1, e)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[3, + \infty)$ B、 $(- \infty, 3]$ C、 $[3, e^{2} + 1]$ D、 $(- \infty, 2 \sqrt{2}]$

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14、甲、乙、丙三名高一学生都已选择物理、化学两科作为自己的高考科目，三人独自决定从政治、历史、地理、生物、技术中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，则不同的选法种数为（）

A、 $5^{3}$ B、 $3^{5}$ C、 $A_{5}^{3}$ D、 $3 C_{5}^{1}$

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15、已知函数 $f (x) = 2025 tan (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ 上单调，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 1]$ B、 $(0, \frac{2}{3}) \cup [1, \frac{9}{2})$ C、 $(1, \frac{7}{2}]$ D、 $(0, \frac{1}{2}] \cup [1, \frac{7}{2}]$

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16、已知函数 $f (x) = a e^{x} - \frac{1}{3} x^{3} + 3 x (a \in R)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $a > 0, g (x) = \frac{x [f (x) + \frac{1}{3} x^{3} - 3 x] - e^{x}}{x - 1}$ 在 $(2, + \infty)$ 上不单调，求 $a$ 的取值范围；

(3)、已知 $h (x) = \frac{f^{'} (x) - 3}{x} + ln x$ ，若 $h (x)$ 在定义域内有三个不同的极值点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，且满足 $h (x_{1}) \cdot h (x_{2}) \cdot h (x_{3}) \geq \frac{1}{e} - 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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17、甲､乙两名操作员对 $A, B, C$ 三种电子信息传递元件进行随机连接检测，并制定如下标准：第一次由 $A$ 元件将信息传出，每次传递时，传递元件都等可能地将信息传递给另外两个元件中的任何一个，若第三次传递后，信息在 $A$ 元件中，则该组检测成功，否则该组检测失败.若该组检测成功，则由原操作员继续操作下一组检测；反之，则由另一操作员按上述规则继续操作下一组检测.

(1)、求一组随机连接检测成功的概率；

(2)、若第1次从甲开始进行随机连接检测，记在前4次检测中，乙操作的次数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列与期望；

(3)、若第1次从乙开始进行连接检测，求第 $n$ 次由乙操作的概率 $P_{n}$ .

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18、已知双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的焦点相同，且离心率之比为 $3 : 1$ .

(1)、求双曲线 $C_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $l : x - n y + 3 = 0$ 与双曲线 $C_{1}$ 的左､右两支分别交于 $P, Q$ 两点，记点 $P$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $P^{'}$ ，证明：直线 $P^{'} Q$ 过定点，并求出该定点的坐标.

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19、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，底面 $△ B C D$ 是等腰直角三角形， $A D ⊥$ 底面 $B C D, A D = B C = C D = 2, M$ 是 $A D$ 的中点， $P$ 是 $B M$ 的中点，且 $\vec{A Q} + 3 \vec{C Q} = \vec{0}$ .

(1)、证明： $P Q$ $∥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、求直线 $B M$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值.

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20、在研究某类杨树的树高与胸径（树的主干在地面以上 $1.3 m$ 处的直径）之间的关系时，某研究员收集的一些数据如表1所示.

(1)、由表1数据，求胸径 $d$ 与树高 $h$ 的平均值；（胸径 $d$ 精确到 $0.1 cm$ ，树高 $h$ 精确到 $0.1 m$ ）

(2)、根据这些数据，可建立该类杨树树高 $\hat{h}$ （单位： $m$ ）关于胸径 $d$ （单位： $cm$ ）的一元线性回归模型为 $\hat{h} = 0.25 d + \hat{a}$ ，用（1）中结果求 $\hat{a}$ 的值并估计胸径为 $30 cm$ 的该类杨树的树高；（精确到 $0.1 m$ ）

(3)、若这12棵杨树树龄相同，分别种植于南坡和北坡，且成材情况如表2所示，根据 $α = 0.1$ 的独立性检验，能否认为树龄相同的这类杨树是否成材与种植位置有关联？
编号
1
2
3
4
5
6
胸径 $/ cm$
18.1
20.1
22.2
24.4
26.0
28.3
树高 $/ m$
18.8
19.2
21.0
21.0
22.1
22.1
编号
7
8
9
10
11
12
胸径 $/ cm$
29.6
32.4
33.7
35.7
38.3
40.2
树高 $/ m$
22.4
22.6
23.0
24.3
23.9
24.7
表1
种植位置
成材情况
合计
成材
未成材
南坡
5
1
6
北坡
2
4
6
合计
7
5
12
表2
参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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编号	1	2	3	4	5	6
胸径 $/ cm$	18.1	20.1	22.2	24.4	26.0	28.3
树高 $/ m$	18.8	19.2	21.0	21.0	22.1	22.1
编号	7	8	9	10	11	12
胸径 $/ cm$	29.6	32.4	33.7	35.7	38.3	40.2
树高 $/ m$	22.4	22.6	23.0	24.3	23.9	24.7

种植位置	成材情况		合计
种植位置	成材	未成材	合计
南坡	5	1	6
北坡	2	4	6
合计	7	5	12

$α$	0.1	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828