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相关试卷

1、如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{2} A D = 2 \sqrt{3}$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ P D E$ 的位置（如图2），使得 $P C = \sqrt{10}$ .

(1)、求证： $D E ⊥ P C$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值；

(3)、设 $\vec{P F} = λ \vec{P C} (0 < λ < 1)$ ，若二面角 $P - E F - D$ 的正弦值为 $\frac{5}{\sqrt{26}}$ ，求实数 $λ$ 的值.

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2、下列命题中是真命题的有（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} > x - 1$ B、 $\exists x > 0, x^{2} = x$ C、“ $x < 0$ ”是“ $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ ”的充分不必要条件 D、“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件

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3、随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.某校数学兴趣小组对某品牌新能源汽车近 5 年的广告费投入（单位：亿元）进行了统计，具体数据见下表：
年份代号 $x$
1
2
3
4
5
广告费投入 $y$
4.8
5.6
6. 2
7. 6
8. 8
并随机调查了 400 名市民对该品牌新能源汽车的认可情况，得到的部分数据见下表：

认可
不认可
50 岁以下
140
60
50 岁及以上
120
80

(1)、求广告费投入 $y$ 与年份代号 $x$ 之间的线性经验回归方程；

(2)、依据小概率值 $α = 0.05$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，能否认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关联?
附： ① 经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
② $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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4、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $\frac{\sqrt{3} a}{b} = 2 \sin (C + \frac{π}{3})$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $b = 2$ ，过点B作 $B D ⊥ A C$ ， D为垂足，求BD的最大值．

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5、根据相关研究报告显示，预计 $2025$ 年电商交易额突破 $18$ 亿元，网购用户规模接近 $9$ 亿．下表为某网店统计的近 $5$ 个月的利润 $y$ （单位：万元），其中 $x$ 为月份代号．
月份
2024年12月
2025年1月
2025年2月
2025年3月
2025年4月
月份代号 $x$
1
2
3
4
5
利润 $y$ ／万元
8
6.3
5.1
3.2
2.4

(1)、依据表中的统计数据，计算样本相关系数 $r$ （ $r$ 精确到 $0.01$ ），判断是否可以用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系；若可用，求出 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并估计 $2025$ 年 $5$ 月该网店利润；若不可用，请说明理由；

(2)、该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过 $800$ 元可抽奖三次，每次中奖的概率均为 $\frac{1}{4}$ ，且每次抽奖互不影响，中奖一次打 $9$ 折，中奖两次打 $8$ 折，中奖三次打 $6$ 折，其余情况不打折．方案二：从装有 $8$ 个形状大小、完全相同的小球（其中红球 $3$ 个，白球 $1$ 个，黑球 $4$ 个）的抽奖盒中，一次性摸出 $2$ 个球，其中奖规则为：若摸出 $1$ 个红球和 $1$ 一个白球打六折，摸出 $2$ 个黑球打八折，其余情况不打折．某顾客计划在此网店购买 $1000$ 元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．
参考： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{b} = \bar{y} - \hat{a} \bar{x}$ ， $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$

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6、Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入 $c (x)$ 万元.其中 $c (x)$ 与x之间的关系为： $c (x) = \{\begin{array}{l} a x^{2} + b x, 0 < x < 20, x \in N^{*} \\ 22 x + \frac{c}{x - 2} - 950, x \geq 20, x \in N^{*} \end{array}$ ，且函数 $c (x)$ 的图象过 $A (3, 9)$ ， $B (6, 24)$ ， $C (82, 1054)$ 三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完.

(1)、求a，b，c的值，并写出年利润 $L (x)$ （万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式；

(2)、当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润.

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7、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a = 2 \sqrt{3}, A = \frac{π}{3}$ ，下列结论正确的是（）

A、若满足条件的三角形有2个，则 $b$ 的取值范围为 $(2 \sqrt{3}, 4)$ B、 $△ A B C$ 面积的最大值为3 C、 $△ A B C$ 周长的最大值为 $6 \sqrt{3}$ D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $\frac{b}{c}$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2}, 2)$

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8、已知 $a e^{a x} \geq ln x$ 对 $\forall x \geq 2$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{e}, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{e}, + \infty)$ C、 $[\frac{2}{e^{2}}, + \infty)$ D、 $[\frac{ln 2}{2}, + \infty)$

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9、已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 如图所示， $3 A B = 3 A A_{1} = 6 A D = \sqrt{6} A_{1} B$ ， $∠ A B C = ∠ A D D_{1} = 120^{\circ}$ ．

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $\vec{D E} = \frac{1}{3} \vec{D C_{1}}$ ，求二面角 $A - A_{1} B - E$ 的余弦值．

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10、为迎接新一年五四青年节，某中学举办了一次名为《回首辉煌路，做好接班人》的党团史竞赛并计划对成绩前10%的学生进行颁奖.试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间 $[40, 100]$ 分内.已知该校高一、高二、高三年级参加的学生人数分别为200、250、300.现用分层抽样的方法抽取了75名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图.
年级
样本平均数
样本方差
高一
75
75
高二
69
$s_{2}^{2}$
高三
$\bar{x_{3}}$
55

(1)、根据样本频率分布直方图估计该校全体学生成绩的众数、平均数以及得奖的最低分数；

(2)、已知所抽取各年级答题成绩的平均数、方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出总成绩的方差为80，求高三年级学生成绩的平均数 $\bar{x_{3}}$ 和高二年级学生成绩的方差 $s_{2}^{2}$ .

