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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - x - 2 < 0\}, B = \{x ∣ 3^{x} - 1 > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(- 1, 0)$ D、 $(- 1, 2)$

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2、设集合 $A = \{α |α = (x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}), x_{i} \in \{0, 1\}\}$ .若集合 $A$ 中元素 $α = (x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n})$ 与 $β = (y_{1}, y_{2}, \cdot \cdot \cdot, y_{n})$ 满足 $|x_{1} - y_{1}| + |x_{2} - y_{2}| + \cdot \cdot \cdot + |x_{n} - y_{n}| = 1$ ，则称 $β$ 为 $α$ 在集合 $A$ 中的“友好元”.对于整数 $k$ ，若 $A$ 存在一个子集 $B$ 满足：
（i）集合 $B$ 中元素个数为 $k$ ；
（ii） $\forall α \in B$ ，在集合 $B$ 中都至少有 $n - 1$ 个“友好元”，则称 $k$ 是“好数”.

(1)、当 $n = 4$ 且 $α = (1, 0, 1, 0)$ 时，直接写出 $α$ 在集合 $A$ 中的“友好元” $β$ ；

(2)、当 $n = 10$ 时，求证： $2^{10} - 2^{8}$ 是“好数”；

(3)、当 $n = 2024$ 时，若整数 $d_{1}, d_{2}, \cdot \cdot \cdot, d_{t}$ 满足 $0 \leq d_{1} < d_{2} < \cdot \cdot \cdot < d_{t} \leq 2021$ ，且对 $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, t - 1$ 均有 $d_{i + 1} - d_{i} \geq 3$ ，求证： $2^{2024} - (2^{d_{1}} + 2^{d_{2}} + \cdot \cdot \cdot + 2^{d_{t}})$ 是“好数”.

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，满足 $a_{1} a_{2} = a_{3}$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{3} + a_{1}$ ， $a_{4}$ 成等差数列，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} b_{n} = (2 n - 7) \cdot 2^{n + 1} + 14$ ，记数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、求数列 $\{\frac{b_{n}}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和；

(3)、记 $c_{n} = \frac{S_{n} + 4}{a_{n} + 4}$ ，若 $c_{n} \leq c_{k}$ 恒成立，求 $k$ 的值.

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4、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个焦点是 $(\sqrt{5}, 0)$ ，渐近线方程是 $y = \pm \frac{1}{2} x$

(1)、求双曲线的方程；

(2)、点 $M$ 为 $y$ 轴上一点，点 $A$ 是双曲线的右顶点，点 $P$ 是双曲线上异于顶点的一点，若 $△ M A P$ 是正三角形，求点 $M$ 的坐标.

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5、在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1}$ ， $∠ A_{1} A B = 60 °$ ，且 $C A = C B = C A_{1}$ .

(1)、证明： $C B ⊥ B B_{1}$ ；

(2)、若 $A B = A C = 2$ ，求直线 $A B_{1}$ 与平面 $C B B_{1} C_{1}$ 所成角的正弦值.

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6、函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 的的部分图象如图，且经过点 $S (\frac{π}{3}, 1)$ ， $T (\frac{4 π}{3}, - 1)$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $f (A) = f (B)$ ， $a = 2$ ， $b = 3$ ，求 $f (A)$ 的值.

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7、已知球 $O$ 的半径等于4， $O_{1}$ ， $O_{2}$ 是球 $O$ 的某内接圆柱的上下底面圆心， $O_{1} O_{2} = 2$ ， $P Q$ 是球 $O$ 的直径（点 $O_{1}$ 在 $P O$ 上，点 $O_{2}$ 在 $O Q$ 上）， $M$ 为 $O P$ 的中点，若四边形 $A B C D$ 是圆 $O_{1}$ 的内接矩形， $A E$ ， $B F$ 是圆柱的母线，且平面 $M C D ⊥$ 平面 $M E F$ ，则 $A B =$ .

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8、若直线 $m x - y + 2 m - 6 = 0$ 是曲线 $y = x^{3} - x$ 的切线，则 $m$ 的值可以是.（写出一个值即可）

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9、已知角 $θ$ 的终边经过点 $P (1, 1)$ ，则 $sin θ \cdot cos θ =$ .

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10、已知定义域是 $R$ 的函数 $f (x)$ 不恒为0，满足 $f (x + y) = f (x) f (y) - f (k - x) f (k - y)$ ，且 $f (- k) = f (k)$ 则（）

A、 $f (k) = 0$ B、 $f (0) = 1$ C、 $x = k$ 是函数 $f (x)$ 的一条对称轴 D、 $f (k) + f (2 k) + f (3 k) + \cdot \cdot \cdot + f (2025 k) = 0$

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11、已知 $A$ ， $B$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点和上顶点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆的左、右焦点， $P$ 为椭圆上一点，圆 $T$ 的圆心 $T$ 在第一象限，且与 $y$ 轴相切于点 $B$ ，直线 $A B$ 与圆 $T$ 的另一个交点为 $D$ ，直线 $O T$ （ $O$ 为坐标原点）垂直于直线 $A B$ ，记椭圆的离心率为 $e$ ，则（）

A、若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ 且 $P F_{1} ⊥ F_{1} F_{2}$ ，则 $e = \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、若 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $∠ F_{1} P F_{2}$ 最大值为 $60 °$ C、 $O D$ 是圆 $T$ 的切线 D、若 $D$ 为线段 $A B$ 的中点，则 $e = \frac{\sqrt{6}}{3}$

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12、随机变量 $X \sim B (5, p)$ ，且 $P (X \geq 1) = \frac{31}{32}$ ，则（）

A、 $p = \frac{1}{2}$ B、 $E (X) = \frac{5}{2}$ C、 $D (X) = \frac{3}{2}$ D、 $P (X = 2) = \frac{1}{4}$

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13、已知函数 $f (x) = a^{x} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} a x^{2} - x - 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在 $(0, 1)$ 上有唯一零点，则 $a$ 的范围为（）

A、 $\frac{14}{9} < a < e$ B、 $2 \leq a < e$ C、 $1 < a \leq \frac{14}{9}$ D、 $a \geq e$

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14、甲乙两人玩跳棋游戏，约定由抛两次硬币的结果确定谁先走，若两次都正面向上，则甲先走，否则乙先走，已知甲先走的情况下，甲胜的概率为 $p$ ，乙先走的情况下，甲胜的概率为 $\frac{1}{2} p$ ，则甲获胜的概率是（）

A、 $1 - \frac{3}{8} p$ B、 $\frac{5}{8} p$ C、 $1 - \frac{1}{3} p$ D、 $\frac{2}{3} p$

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15、函数 $f (x) = \frac{cos 2 x}{e^{x} + e^{- x}}$ 的部分图象是（）

A、 B、 C、 D、

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16、已知向量 $\vec{a} = (cos θ, sin θ)$ 与向量 $\vec{b} = (- 1, 1)$ 垂直，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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17、以边长为1的正方形的一条边所在的直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $π$ C、 $2 π$ D、 $4 π$

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18、命题“ $\forall x \in R$ ， $x + 1 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x + 1 \geq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x + 1 \geq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x + 1 > 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x + 1 > 0$

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19、设 $z = 1 + i$ ，则 $\frac{1}{1 - z} =$ （）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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20、已知集合 $A = \{x |2 < x^{2} < 10\}$ ， $B = \{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, 2, 3\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{2\}$ D、 $\{3\}$

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