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相关试卷

1、已知 $\vec{a} = (- 2, \sqrt{2}), \vec{b} = (\sqrt{2}, 1)$ ，则向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角的余弦值为.

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2、已知两组数据，第一组： $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ ：第二组 $2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026, 2027$ ，则下列说法正确的是（）

A、两组数据的平均数相同 B、两组数据的中位数相同 C、两组数据的极差相同 D、两组数据的方差相同

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3、已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β, γ$ 是三个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $α ⊥ β, α \cap β = n, m ⊥ n$ ，则 $m ⊥ β$ B、若 $m ⊥ α, n ⊥ β, α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $α ⊥ γ, β ⊥ γ$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α / / β, β / / γ, m \subset α, n \subset γ$ ，则 $m // n$

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4、某校选修羽毛球课程的学生中，一年级有50人，二年级有40人，三年级有30人．现用分层抽样的方法在这120名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了15人，则这个样本中共有（）

A、24人 B、36人 C、48人 D、60人

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5、某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为 $15 %$ ，则下列说法正确的是（）

A、某人抽奖100次，一定能中奖15次 B、某人抽奖200次，至少能中奖3次 C、某人抽奖1次，一定不能中奖 D、某人抽奖20次，可能1次也没中奖

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6、已知 $i$ 为虚数单位，若 $i (1 - \bar{z}) = 1$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、i D、 $- i$

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7、下列选项中，与角 $α = - 40 °$ 终边相同的角是（）

A、 $- 400 °$ B、 $- 380 °$ C、310° D、330°

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8、在直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，点 $A (\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在 $C$ 上，直线 $l : y = x + m (- 1 < m < 1)$ 与椭圆 $C$ 相交于 $M, N$ 两点，与 $x$ 轴相交于点 $K$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、将平面 $x O y$ 沿 $x$ 轴翻折，使 $y$ 轴正半轴和 $x$ 轴所确定的半平面与 $y$ 轴负半轴和 $x$ 轴所确定的半平面所成二面角的平面角为 $θ$ ，且 $0 < θ \leq \frac{π}{2}$ ．
①当 $θ = \frac{π}{4}, m = 0$ 时，求翻折后三棱锥 $A - O M N$ 的体积；
②求翻折后 $△ M N K$ 周长的最大值．

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9、已知 $A, B$ 两点的坐标分别是 $(2, 1), (- 2, 1)$ ，直线 $A D, B D$ 相交于点 $D$ ，且直线 $A D$ 的斜率与直线 $B D$ 的斜率之差是1，记动点 $D$ 的轨迹为 $C$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知过点 $F (0, 1)$ 的直线 $l_{1}$ 与 $C$ 相交于 $M, N$ 两点，过 $M, N$ 分别作直线 $l_{2} : y = - 1$ 的垂线，垂足为 $P, Q$ ， $R$ 为 $P Q$ 的中点．
①证明： $M R / / F Q$ ；
②设直线 $F Q$ 与 $N R$ 交于点 $K$ ，记 $△ K M R, △ N P Q$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，当 $S_{1} S_{2} = 32$ 时，求直线 $l_{1}$ 的方程．

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10、下面的三个游戏都是在袋子中装入大小和质地相同的小球，然后从袋子中不放回地取球．

	游戏1	游戏2	游戏3
袋子中球的数量和颜色	2个红球和1个白球	1个红球和2个白球	2个红球和2个白球
取球规则	取1个球	依次取2个球	依次取2个球
获胜规则	取到红球 $\to$ 甲胜	两个球同色 $\to$ 甲胜	两个球同色 $\to$ 甲胜
获胜规则	取到白球 $\to$ 乙胜	两个球不同色 $\to$ 乙胜	两个球不同色 $\to$ 乙胜

(1)、分别计算三个游戏中甲获胜的概率，并判断哪个游戏对甲更有利；

(2)、若三个游戏各进行一次，且每个游戏的结果互不影响，求甲获胜次数多于乙的概率．

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11、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 14 = 0$ ，直线 $l : (m + 2) x + (m - 1) y + 2 m - 8 = 0$ ．

(1)、求证：直线 $l$ 恒过定点；

(2)、当直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长最短时，求 $m$ 的值以及最短弦长．

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12、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F, G, H, K, L$ 分别为 $A B, B B_{1}, B_{1} C_{1}, C_{1} D_{1}, D_{1} D, D A$ 各棱的中点.

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $E F G H K L$ ；

(2)、求平面 $A_{1} E L$ 与平面 $E F G H K L$ 夹角的余弦值.

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13、在某次活动中，登记的8个数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdot \cdot \cdot, x_{8}$ 的平均数为8，方差为16，其中 $x_{1} = 7$ ．后来发现 $x_{1}$ 应该为10，并且漏登记了一个数据14，则修正后的9个数据的平均数为，方差为．

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14、已知空间三点 $A (1, 2, 1), B (1, 3, 2), C (2, 3, 1)$ ，则以 $A B, A C$ 为邻边的平行四边形的面积为．

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15、已知一条线段的端点分别是 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，关于 $x, y$ 的方程 $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) + b (y - y_{1}) (y - y_{2}) = c$ ，则（）

A、当 $a = b \neq 0, c = 0$ 时，方程所表示的曲线是以 $A B$ 为直径的圆 B、当 $a = 1, b = - 1, c \neq 0$ 时，方程所表示的曲线是双曲线 C、存在 $a, b, c$ ，使得方程所表示的曲线是椭圆 D、任意 $a > 0, b > 0, c > 0$ ，方程所表示的曲线围成的封闭区域面积大于 $\frac{1}{4} π {|A B|}^{2}$

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16、某市举行了一次数学史和趣味数学知识竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，对本次竞赛学生成绩进行抽样调查，将调查数据整理得到如图所示频率分布直方图，根据此频率分布直方图，下面结论正确的是（）

A、 $x = 0.015$ B、此次竞赛成绩低于70的学生比率估计为 $25 %$ C、此次竞赛成绩众数的估计值为75 D、此次竞赛成绩平均数的估计值不超过80

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17、设 $O$ 为坐标原点， $P$ 为椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 与双曲线 $C_{2} : x^{2} - y^{2} = 1$ 在第一象限的公共点， $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $C_{1}$ 的左、右焦点，则（）

A、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的焦点相同 B、 $|P F_{1}| - |P F_{2}| = 2$ C、 $|P F_{1}| = 3$ D、 $|O P| = \sqrt{2}$

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18、如图，二面角 $α - l - β$ 的棱上有两个点 $A, B$ ，线段 $A C$ 与 $B D$ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 $l$ ．若 $A B = 1$ ， $A C = 2$ ， $B D = 3$ ，二面角 $α - l - β$ 的平面角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $C D =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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19、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，渐近线为 $l_{1}, l_{2}$ ，过 $F$ 且垂直于 $l_{1}$ 的直线分别交 $l_{1}, l_{2}$ 于 $M, N$ 两点，且 $\vec{F M} = - \frac{1}{2} \vec{F N}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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20、如图，在四面体 $A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 的中点，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A D} = \vec{c}$ ，则 $\vec{D E} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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