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11、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $cos A cos B + cos C = {sin}^{2} C - {sin}^{2} A - {sin}^{2} B$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， $b = 5$ ，点 $D$ 在边 $A B$ 上，且 $C D$ 是 $∠ A C B$ 的角平分线，求 $S_{△ A C D}$ .

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12、已知函数 $f (x) = \frac{4 {cos}^{4} x - 4 {cos}^{2} x + 1}{2 tan (\frac{π}{4} + x) {cos}^{2} (\frac{π}{4} + x)}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和值域；

(2)、先将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 的单调递增区间.

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13、已知函数 $f (x) = sin (2 ω x + \frac{π}{6}) + cos 2 ω x (ω > 0)$ 在区间 $[\frac{π}{2}, π]$ 内不存在零点，则 $ω$ 的取值范围是.

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14、已知一底面边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三棱柱有内切球，则该正三棱柱外接球的表面积为.

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15、已知在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ，点 $M$ 为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $P$ 为正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内一点（包含边界），下列说法正确的是（）

A、若点 $P$ 是 $A_{1} B_{1}$ 中点，则 $M$ 、 $P$ 、 $B$ 、 $D$ 四点共面 B、存在点 $P$ ，使得直线 $B P$ 与 $A A_{1}$ 所成角为 $60^{\circ}$ C、若直线 $B P //$ 平面 $A M B_{1}$ ，则三棱锥 $P - A M B_{1}$ 的体积为定值 D、若 $B P = \sqrt{6}$ ，那么 $P$ 点的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{2}}{4} π$

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16、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a + b = 4$ ，则 $a b$ 的最大值为 $4$ B、 $a^{2} + \frac{4}{a^{2} + 3}$ 的最小值为 $1$ C、若 $a b = a + b + 3$ ，则 $a b \geq 9$ D、若 $a + 2 b + a b = 30$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为 $11$

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17、已知 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $l_{1} // α$ 且 $α // β$ ，则 $l_{1} // β$ B、若 $m \subset α$ ， $n // α$ ， $m$ ， $n$ 共面，则 $m // n$ C、若 $l_{1}$ 不垂直于 $α$ ，且 $l_{2} \subset α$ ，则 $l_{1}$ 必不垂直于 $l_{2}$ D、若 $l_{1} ⊥ α$ 且 $α // β$ ，则 $l_{1} ⊥ β$

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18、已知 $f (x) = | {log}_{a} x |$ ， $a > 1$ ，记集合 $A = {x \in R |f (x) \leq 1}$ ， $B = {x \in R |f (f (x) + b) \leq 1}$ ，若 $A = B$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{\sqrt{3} + 1}{2}, + \infty)$ B、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $[\frac{\sqrt{6} + 1}{2}, + \infty)$ D、 $[\frac{\sqrt{5} + 1}{2}, + \infty)$

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19、已知一函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{|x|} - x^{2}$ ，其定义域为 $(- 4, 4)$ ，则满足不等式 $f (x) - f (2 x + 1) > 0$ 的 $x$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1, - \frac{1}{3})$ B、 $(- \frac{5}{2}, - 1)$ C、 $(- \frac{5}{2}, \frac{1}{3}) \cup (1, \frac{3}{2})$ D、 $(- \frac{5}{2}, - 1) \cup (- \frac{1}{3}, \frac{3}{2})$

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20、一个袋子中有完全相同的 $x$ 个红球，3个白球.若采取不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率是 $\frac{1}{10}$ .现采取放回方式从中依次摸出3个球，求恰有两次抽出红球的概率为（）

A、 $\frac{36}{125}$ B、 $\frac{12}{125}$ C、 $\frac{12}{25}$ D、 $\frac{4}{25}$

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月份	2024年12月	2025年1月	2025年2月	2025年3月	2025年4月
月份代号 $x$	1	2	3	4	5
利润 $y$ ／万元	8	6.3	5.1	3.2	2.4

年级	样本平均数	样本方差
高一	75	75
高二	69	$s_{2}^{2}$
高三	$\bar{x_{3}}$	55

年份代号 $x$	1	2	3	4	5
广告费投入 $y$	4.8	5.6	6. 2	7. 6	8. 8

	认可	不认可
50 岁以下	140	60
50 岁及以上	120	80

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828