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相关试卷

1、已知点P为 $△ A B C$ 内一点， $P C = 2, P B = 3, A C = 4, A B = 5$ ，则 $\vec{B C} \cdot \vec{P A} =$ ．

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2、已知是O坐标原点， $A (1, - 3), B (4, - \frac{1}{2}), C (2 a - 1, a + 2)$ ，若点C满足 $\vec{O C} = \cos^{2} θ \cdot \vec{O A} + 2 \sin^{2} θ \cdot \vec{O B}$ ，则a的值为．

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3、已知 $A (3, 2)$ ， $B (- 1, - 1)$ ，若点 $P (x, - \frac{1}{2})$ 在线段AB的中垂线上，则 $x =$ .

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4、已知 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $(\sqrt{3} c - 2 a \sin B) \sin C = \sqrt{3} (b \sin B - a \sin A)$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $\cos A \cos C$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ B、若D是AC边上的一点，且 $\vec{C D} = 2 \vec{D A}, B D = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、若三角形 $A B C$ 是锐角三角形，则 $\frac{c}{a}$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2}, 2)$ D、若O是 $△ A B C$ 的外心， $\vec{O B} = m \vec{O A} + n \vec{O C}$ ，则 $m + n \in [- 2, 1)$

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5、正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点， $\overset{⃑}{A P} = λ$ $\overset{⃑}{A D} + μ \overset{⃑}{A E}$ ，则（）

A、 $λ$ 最大值为 $\frac{1}{2}$ B、 $μ$ 最大值为1 C、 $\overset{⃑}{A P} \cdot \overset{⃑}{A D}$ 最大值是2 D、 $\overset{⃑}{A P} \cdot \overset{⃑}{A E}$ 最大值是 $\sqrt{5} + 2$

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6、已知凸四边形 $A B C D$ 内接于圆 $O$ ， $∠ A B D = 2 ∠ C B D$ ， $\frac{A D}{C D} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，则 $\frac{B D}{A C}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{5}$

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7、我们定义：“ $\vec{a} \times \vec{b}$ ”为向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的“外积”，若向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，它的长度规定 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \sin θ$ ，现已知：在 $△ A B C$ 中，若 $|\vec{A B} + \vec{A C}| = 1, |\vec{C A} + \vec{C B}| = 2$ ，则 $|\vec{A B} \times \vec{A C}|$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8、冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{2 \sqrt{14}}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{22}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{6}$

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9、已知 $A D, B E$ 分别为 $△ A B C$ 的边 $B C, A C$ 上的中线，设 $\vec{A D} = \vec{a}$ ， $\vec{B E} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B C}$ ＝（）

A、 $\frac{4}{3}$ $\vec{a}$ ＋ $\frac{2}{3}$ $\vec{b}$ B、 $\frac{2}{3}$ $\vec{a}$ ＋ $\frac{4}{3}$ $\vec{b}$ C、 $\frac{2}{3}$ $\vec{a}$ $- \frac{4}{3}$ $\vec{b}$ D、 $- \frac{2}{3}$ $\vec{a}$ ＋ $\frac{4}{3}$ $\vec{b}$

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10、已知点 $P (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ 在角 $θ$ 的终边上，且 $θ \in [0, \frac{π}{2})$ ，则 $θ$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $b_{n} = {(- 1)}^{n} \frac{n}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，若不等式 $T_{n} \leq λ (n \in N^{*})$ 恒成立，则实数 $λ$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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12、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ 关于直线 $m x + 2 y - 1 = 0$ 对称，则实数 $m =$ （）

A、6 B、4 C、3 D、7

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13、长度为6的线段 $P Q$ ，设线段中点为G，线段 $P Q$ 的两个端点P和Q分别在x轴和y轴上滑动.

(1)、求点G的轨迹方程；

(2)、设点G的轨迹与x轴交点分别为A，B（A点在左），与y轴交点分别为C，D（C点在上），设H为第一象限内点G的轨迹上的动点，直线 $H B$ 与直线 $A D$ 交于点M，直线 $C H$ 与直线 $y = - 3$ 交于点N.试判断直线 $M N$ 与 $B D$ 的位置关系，并证明你的结论.

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14、已知圆心为 $C$ 的圆经过点 $A (1, - 1)$ 和 $B (4, 2)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $x - y + 1 = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程及过点 $M (- 2, 1)$ 的切线方程；

(2)、直线 $\sqrt{3} x + y + a - \sqrt{3} = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $M, N$ 两点，且 $∠ M C N = 120 °$ ，求实数 $a$ 的值．

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15、已知空间内三点 $A (0, 2, 3)$ ， $B (- 2, 1, 6)$ ， $C (1, - 1, 5)$ ．

(1)、求以向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 为一组邻边的平行四边形的面积 $S$ ；

(2)、若向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 都垂直，且 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ ，求向量 $\vec{a}$ 的坐标．

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16、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y + 4 = 0$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 1 = 0$ ， $M, N$ 分别为圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 上的动点， $P$ 为直线 $l : y = x + 2$ 上的动点，则 $| M P | + | N P |$ 的最小值为．

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17、如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为 $6 \sqrt{3}$ m，行车道总宽度BC为 $2 \sqrt{11}$ m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是．

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18、给出下列命题，其中正确的命题是（）

A、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ B、若向量 $\vec{a}$ 是向量 $\vec{b}$ 的相反向量，则 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ C、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A C} = \vec{A_{1} C_{1}}$ D、若空间向量 $\vec{m}$ 、 $\vec{n}$ 、 $\vec{p}$ 满足 $\vec{m} // \vec{n}$ ， $\vec{n} // \vec{p}$ ，则 $\vec{m} // \vec{p}$

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19、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是 $60^{\circ}$ ，下列说法中正确的是（）

A、 $A C_{1} = 12 \sqrt{6}$ B、直线 $B D_{1}$ 与 $A C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、向量 $\vec{B_{1} C}$ 与 $\vec{A A_{1}}$ 的夹角是 $60^{\circ}$ D、 $A C_{1} ⊥$ 平面 $C B_{1} D_{1}$

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20、已知 $O$ 为原点， $\vec{O A} = (1, 2, 3), \vec{O B} = (2, 1, 2), \vec{O P} = (1, 1, 2)$ ，点 $Q$ 在直线 $O P$ 上运动，则当 $\vec{Q A} \cdot \vec{Q B}$ 取得最小值时，点 $Q$ 的坐标为（）

A、 $(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, \frac{8}{3})$ B、 $(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, \frac{7}{3})$ C、 $(\frac{3}{4}, \frac{3}{4}, \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{3}{4})$

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